Encuentra la Ecuación de una Línea dada su Gráfica
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Resultados de aprendizaje
- Encuentra la pendiente de una línea dada su gráfica.
- Encuentra la intercepción y de una línea dada su gráfica.
- Encuentra la ecuación de una línea dada su gráfica.
Hay dos formas principales de representar una línea: la primera es con su gráfica, y la segunda con su ecuación. En esta sección, vamos a practicar cómo encontrar la ecuación de la línea si se nos da la gráfica de la línea. Los dos números clave en la ecuación de una línea son la pendiente y la intercepción y. Así, los principales pasos para encontrar la ecuación de una línea son encontrar la pendiente y encontrar la intercepción y. En estadística a menudo se nos presenta una gráfica de dispersión donde podemos hacer un globo ocular en la línea. Una vez que tenemos la gráfica de la línea, obtener la ecuación es útil para hacer predicciones basadas en la línea.
Encontrar la pendiente de una línea dada su gráfica
Los pasos a seguir para afinar la pendiente de la línea dada su gráfica son los siguientes.
Paso 1: Identificar dos puntos en la línea. Dos puntos cualesquiera servirán, pero se recomienda encontrar puntos con bonitas\(x\) y\(y\) coordenadas.
Paso 2: La pendiente es el ascenso sobre la carrera. Así si los puntos tienen coordenadas\(\left(x_1,y_1\right)\) y\(\left(x_2,\:y_2\right)\), entonces la pendiente es:
\[Slope\:=\:\frac{Rise}{Run}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra la pendiente de la línea que se muestra a continuación.
Solución
Primero, localizamos puntos en la línea que son lo más fáciles posible de trabajar con ellos. Los puntos con coordenadas enteras son (0, -4) y (2,2).
A continuación, utilizamos la fórmula de subida sobre carrera para encontrar la pendiente de la línea.
\[Slope\:=\:\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-\left(-4\right)}{2-0}=\frac{6}{2}=3\nonumber \]
Encontrar la intercepción y a partir de la gráfica
Si la porción de la gráfica que está a la vista incluye el eje y, entonces la intercepción y es muy fácil de detectar. Simplemente se ve donde cruza el eje y. Por otro lado, si la porción de la gráfica a la vista no contiene el eje y, entonces lo mejor es encontrar primero la ecuación de la línea y luego usar la ecuación para encontrar la intercepción y.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentra la intercepción y de la línea que se muestra a continuación.
Solución
Solo miramos la línea y notamos que cruza el eje y en\(y=1\). Por lo tanto, la intercepción y es 1 o (0,1).
Encontrar la ecuación de la línea dada su gráfica
Si te dan la gráfica de una línea y quieres encontrar su ecuación, entonces primero encuentras la pendiente como en Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Luego usa uno de los puntos que encontró\(\left(x_1,\:y_1\right)\) al calcular la pendiente\(m\), y lo coloca en la ecuación de pendiente de punto:
\[y-y_1=m\left(x-x_1\right)\nonumber \]
Después multiplicas la pendiente a través y agregas\(y_1\) a ambos lados para conseguir\(y\) por sí mismo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra la ecuación de la línea que se muestra a continuación.
Solución
Primero encontramos la pendiente identificando dos puntos agradables. Observe que la línea pasa por (0, -1) y (3,1). Ahora calcula la pendiente usando la fórmula de subida sobre carrera:
\[Slope\:=\frac{\:rise}{run}=\frac{1-\left(-1\right)}{3-0}=\frac{2}{3}\nonumber \]
A continuación, utilice la ecuación de pendiente de punto con el punto (0, -1).
\[y-\left(-1\right)=\frac{2}{3}\left(x-0\right)\nonumber \]
Ahora simplifique:
\[y+1=\frac{2}{3}x\nonumber \]
Finalmente resta 1 de ambos lados para obtener:
\[y=\frac{2}{3}x-1\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Se realizó un estudio para observar la relación entre los metros cuadrados de una casa y el precio de la casa. El diagrama de dispersión y la línea de regresión se muestran a continuación. Encuentra la ecuación de la línea de regresión.
Solución
Primero encontramos la pendiente identificando dos puntos agradables. Tendrás que mirarlo y notar que la línea pasa por (1600, 300000) y (2000,400000). Ahora calcula la pendiente usando la fórmula de subida sobre carrera:
\[\frac{\:rise}{run}=\frac{400000-300000}{2000-1600}=\frac{100000}{400}=250\nonumber \]
A continuación, utilice la ecuación de pendiente de punto con el punto (2000,400000).
\[y-\left(400000\right)=250\left(x-2000\right)\nonumber \]
Ahora simplifique:
\[y-400000=250x-500000\nonumber \]
Finalmente sumar 400000 a ambos lados para conseguir:
\[y=250x-100000\nonumber \]
Observe que aunque la intercepción y no es visible desde la gráfica de la línea, podemos ver a partir de la ecuación de la línea que la intercepción y es -100000 o (0, -100000).
Ejercicio
La línea de regresión y la gráfica de dispersión a continuación muestran el resultado de encuestas que se realizaron en varios años para conocer el porcentaje de hogares que contaban con un teléfono fijo.
Encuentra la ecuación de esta línea de regresión.