2.7: Ejemplos

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un objeto real está a 15 cm de una lente convergente de distancia focal de 25 cm. ¿Dónde está la imagen? Descríbelo.

La luz diverge de un objeto real, por lo que la convergencia inicial es negativa. \(C_1\)= −1/15 cm ⁻¹. La potencia de la lente convergente es\(P\) = + 1/25 cm ⁻¹. La convergencia final es

\( C_2 = -\frac{1}{15}+ \frac{1}{25} = -\frac{2}{75}\)cm ⁻¹.

La imagen está a 37.5 cm de la lente. La luz diverge después de que sale de la lente. La imagen está en el mismo lado de la lente que el objeto. Se trata de una imagen virtual. El aumento es\(C_1/C_2 = +2.5\). La imagen es erecta y magnificada en tamaño.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Las caras de una lente biconvexa tienen radios de curvatura de 20 cm y 30 cm, y el índice de refracción del vidrio es de 1.5. ¿Cuál es la distancia focal de la lente?

Refiérase a la Figura II.6.

La convergencia inicial es cero. La convergencia final será\(1/f\). La potencia de la primera superficie es\( \frac{1.5-1.0}{+20}\) cm ⁻¹. La potencia de la segunda superficie es\(\frac{1.0-1.5}{-30}\) cm ⁻¹. Tenga en cuenta que el radio de curvatura de la segunda superficie, cuando se encuentra con la luz, es negativo.

Por lo tanto

\( \frac{1}{f} = \frac{1.5-1.0}{+20}+\frac{1.0-1.5}{-30}.\)

\(f\)= 24 cm.

La lente es una lente convergente.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

¿Cuál es la distancia focal de esta lente, en la que he marcado los radios de curvatura en cm y los índices de refracción?

El poder, que es el recíproco de la distancia focal, es la suma de las potencias de las tres interfaces:

\(\frac{1}{f} = \frac{1.5-1.0}{20}+ \frac{1.6-1.5}{-18} + \frac{1.0-1.6}{40} = + 0.004\)cm ⁻¹. \( \qquad \therefore \, f\)= +225.0 cm.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Pasemos ahora directamente al problema imposiblemente difícil de la Sección 2.1

He marcado en los diversos índices de refracción, y, en cursiva, los radios de curvatura y la distancia del objeto virtual, en cm. Recuerden que, a pesar del dibujo, estamos asumiendo que todas las lentes son delgadas —es decir que sus grosores son insignificantes en comparación con otras distancias.

El sistema está sumergido en agua, por lo que la convergencia inicial es de +1.33/50. Vamos a encontrar la convergencia final. A la convergencia inicial vamos a sumar, sucesivamente, las potencias de las tres primeras interfaces refractantes, luego la superficie reflectante, y luego las tres superficies refractantes nuevamente en la salida. Esté atento a los índices de refracción y los signos de los radios de curvatura en cada término. El cálculo va así — tan rápido como puedas escribir: Convergencia final =

\( +\frac{1.33}{50} + \frac{1.50-1.33}{35}+\frac{1.00-1.50}{-38}+\frac{1.60-1.00}{-28}+\frac{-2\times1.60}{+26}+\frac{1.00-1.60}{+28} + \frac{1.50-1.00}{+38}+\frac{1.33-1.50}{-35} \)cm ⁻¹.

Casi puedes duplicar la velocidad cuando te das cuenta de que la potencia de una interfaz refractora es la misma en cualquier dirección que vayas (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda).

Obtenemos:

Convergencia final = −0.103304 cm ⁻¹.

La convergencia final es el índice de refracción dividido por la distancia de la imagen, por lo que la distancia de la imagen desde la lente (recuerda que es una lente delgada, así que no preguntes qué parte de la lente) es de 1.33 ÷ 0.103304, o 12.9 cm.

La luz diverge después de que sale de la lente. Está en el mismo lado de la lente que está el objeto virtual. Se trata de una imagen virtual. El aumento es convergencia inicial ÷ convergencia final y por lo tanto es −0.257. La imagen se invierte y disminuye de tamaño.

Este ejemplo quizás muestra el mayor poder (juego de palabras no pretendido) del método de convergencia, es decir, al tratar con muchos elementos ópticos uno tras otro. El no es necesario argumentos enrevesados como “la imagen real formada por el primer elemento actúa como un objeto virtual para el segundo elemento, y luego...”.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Se realizan tres observaciones sobre una lente para determinar los radios de curvatura de sus dos superficies y el índice de refracción de su vidrio.

i.) Un objeto real se coloca 40 cm a la izquierda de la lente, y se forma una imagen real 300 cm a la derecha.

La pregunta no nos dice qué tipo de lente es. Supongamos que es biconvexo; pronto averiguaremos si no lo es.

El primer experimento nos dice:

\( \frac{1}{+300} = -\frac{1}{40} + \frac{n-1}{r_1} + \frac{1-n}{-r_2}. \)

Eso es

\[(n-1) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) = 0.0283 \text{cm}^{-1} \label{eq:2.7.1} \]

ii.) La lente flota en la superficie del mercurio, con el\(r_1\) lado hacia arriba. Se coloca un objeto real a 60 cm por encima de él, y se forma una imagen real a 50 cm por encima de él.

El segundo experimento nos dice:

\( +\frac{1}{50} = -\frac{1}{60}+\frac{n-1}{r_1}+\frac{-2n}{-r_2}+ \frac{1-n}{-r_1} \).

Es decir:

\[\frac{n-1}{r_1}+\frac{n}{r_2} = 0.0183. \label{eq:2.7.2} \]

iii.) La lente flota en la superficie del mercurio, con el\(r_2\) lado hacia arriba. Se coloca un objeto real a 60 cm por encima de él, y se forma una imagen real a 6 cm por encima de él. (Figura II.10.)

Es necesario recordarnos que, a pesar del dibujo, la lente es delgada y todos los ángulos son pequeños. El tercer experimento nos dice:

\( +\frac{1}{6} = -\frac{1}{6-}+\frac{n-1}{r_2}+\frac{-2n}{-r_1}+\frac{1-n}{-r_2}. \)

Eso es

\[ \frac{n-1}{r_2} + \frac{n}{r_1} = 0.0916. \label{eq:2.7.3} \]

Así tenemos tres ecuaciones no lineales que resolver para las tres incógnitas. Se han conocido tres ecuaciones no lineales que hacen temblar a hombres adultos en sus zapatos, pero afortunadamente, estas tres son triviales de resolver. Podría ayudar dejar\(s = 1/r_1\) y\(t = r_2\), cuando las ecuaciones se convierten

\[(n-1)(s+t) = 0.0283. \label{eq:2.7.4} \]

\[ (n-1)s+nt= 0.0183. \label{eq:2.7.5} \]

\[ (n-1)t+ns = 0.0916. \label{eq:2.7.6} \]

Uno pronto llega a:\(\underline{n = 1.53, \, r_1 = 15.8\space \text{cm},\space r_2 = −100.0 \, \text{cm}}\).

Nuestra suposición de que la lente es biconvexa estaba equivocada. La segunda superficie es al revés, y la lente es una lente convergente de menisco.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Una lente convergente forma una imagen real de un objeto real. Mostrar que la menor distancia entre el objeto real y la imagen real es\(4f\), y que el aumento es entonces −1. Recuerda esto cuando intentas mostrar diapositivas en tu sala de estar, y parece que no puedes enfocar el proyector en la pantalla.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Una pantalla está a una distancia fija de un objeto real. Una lente convergente se coloca entre el objeto y la pantalla para arrojar una imagen real invertida magnificada en la pantalla. Luego se mueve el lente hacia la pantalla, y, después de que se haya movido una distancia\(d\), se ve que arroja otra imagen real, invertida sobre la pantalla, pero esta vez disminuida. Mostrar que, si la distancia entre el objeto y la pantalla es\(w\), la distancia focal de la lente es

\( f= \frac{w^2-d^2}{4w}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un escarabajo en el eje de una lente convergente y a una distancia mayor que\(2f\) desde ella corre hacia la lente a una velocidad\(v\). Demostrar que su imagen real se mueve a una velocidad\(m^2 v\), donde\(m\) está el aumento transversal. ¿En qué dirección se mueve la imagen, acercándose o alejándose de la lente?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dos medios de índices de refracción\(n_1\) y\(n_2\) están separados por una interfaz de refracción esférica o por una lente — no importa cuál. Un objeto de longitud\(\Delta p\) se encuentra a lo largo del eje en el\(n_1\) lado. Como resultado, la longitud de la imagen es\(\Delta q\). La relación\(\Delta q/ \Delta p \) se llama aumento l ongitudinal. Demostrar que

\( m_\text{long} = \frac{n_2}{n_1}m^2_\text{lat}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Cuando una lente convergente se coloca en agua (índice de refracción =\(\frac{3}{4}\)) su distancia focal es el doble de lo que es cuando está en el aire. ¿Cuál es el índice de refracción del vidrio del que está hecha la lente?