Decimales: Redondeo y Notación Científica

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Resultados de aprendizaje

Entender lo que significa tener un número redondeado a un cierto número de decimales.
Redondea un número a un número fijo de dígitos.
Convertir de notación científica a notación decimal y atrás.

En esta sección, repasaremos cómo redondear decimales al número entero más cercano, décima más cercana, centésima más cercana, etc. En la mayoría de las aplicaciones estadísticas que encontrarás, los números no saldrán de manera uniforme, y necesitarás redondear el decimal. También veremos cómo leer la notación científica. Un error muy común que cometen los estudiantes de estadística es no darse cuenta de que la calculadora está dando una respuesta en notación científica.

Por ejemplo, supongamos que utilizó una calculadora para encontrar la probabilidad de que un día seleccionado aleatoriamente en julio tenga una temperatura alta de más de 90 grados. Su calculadora da la respuesta: 0.4987230156. Se trata de demasiados dígitos para un uso práctico, por lo que tiene sentido redondear a solo unos pocos dígitos. Al final de esta sección podrás realizar el redondeo que sea necesario para que los números inmanejables sean manejables.

Breve reseña del lenguaje decimal

Considera el número decimal: 62.5739. Hay una manera definida de referirse a cada uno de los dígitos.

El dígito 6 está en el “Lugar de las Decenas”
El dígito 2 está en el “Ones Place”
El dígito 5 está en el “Décimo Lugar”
El dígito 7 se encuentra en el “Lugar de las centésimas”
El dígito 3 está en el “Lugar de las Mil”
El dígito 9 se encuentra en el “Lugar de las Diez Mil”
También decimos que 62 es la parte de “Número Entero”.

Valores posicional de 62.5739: Decenas, Ons, Décimas, Centésimas, Mil, Diez milésimas

Tener este ejemplo en mente te ayudará cuando te pidan redondear a un valor posicional específico.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Se informa que el número medio de clases que cursan los estudiantes universitarios cada semestre es de 3.2541. Entonces el dígito en el lugar de las centésimas es 5.

Reglas de redondeo

Ahora que hemos revisado los valores posicional de los números, estamos listos para repasar el proceso de redondeo a un valor posicional especificado. Cuando se le pida redondear a un valor posicional especificado, la respuesta borrará todos los dígitos después del dígito especificado. El proceso para tratar con los otros dígitos se muestra mejor con ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Case 1 - The Test Digit is Less Than 5

Vuelta 3.741 a la décima más cercana.

Solución

3.741 7 es décimas, 4 es dígito de prueba

Dado que el dígito de prueba (4) es menor que 5, simplemente borramos todo a la derecha del dígito décimo, 7. La respuesta es: 3.7.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Case 2 - The Test Digit is 5 or Greater

Vuelta 8.53792 a la centésima más cercana.

Solución

0.014952. 9 es la posición de redondeo y 5 es el dígito de prueba.

Dado que el dígito de prueba (6) es 5 o mayor, agregamos uno al dígito centésimas y borramos todo a la derecha del dígito centésimas, 3. Así el 3 se convierte en un 4. La respuesta es: 8.54.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Case 3 - The Test Digit is 5 or Greater and the rounding position digit is a 9

Redondear 0.014952 a cuatro decimales.

Solución

El dígito de prueba es 5, por lo que debemos redondear. La posición de redondeo es un 9 y sumando 1 da 10, que no es un número de un solo dígito. En su lugar, mire los dos dígitos a la izquierda del dígito de prueba: 49. Si sumamos 1 a 49, obtenemos 50. Así la respuesta es 0.0150.

Aplicaciones

El redondeo se utiliza en la mayoría de las áreas de la estadística, ya que la calculadora o computadora producirá respuestas numéricas con muchos más dígitos de los que son útiles. Si no te dicen a cuántos decimales redondear, entonces a menudo quieres pensar en el menor número de decimales a mantener para que no se pierda información importante. Por ejemplo supongamos que realizó una muestra para encontrar la proporción de estudiantes universitarios que reciben ayuda económica y la calculadora presentó 0.568429314. Podría convertir esto en un porcentaje al 56.8429314%. No hay aplicaciones donde sea útil mantener tantos decimales. Si, por ejemplo, quisieras presentar este hallazgo al gobierno estudiantil, tal vez quieras redondear al número entero más cercano. En este caso el dígito unos es 6 y el dígito de prueba es 8. Desde 8 > 5, se agrega 1 al dígito de unos. Se le puede decir al gobierno estudiantil que 57% de todos los universitarios reciben ayuda económica.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que descubrió que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar con quien haya usado mal los opioides recetados haga la transición a la heroína es de 0.04998713. Redondear este número a cuatro decimales.

Solución

Los primeros cuatro decimales son 0.0499 y el dígito de prueba es 8. Desde 8 > 5, nos gustaría agregar 1 al cuarto dígito. Como se trata de un 9, vamos al siguiente dígito a la izquierda. Esto también es un 9, así que vamos al siguiente que es un 4. Podemos pensar en sumar 0499 + 1 = 0500. Así la respuesta es 0.0500. Tenga en cuenta que mantenemos los dos últimos 0 después del 5 para enfatizar que esto es exacto al cuarto decimal.

Redondeo y Aritmética

Muchas veces, tenemos que hacer aritmética sobre números con varios decimales y queremos que la respuesta se redondee a un número menor de decimales. Una pregunta que podrías hacer es si redondear antes de realizar la aritmética o después. Para obtener el resultado más preciso, siempre debe redondear después de preformar la aritmética si es posible.

Cuando se le pide hacer aritmética y presentar se responde redondeada a un número fijo de decimales, sólo redondea después de realizar la aritmética.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que escoges tres cartas de una baraja de 52 cartas con reemplazo y quieres encontrar la probabilidad del evento, A, de que ninguna de las tres cartas sea de 2 a 7 de corazones. Esta probabilidad es:

\[P\left(A\right)=\left(0.8846\right)^3 \nonumber\]

Redondear la respuesta a 2 decimales.

Solución

Tenga en cuenta que primero tenemos que realizar la aritmética. Con una computadora o calculadora obtenemos:

\[0.8846^3=\text{0.69221467973} \nonumber\]

Ahora redondeamos a dos decimales. Observe que el dígito centésimas es un 9 y el dígito de prueba es un 2. Así el 9 se mantiene sin cambios y todo a la derecha del 9 se va. El resultado es

\[P\left(A\right)\approx0.69 \nonumber\]

Si por error redondeamos 0.8846 a dos decimales (0.88) y luego cubicamos la respuesta habríamos obtenido 0.68 que no es la respuesta correcta.

Notación científica

Cuando una calculadora presenta un número en notación científica, debemos prestar atención a lo que esto representa. La forma estándar de escribir un número en notación científica es escribir el número como producto de un número mayor o igual a 1 pero menor a 10 seguido de una potencia de 10. Por ejemplo:

\[ 602,000,000,000,000,000,000,000 = 6.02 \times 10^{23} \nonumber\]

El propósito principal de la notación científica es permitirnos escribir números muy grandes o números muy cercanos a 0 sin tener que usar tantos dígitos. La mayoría de las calculadoras y computadoras utilizan una notación diferente para la notación científica, muy probablemente porque el superíndice es difícil de renderizar en una pantalla. Por ejemplo, con una calculadora:

\[0.00000032 = 3.2E-7 \nonumber\]

Observe que para llegar a 3.2, el decimal necesitaba ser movido 7 lugares a la derecha.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Una calculadora muestra:

\[2.0541E6 \nonumber\]

Escribe este número en forma decimal.

Solución

Observe que el número que sigue a E es 6. Esto significa mover el decimal sobre 6 lugares a la derecha. Los primeros 4 movimientos son naturales, pero para los últimos 2 movimientos, no hay números para mover el decimal más allá. Siempre podemos agregar ceros adicionales después del último número a la derecha de la posición decimal:

\[2.0541E6 = 2.054100E6 \nonumber\]

Ahora podemos mover el decimal a la derecha 6 lugares para obtener

\[2.0541E6 = 2.054100E6 = 2,054,100 \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Si usa una calculadora o computadora para encontrar la probabilidad de voltear una moneda 27 veces y obtener todas las cabezas, entonces mostrará:

\[ 7.45E−9 \nonumber\]

Escribe este número en forma decimal.

Solución

Muchos estudiantes olvidarán buscar la “E” y solo escribirán que la probabilidad es de 7.45, pero las probabilidades nunca pueden ser mayores que 1. No se puede tener un 745% de probabilidad de que ocurra. Observe que el número que sigue a E es −9. Dado que la potencia es negativa, esto significa mover el decimal hacia la izquierda, y en particular 9 lugares hacia la izquierda. Solo hay un dígito a la izquierda de la posición decimal, por lo que necesitamos insertar 8 ceros:

\[ 7.45E−9 = 000000007.45E−9 \nonumber\]

Ahora podemos mover el decimal a la derecha 9 lugares a la izquierda para obtener

\[ 7.45E−9 = 000000007.45E−9 = 0.00000000745 \nonumber\]