4.3: Astigmatismo

En griego, estigma significa una marca, en particular la marca hecha por el pinchazo de un instrumento puntiagudo. Un instrumento óptico ideal produce una imagen de una fuente puntual, que también es un punto. Si la imagen no es un punto, entonces es astigmática. Sin embargo, el uso de la palabra astigmático para describir una imagen de una fuente puntual que no es también un punto se restringe al tipo de aberración óptica descrita en esta sección.

La manera más fácil de entender el fenómeno del astigmatismo es imaginar una lente (o espejo) cuyas superficies no son exactamente esféricas sino para las cuales el radio de curvatura (y por lo tanto la distancia focal) en un plano es diferente del radio de curvatura en un plano en ángulo recto con el primero.

Esto va a estirar hasta el límite mis pobres habilidades artísticas. La elipse pretende representar una lente vista algo por detrás, en ángulo. La línea negra es su eje óptico. Se supone que la lente se ilumina desde la izquierda con un haz de luz paralelo al eje óptico. He dibujado dos rayos transmitidos en el plano vertical por medio de dos flechas azules que convergen sobre el eje óptico a cierta distancia de la lente. He dibujado dos rayos transmitidos en el plano horizontal por medio de dos flechas rojas que convergen sobre el eje óptico a una distancia ligeramente mayor de la lente. (Los colores de las flechas no pretenden significar diferentes colores de luz. Supondremos que la luz es toda monocromática.) Evidentemente los rayos de diferentes puntos alrededor de la circunferencia de la lente llegan a un desorden confuso en el eje óptico; la imagen es decididamente astigmática. De hecho, en un punto del eje óptico, se forma una imagen lineal; un poco más a lo largo del eje, se forma otra imagen lineal, en ángulo recto con la primera. En la Figura IV.7, repito la Figura IV.6, pero agrego estas imágenes de dos líneas.

A medida que se mueve a lo largo del eje óptico, la imagen cambia de una línea horizontal a una línea vertical en una secuencia que se ve algo así:

En algún lugar aproximadamente a medio camino entre las dos imágenes lineales se encuentra el “círculo de menor confusión”.

He explicado la aberración del astigmatismo al suponer que la lente tiene una distancia focal diferente en un plano que en el otro. Esta puede ser la forma más fácil para una explicación introductoria de la aberración. Sin embargo, en la práctica es poco probable que una lente tenga diferentes distancias focales en dos planos ortogonales; de hecho, sería bastante difícil hacer tal lente.

En la mayoría de los casos el astigmatismo se produce, como veremos, al utilizar una lente o espejo perfectamente buenos fuera del eje.

Si miras una estrella a través de un telescopio, y si mueves el ocular hacia adentro y hacia afuera mientras miras a través de él, es posible que veas la imagen estelar pasando por una serie de imágenes astigmáticas como las ilustradas anteriormente. Esto no suele ser causado por una lente mala, sino que se produce si el vidrio objeto (en un telescopio refractario) o la lente (en un telescopio reflectante) está torcido en su celda, de modo que lo estás usando fuera del eje. En efecto, hacer esta pequeña prueba es una buena manera de saber si el vidrio objeto o el espejo están torcidos en su celda.

Si bien diferentes radios de curvatura en diferentes planos no es la causa habitual del astigmatismo, existe una excepción, es decir, el ojo humano. Si los radios de curvatura de la córnea, o del cristalino, son diferentes en diferentes planos, entonces la imagen en la retina será astigmática incluso sobre el eje.

Vimos en el Capítulo 1 que la refracción en una superficie plana produce aberración esférica. No siempre se aprecia que la refracción en una superficie plana produce astigmatismo cuando la superficie se ve en ángulo. Si visitas un acuario y miras el lado de cristal de un tanque en ángulo, verás que los peces se ven un poco borrosos debido a este astigmatismo.

En la Figura IV.8 he dibujado dos rayos desde un punto O en la parte inferior de un bloque de vidrio, haciendo ángulos de 20° y 30° con la normal a la superficie superior. Con un índice de refracción de 1.6 los ángulos que hacen los rayos emergentes con la normal son 33° y 53°. Me refiero al plano del papel (o la pantalla de su computadora) como el plano tangencial. Un plano vertical perpendicular al plano del papel es el plano sagital. Verá que los dos rayos en el plano tangencial divergen, después de la refracción, desde un punto T en el plano tangencial. Si tomamos la altura del bloque de vidrio para ser 1, podemos calcular que las\((x, y)\) coordenadas del punto T en el plano tangencial son (0.145, 0.666).

Para anticipar, la imagen en T no es un punto; más bien, es una línea horizontal corta en el plano sagital, perpendicular al plano del papel.

Ahora veamos el bloque de vidrio desde arriba:

He dibujado (con precisión, espero, después de algún cálculo) la elipse donde el cono de luz proveniente de O cruza la superficie superior del bloque. Los puntos P y Q están en el plano tangencial, y la luz que emerge de P y Q parece divergir de T. Los puntos R y U están en el plano sagital. Rastrear los rayos OR y OU después de la emergencia del bloque no parece muy fácil, pero probablemente se acordará que no divergen de T, como lo hicieron los rayos en el plano tangencial. En efecto, después de pensarlo más, probablemente verá que los rayos OR y OU después de la emergencia estarán divergiendo desde un punto S en el\(y\) eje -eje; es decir, directamente por encima de O.

Como referencia, las coordenadas de los diversos puntos del dibujo, si mis cálculos son correctos, son:

O: (0.000 000 000, 0.000 000 000, 0.000 000)

P: (0.363 970 234, 1.000 000 000, 0.000 000 000)

Q: (0.577 350 269, 1.000 000 000, 0.000 000 000)

R: (0.470 660 252, 1.000 000 000, 0.069 344 256)

U: (0.470 660 252, 1.000 000 000, −0.069 344 256)

T: (0.145 831 216, 0.666 360 298, 0.000 000 000)

S: (0.000 000 000, 0.497 301 940, 0.000 000 000)

El ángulo de incidencia del rayo a R es 25.442 358 40 grados a la normal, y el ángulo de refracción es 43.421 850 83 grados.

El resultado neto de esto es que hay una “imagen” lineal corta en T perpendicular al plano tangencial, y una “imagen” lineal corta en S perpendicular al plano sagital, y, en algún punto intermedio, hay un círculo de menor confusión. Una forma de observar la situación es reconocer que el frente de onda del cono emergente es no esférico; sus radios de curvatura son diferentes en los planos tangencial y sagital.

Así, la refracción en una superficie plana resulta tanto en aberración esférica como en astigmatismo. La refracción a través de un prisma de vidrio, como en un espectrógrafo prismático, también produce astigmatismo, y se puede demostrar que el astigmatismo es menor cuando la luz pasa a través del prisma simétricamente en la posición de mínima desviación. Esta es una de las razones por las que los espectrógrafos de prisma se utilizan normalmente en la posición de desviación mínima.

Hemos visto que una lente no produce una imagen puntual de un objeto puntual en el eje de la lente, sino que la imagen está sujeta a aberración esférica. La aberración esférica es pequeña si la apertura de la lente es pequeña en comparación con su distancia focal y las distancias de objeto e imagen, de manera que los ángulos que hacen los diversos rayos con el eje óptico son lo suficientemente pequeños como para que se pueda hacer la aproximación\(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta\), y es pequeño también si la forma de la lente es diseñados adecuadamente como en el ejemplo de la Sección 4.2. Para un objeto puntual en el eje, la imagen está libre de astigmatismo (presumiendo que los radios de curvatura de la lente en los planos tangencial y sagital son iguales). Sin embargo, para un objeto puntual fuera de eje, en el que la luz pasa a través de la lente en ángulo oblicuo, el cono refractado da lugar a una imagen astigmática de la misma manera que para la refracción oblicua en una superficie plana. Esto habrá una línea “imagen” normal al plano tangencial, y, a una distancia diferente, habrá otra línea normal al plano sagital, y un círculo de menor confusión entre ellos. Cuanto más fuera del eje esté el objeto, mayor será la distancia entre las líneas tangencial y sagital. (La distancia será cero para un objeto puntual en el eje). A diferencia del caso de la aberración esférica, la cantidad de astigmatismo (la distancia entre T y S) no mejora mucho al cambiar la forma de la lente, y a menudo se usa un tercer componente de lente para corregir el astigmatismo.

Mencionamos, sin embargo, que el astigmatismo en el ojo generalmente es causado por diferentes curvaturas tangenciales y sagitales de la córnea, y es evidente tanto en el eje como fuera del eje. Se puede corregir mediante una sola lente, la cual está diseñada para tener diferentes curvaturas tangenciales y sagitales. Tales lentes no son fáciles de hacer, y generalmente son bastante caros