16.3: Problemas en la Independencia Condicional, Dado un Vector Aleatorio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El par\(\{X, Y\}\) ci\(|H\). \(X\)~ exponencial (\(u/3\)), dado\(H = u\);\(Y\) ~ exponencial\((u/5)\), dado\(H = u\); y\(H\) ~ uniforme [1, 2]. Determinar una fórmula general para\(P(X > r, Y > s)\), luego evaluar para\(r = 3\),\(s = 10\).

Responder

\(P(X > r, Y > s|H = u) = e^{-ur/3} e^{us/5} = e^{-au}\),\(a = \dfrac{r}{3} + \dfrac{s}{5}\)

\(P(X > r, Y > s) = \int e^{-au} f_H (u)\ du = \int_{1}^{2} e^{-au}\ du = \dfrac{1}{a} [e^{-a} - e^{-2a}]\)

Para\(r = 3\),\(s= 10\),\(a = 3\),\(P(X > 3, Y > 10) = \dfrac{1}{3} (e^{-3} - e^{-6}) = 0.0158\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(n = 12\)Se toma una pequeña muestra aleatoria de tamaño para determinar la proporción del cuerpo estudiantil lo que favorece una propuesta para ampliar el Consejo de Honor estudiantil agregando dos miembros adicionales “en general”. Información previa indica que esta proporción es de aproximadamente 0.6 = 3/5. Desde el punto de vista bayesiano, la proporción poblacional se toma como el valor de una variable aleatoria\(H\). Parece razonable asumir una distribución previa\(H\) ~ beta (4,3), dando un máximo de la densidad a (4 - 1)/(4 + 3 - 2) = 3/5. Siete de los doce entrevistados favorecen la proposición. ¿Cuál es la mejor estimación cuadrática media de la proporción, dado este resultado? ¿Cuál es la distribución condicional de\(H\), dado este resultado?

Responder

\(H\)~ Beta (\(r, s\)),\(r = 4\),\(s = 3\),\(n = 12\),\(k = 7\)

\(E[H|S = k] = \dfrac{k + r}{n + r + s} = \dfrac{7 + 4}{12 + 4 + 3} = \dfrac{11}{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(\{X_i: 1 \le i \le n\}\) ser una muestra aleatoria, dada\(H\). Set\(W = (X_1, X_2, \cdot\cdot\cdot, X_n)\). Supongamos\(X\) condicionalmente geométrica\((u)\), dada\(H = u\); es decir, supongamos\(P(X = k|H = u) = u(1 - u)^k\) para todos\(k \ge 0\). Si\(H\) ~ uniforme en [0, 1], determinar el mejor estimador cuadrático medio para\(H\), dado\(W\).

Responder

\(E[H|W = k] = \dfrac{E[HI_{\{k\}} (W)]}{E[I_{\{k\}} (W)} = \dfrac{E[HI_{\{k\}} (W)|H]}{E[I_{\{k\}} (W)|H}\)

\(= \dfrac{\int u P(W = k|H = u) f_H (u)\ du}{\int P(W = k|H = u) f_H (u)\ du}\),\(k = (k_1, k_2, \cdot\cdot\cdot, k_n)\)

\(P(W = k|H = u) = \prod_{i = 1}^{n} u (1 - u)^{k_i} = u^n (1 - u)^{k^*}\)\(k^* = \sum_{i = 1}^{n} k_i\)

\(E[H|W = k] = \dfrac{\int_{0}^{1} u^{n + 1} (1 - u)^{k^*}\ du}{\int_{0}^{1} u^{n} (1 - u)^{k^*}\ du} = \dfrac{\Gamma (n + 2) \Gamma (k^* + 1)}{\Gamma (n + 1 + k^* + 2)} \cdot \dfrac{\Gamma (n + k^* + 2)}{\Gamma (n + 1) \Gamma (k^* + 1)} =\)

\(\dfrac{n + 1}{n + k^* + 2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(\{X_i: 1 \le i \le n\}\) ser una muestra aleatoria, dada\(H\). Set\(W = (X_1, X_2, \cdot\cdot\cdot, X_n)\). Supongamos\(X\) condicionalmente Poisson\((u)\), dado\(H = u\); es decir, supongamos\(P(X = k|H = u) = e^{-u} u^k/k!\). Si\(H\) ~ gamma\((m, \lambda)\), determinar el mejor estimador cuadrático medio para\(H\), dado\(W\).

Responder

\(E[H|W = k] = \dfrac{\int u P(W = k|H = u) f_H (u)\ du}{\int P(W = k|H = u) f_H (u)\ du}\)

\(P(W = k|H = u) = \prod_{i = 1}^{n} e^{-u} \dfrac{u^{k_i}}{k_i !} = e^{-nu} \dfrac{u^{k^*}}{A} k^* = \sum_{i = 1}^{n} k_i\)

\(f_H(u) = \dfrac{\lambda^m u^{m - 1} e^{-\lambda u}}{\Gamma (m)}\)

\(E[H|W = k] = \dfrac{\int_{0}^{\infty} u^{k^* + m} e^{-(\lambda + n)u}\ du}{\int_{0}^{\infty} u^{k^* + m - 1} e^{-(\lambda + n)u}\ du} = \dfrac{\Gamma (m + k^* + 1)}{(\lambda + n)^{k^* + m + 1}} \cdot \dfrac{(\lambda + n)^{k^* + m}}{\Gamma (m + k^*)} = \dfrac{m + k^*}{\lambda + n}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que\(\{N, H\}\) es independiente y\(\{N, Y\}\) ci\(|H\). Utilizar propiedades de expectativa condicional e independencia condicional para demostrar que

\(E[g(N) h(Y)|H] = E[g(N)] E[h(Y)|H]\)a.s.

Responder

\(E[g(N)h(H)|H] = E[g(N)|H] E[h(Y)|H]\)a.s. por (CI6) y

\(E[g(N)|H] = E[g(N)]\)a.s. por (CE5).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Considere la demanda compuesta\(D\) introducida en la sección sobre Sumas Aleatorias en "Selección Aleatoria”

\(D = \sum_{n = 0}^{\infty} I_{\{k\}} (N) X_n\)donde\(X_n = \sum_{k = 0}^{n} Y_k\),\(Y_0 = 0\)

Supongamos que\(\{N, H\}\) es independiente,\(\{N, Y_i\}\) ci\(|H\) para todos\(i\), y\(E[Y_i|H] = e(H)\), invariante con\(i\). Demuestre que\(E[D|H] = E[N]E[Y|H]\) a.s..

Responder

\(E[D|H] = \sum_{n = 1}^{\infty} E[I_{\{n\}} (N) X_n|H]\)a.s.

\(E[I_{\{n\}} (N) X_n |H] = \sum_{k = 1}^{n} E[I_{\{n\}} (N) Y_k|H] = \sum_{k = 1}^{n} P(N = n) E[Y|H] = P(N = n) nE[Y|H]\)a.s.

\(E[D|H] = \sum_{n = 1}^{\infty} n P(N = n) E[Y|H] = E[N] E[Y|H]\)a.s.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La matriz de transición\(P\) para una cadena homogénea de Markov es la siguiente (en m-file npr16_07.m):

\(P = \begin{bmatrix} 0.23 & 0.32 & 0.02 & 0.22 & 0.21 \\ 0.29 & 0.41 & 0.10 & 0.08 & 0.12 \\ 0.22 & 0.07 & 0.31 & 0.14 & 0.26 \\ 0.32 & 0.15 & 0.05 & 0.33 & 0.15 \\ 0.08 & 0.23 & 0.31 & 0.09 & 0.29 \end{bmatrix}\)

1. Obtener los valores absolutos de los valores propios, luego considerar aumentar las potencias de\(P\) observar la convergencia a la distribución a largo plazo.
2. Tome una distribución inicial arbitraria\(p0\) (como una matriz de filas). El producto\(p0 * p^k\) es la distribución para etapa\(k\). Observe lo que sucede cuando\(k\) se vuelve lo suficientemente grande como para dar convergencia a la matriz de transición a largo plazo. ¿El resultado final cambia con el cambio de distribución inicial\(p0\)?

Responder

ev = abs(eig(P))'
ev = 1.0000    0.0814    0.0814    0.3572    0.2429
a = ev(4).^[2 4 8 16 24]
a = 0.1276    0.0163    0.0003    0.0000    0.0000
% By P^16 the rows agree to four places
p0 = [0.5 0 0 0.3 0.2];     % An arbitrarily chosen p0
p4 = p0*P^4
p4 =    0.2297    0.2622    0.1444    0.1644    0.1992
p8 = p0*P^8
p8 =    0.2290    0.2611    0.1462    0.1638    0.2000
p16 = p0*P^16
p16 =   0.2289    0.2611    0.1462    0.1638    0.2000
p0a = [0 0 0 0 1];          % A second choice of p0
p16a = p0a*P^16
p16a =  0.2289    0.2611    0.1462    0.1638    0.2000

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

La matriz de transición\(P\) para una cadena homogénea de Markov es la siguiente (en m-file npr16_08.m):

\(P = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.5 & 0.3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.2 & 0.7 & 0.1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.6 & 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.1 & 0.3 & 0 & 0.2 & 0.1 & 0.1 & 0.2 \\ 0.1 & 0.2 & 0.1 & 0.2 & 0.2 & 0.2 & 0 \end{bmatrix}\)

1. Tenga en cuenta que la cadena tiene dos subcadenas, con estados {1, 2, 3} y {4, 5}. Dibuja un diagrama de transición para mostrar las dos cadenas separadas. ¿Se puede llegar a algún estado de una subcadena desde algún estado de la otra?
2. Verificar la convergencia como en la parte (a) del Ejercicio 16.3.7. ¿Qué pasa con las probabilidades estatales para los estados 6 y 7 a la larga? ¿Qué significa eso para estos estados? ¿Se puede llegar a estos estados desde algún estado en cualquiera de las subcadenas? ¿Cómo clasificarías estos estados?

Responder

El aumento de potencia\(p^n\) muestra la probabilidad de estar en los estados 6, 7 ir a cero. No se puede llegar a estos estados desde ninguno de los otros estados.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

La matriz de transición\(P\) para una cadena homogénea de Markov es la siguiente (en m-file npr16_09.m):

\(P = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 & 0.1 & 0.3 & 0.2 & 0 & 0.1 \\ 0 & 0.6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.4 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.5 & 0 & 0.3 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6 & 0.1 & 0 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0.1 & 0.2 & 0 & 0.1 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.7 & 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}\)

1. Verificar la convergencia en la matriz\(P\) de transición, como en la parte (a) del Ejercicio 16.3.7. ¿Cuántos pasos se requieren para llegar a la convergencia a cuatro o más decimales? ¿Esto concuerda con el resultado teórico?
2. Examine la matriz de transición a largo plazo. Identificar estados transitorios.
3. La convergencia no hace que todas las filas sean iguales. Obsérvese, sin embargo, que existen dos subgrupos de filas similares. Reorganice las filas y columnas en la Matrix a largo plazo para que se agrupen filas idénticas. Esto sugiere subcadenas. Reorganice las filas y columnas en la matriz de transición\(P\) y vea que esto da un patrón similar al de la matriz en el Ejercicio 16.7.8. Elevar la matriz de transición reorganizada a la potencia para la convergencia.

Responder

Examen de\(p^{16}\) sugiere conjunto {2, 7} y {3, 4, 6} de estados forman subcadenas. El reordenamiento de\(P\) puede hacerse de la siguiente manera:

PA = P([2 7 3 4 6 1 5], [2 7 3 4 6 1 5])
PA =
    0.6000    0.4000         0         0         0         0         0
    0.5000    0.5000         0         0         0         0         0
         0         0    0.2000    0.5000    0.3000         0         0
         0         0    0.6000    0.1000    0.3000         0         0
         0         0    0.2000    0.7000    0.1000         0         0
    0.2000    0.1000    0.1000    0.3000         0    0.1000    0.2000
    0.2000    0.2000    0.1000    0.2000    0.1000    0.2000         0
PA16 = PA^16
PA16 =
    0.5556    0.4444         0         0         0         0         0
    0.5556    0.4444         0         0         0         0         0
         0         0    0.3571    0.3929    0.2500         0         0
         0         0    0.3571    0.3929    0.2500         0         0
         0         0    0.3571    0.3929    0.2500         0         0
    0.2455    0.1964    0.1993    0.2193    0.1395    0.0000    0.0000
    0.2713    0.2171    0.1827    0.2010    0.1279    0.0000    0.0000

Es claro que los estados originales 1 y 5 son transitorios.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Utilice el inventario m-procedimiento1 (en el inventario m-archivo1.m) para obtener la matriz de transición para stock máximo\(M = 8\)\(m = 3\), punto de reorden y demanda\(D\) ~ Poisson (4).

a. Supongamos que el stock inicial es seis. ¿Para qué será la distribución\(X_n\),\(n = 1, 3, 5\) (es decir, el stock al final de los periodos 1, 3, 5, antes de la repoblación)?

b. ¿Cuál será la distribución a largo plazo?

Responder

inventory1
Enter value M of maximum stock  8
Enter value m of reorder point  3
Enter row vector of demand values  0:20
Enter demand probabilities  ipoisson(4,0:20)
Result is in matrix P
p0 = [0 0 0 0 0 0 1 0 0];
p1 = p0*P
p1 =
  Columns 1 through 7
    0.2149    0.1563    0.1954    0.1954    0.1465    0.0733    0.0183
  Columns 8 through 9
         0         0
p3 = p0*P^3
p3 =
  Columns 1 through 7
    0.2494    0.1115    0.1258    0.1338    0.1331    0.1165    0.0812
  Columns 8 through 9
    0.0391    0.0096
p5 = p0*P^5
p5 =
  Columns 1 through 7
    0.2598    0.1124    0.1246    0.1311    0.1300    0.1142    0.0799
  Columns 8 through 9
    0.0386    0.0095
a = abs(eig(P))'
a =
  Columns 1 through 7
    1.0000    0.4427    0.1979    0.0284    0.0058    0.0005    0.0000
  Columns 8 through 9
    0.0000    0.0000
a(2)^16
ans =
   2.1759e-06       % Convergence to at least five decimals for P^16
pinf = p0*P^16      % Use arbitrary p0,  pinf approx p0*P^16
pinf =  Columns 1 through 7
    0.2622    0.1132    0.1251    0.1310    0.1292    0.1130    0.0789
  Columns 8 through 9
    0.0380    0.0093