1.3: Ecuaciones cuadráticas
- Page ID
- 131223
Cualquier lector de este libro sabrá que las soluciones a la Ecuación cuadrática
\[ax^2 + bx + c = 0 \label{1.3.1}\]
son
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \label{1.3.2}\]
y no tendrá dificultad en encontrar que las soluciones para
\[2.9x^2 - 4.7x + 1.7 = 0 \nonumber\]
son
\[x = 1.0758 \text{ or } 0.5449. \nonumber\]
Ahora vamos a buscar, en gran parte por diversión, dos métodos numéricos iterativos alternativos para resolver una Ecuación cuadrática. Uno de ellos resultará no ser muy bueno, pero el segundo resultará lo suficientemente bueno como para merecer nuestra seria atención.
En el primer método, reescribimos la Ecuación cuadrática en la forma
\[x = \frac{-\left(ax^2 + c \right)}{b} \nonumber\]
Adivinamos un valor para una de las soluciones, ponemos la conjetura en el lado derecho, y de ahí calculamos un nuevo valor para\(x\). Seguimos iterando así hasta que la solución converja.
Por ejemplo, adivinemos que una solución a la Ecuación\(2.9x^2 − 4.7x + 1.7 = 0\) es\(x = 0.55\). Las iteraciones sucesivas producen los valores
\ begin {array} {c c}
0.54835 & 0.54501\\
0.54723 & 0.54498\\
0.54648 & 0.54496\\
0.54597 & 0.54495\\
0.54562 & 0.54494\\
0.54539 & 0.54493\\
0.54524 & 0.54493\\
0.54513 & 0.54494\\
0.54506 & 0.54492\\
\ nonumber
\ end {array}
Finalmente llegamos a la respuesta correcta, pero de hecho fue muy lenta a pesar de que nuestra primera conjetura estuvo tan cerca de la respuesta correcta que no habría sido probable que hiciéramos una primera conjetura tan buena accidentalmente.
Intentemos obtener la segunda solución, e intentaremos una primera suposición de 1.10, que de nuevo es una primera suposición tan buena que no sería probable que llegaremos a ella accidentalmente. Las iteraciones sucesivas dan como resultado
\ begin {array} {c}
1.10830\\
1.11960\\
1.13515\\
\ nonumber
\ end {array}
y estamos cada vez más lejos de la respuesta correcta!
Intentemos una mejor primera suposición de 1.05. Esta vez, las iteraciones sucesivas dan como resultado
\ begin {array} {c}
1.04197\\
1.03160\\
1.01834\\
\ nonumber
\ end {array}
Nuevamente, estamos cada vez más lejos de la solución.
No hace falta decir más para convencer al lector de que este no es un buen método, así que intentemos algo un poco diferente.
Empezamos con
\[ax^2 + bx = -c \label{1.3.3}\]
Añadir\(ax^2\) a cada lado:
\[2ax^2 + bx = ax^2 - c \label{1.3.4}\]
o\[(2ax + b)x = ax^2 - c \label{1.3.5}\]
Resolver para\(x\):\[x = \frac{ax^2-c}{2ax+b} \label{1.3.6}\]
Esta es solo la Ecuación original escrita en una forma ligeramente rearreglada. Ahora hagamos una conjetura para\(x\), e iteremos como antes. Esta vez, sin embargo, en lugar de hacer una suposición tan buena que es poco probable que nos hayamos topado con ella, hagamos una primera conjetura muy estúpida, por ejemplo\(x = 0\). Luego, las iteraciones sucesivas proceden de la siguiente manera.
\ begin {array} {c}
0.00000\\
0.36170\\
0.51751\\
0.54261\\
0.54491\\
0.54492\
\ nonumber
\ end {array}
y la solución convergió rápidamente a pesar de la excepcional estupidez de nuestra primera conjetura. El lector ahora debería probar otra primera suposición muy estúpida para intentar llegar a la segunda solución. Lo intenté\(x = 100\), lo cual es muy estúpido de hecho, pero encontré convergencia a la solución\(1.0758\) después de solo algunas iteraciones.
A pesar de que ya sabemos resolver una Ecuación cuadrática, hay algo intrigante en esto. ¿Cuál fue la motivación para agregar\(ax^2\) a cada lado de la Ecuación, y por qué el reordenamiento menor resultante condujo a una rápida convergencia desde una estúpida primera suposición, mientras que una simple iteración directa o bien convergió extremadamente lentamente desde una primera suposición imposiblemente buena o no convergió en absoluto?