3.4: La Cámara

La cámara es una caja con una lente en un lado de la misma y una película fotográfica o un CCD en el lado opuesto. La distancia entre la lente de la cámara y la película se puede cambiar para enfocar objetos a varias distancias. La apertura también se puede cambiar. Con poca luz necesitas abrir la abertura para dejar entrar mucha luz; pero esto hace que la imagen sea menos nítida, y tienes una profundidad de campo menor.

La apertura de una lente es meramente su diámetro, y generalmente se expresa como una fracción de la distancia focal. Por lo tanto, una abertura de\(f\) /22 es una abertura pequeña. Puedes usar esto solo con luz fuerte, pero entonces tendrás bonitas imágenes nítidas y una gran profundidad de campo. Una apertura de\(f\) /6.3 está completamente abierta; el cono de luz dentro de la cámara es bastante empinado, y el enfoque es entonces bastante crítico. Usas una apertura tan amplia solo si te ves obligado a hacerlo por una luz tenue. Las aberturas normalmente disponibles en una cámara suelen estar en pasos con una relación\(\sqrt{2}\) de aproximadamente una a la siguiente. A medida que aumentas la apertura en un factor de\(\sqrt{2}\), obtienes el doble de luz en la película (porque esto depende del área de la lente expuesta), por lo que presumiblemente puedes reducir el tiempo de exposición a la mitad. Esto es probablemente cierto para una cámara CCD; el grado de ennegrecimiento de una película fotográfica no es del todo proporcional al producto de la iluminancia y al tiempo, pero al menos sirve como una guía aproximada.

¿Cómo se relaciona la profundidad de enfoque con la apertura? Supongamos que tenemos una lente que está libre de aberraciones como la aberración esférica, y que un objeto puntual produce una imagen puntual en el plano focal. Si su película o CCD no está exactamente en el plano, se iluminará no por una imagen puntual sino por un pequeño círculo de diámetro finito. Si este círculo es más pequeño que el tamaño de grano o píxel, es posible que desee considerarlo no muy desenfocado. Entonces la pregunta es: ¿Hasta dónde puedes alejar la película del plano focal en cualquier dirección sin que la imagen esté seriamente desenfocada? Este rango es la profundidad de enfoque.

En la Figura III.4 vemos un cono de luz que converge de una lente de radio\(R\) a un punto focal a distancia\(f\). Supongamos que colocamos una película o CCD en el plano indicado por la línea punteada a una\(x\) distancia del punto focal, y que estamos preparados para tolerar una “imagen” de radio desenfocada\(r\). De triángulos similares vemos eso\(x/r = f/R\). O, si\(D\) es el diámetro de la lente, y d es el diámetro del círculo fuera de foco tolerable,\(x/d = f/D\). Así podemos colocar la película a una distancia a cada\(fd/D\) lado del verdadero plano focal sin una degradación apreciable de la imagen. Por ejemplo, si la abertura es\(D = f/6.3\), y está preparado para tolerar un diámetro fuera de foco\(d\) = 0.1 mm, la profundidad de enfoque será de ±6.3\(d\) o ±0.63 mm. Por otro lado si “te detienes” a\(D = f/22\), tu profundidad de enfoque será de 2.2 mm. Obsérvese que no hemos estado considerando aquí el efecto de la aberración esférica, pero por supuesto esto, también, aumenta con la apertura, así como meramente el efecto “desenfocado”.

Observe que la tangente del semi ángulo del cono convergente es\(R/f,\) o\(D/2f\). Para aberturas de\(f/6.3\) y\(f/22\), los semiángulos son 4°.5 y 2°.6 respectivamente. Esto puede dar cierta comodidad a aquellos lectores que se han sentido incómodos con nuestra suposición de que los ángulos son pequeños. No he podido dibujar los dibujos de lentes y espejos en estos capítulos con ángulos realistas y pequeños, porque los dibujos estarían demasiado abarrotados. Espero que entiendas esta deficiencia; ¡eres bienvenido a probarte a ti mismo!

La profundidad de enfoque no es lo mismo que la profundidad de campo. Supongamos que queremos fotografiar un objeto a una distancia p de la lente de la cámara, y que estamos preparados para tolerar una “imagen” fuera de foco de diámetro hasta\(d\), o radio\(r\). Cualquier objeto a una distancia dentro del rango\(p \pm \Delta p\) puede satisfacer esto, y ahora queremos encontrar\(\Delta p\). La Figura III.5 muestra, con líneas continuas, la luz de un objeto a distancia\(p\) llegando a un foco a distancia\(q\), y con líneas discontinuas, la luz de un objeto a una distancia\(\Delta p\) más cercana a la lente llegando a un foco a una distancia\(\Delta q\) más alejada de la lente. La posición de la película está indicada por la línea punteada, y el radio de la “imagen” discontinua desenfocada es\(r\).

Tenemos

\[ \frac{1}{q} = -\frac{1}{q} = -\frac{1}{p} + \frac{1}{f},\label{eq:3.5.1} \]

Así que

\[ q = \frac{pf}{p-f}\label{eq:3.5.2} \]

y, sin tener en cuenta la firma

\[ \Delta q = - \left(\frac{f}{p-f}\right)^2 \Delta p. \label{eq:3.5.3} \]

Desde triángulos similares vemos que

\[\frac{R}{q+\Delta q }= \frac{r}{\Delta q}. \label{eq:3.5.4} \]

Eliminación\(q\) y\(\Delta q \) resultados en

\[ \Delta p = \frac{pr(p-f)}{f(R-r)}, \label{eq:3.5.5} \]

o, en términos de diámetros y no de radios,

\[ \Delta p = \frac{pd(p-f)}{f(D-d)}.\label{eq:3.5.6} \]

Por ejemplo, supongamos que la distancia focal es\(f = 25\) cm y quieres fotografiar un objeto a una distancia de\(p\) = 400 cm. Usted está preparado para considerar tolerable una “imagen” desenfocada si su diámetro no es mayor que\(d\) = 0.1 mm. Si la apertura es\(D = f/6.3\), puede fotografiar objetos en el rango (400 ± 15) cm, mientras que si “se detiene” a\(D = f/22\), puede fotografiar objetos en el rango (400 ± 53) cm.

A la aproximación que\(d << D\) y\(f << p\), Ecuación\(\ref{eq:3.5.6}\) se convierte

\[\Delta p \approx \frac{p^2d}{fD}. \label{eq:3.5.7} \]