2.1: La Línea Recta
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Podría pensarse que hay una cantidad bastante limitada que podría escribirse sobre la geometría de una línea recta. Podemos manejar algunas Ecuaciones aquí, sin embargo, (hay 35 en esta sección de la Línea Recta) y volveremos para más sobre el tema en el Capítulo 4.
La mayoría de los lectores estarán familiarizados con la Ecuación para una línea recta:
y=mx+c
La pendiente (o gradiente) de la línea, que es la tangente del ángulo que hace con elx eje -esm, y la intersección en ely eje esc. Existen varias otras formas que pueden ser de utilidad, como
xx0+yy0=1
y−y1x−x1=y2−y1x2−x1
que también se puede escribir
\ begin {array} {| c c c | c}
x & y & 1\\
x_1 & y_1 & 1 & =0\\
x_2 & y_2 & 1\\
\ etiqueta {2.2.4}\ tag {2.2.4}
\ end {array}
xcosθ+ysinθ=p
Las cuatro formas se ilustran en la figuraII.1.
FIGURE II.1
También se puede escribir una línea recta en el formulario
Ax+By+C=0.
SiC=0, la línea pasa por el origen. SiC≠0, no se pierde información, y se guarda algo de aritmética y álgebra, si dividimos la ecuación\ ref {2.2.6} porC y la reescribimos en la forma
ax+by=1.
DejarP(x,y) ser un punto en la línea y dejarP0(x0,y0) ser un punto en el plano no necesariamente en la línea. Es de interés encontrar la distancia perpendicular entreP0 y la línea. DejarS ser el cuadrado de la distancia entreP0 yP. Entonces
S=(x−x0)2+(y−y0)2
Podemos expresar esto en términos de la variable única sustituyendox pory de Ecuación2.2.7. Diferenciación deS con respecto ax mostrará entonces queS es menor para
x=a+b(bx0−ay0)a2+b2
El valor correspondiente paray, encontrado en Ecuaciones2.2.7 y2.2.9, es
y=b+a(ay0−bx0)a2+b2.
El puntoP descrito por Ecuaciones2.2.9 y2.2.10 es el punto más cercano aP0 en la línea. La distancia perpendicularP de la línea esp=√S o
p=1−ax0−by0√a2+b2.
Esto es positivo siP0 está en el mismo lado de la línea que el origen, y negativo si está en el lado opuesto. Si las distancias perpendiculares de dos puntos de la línea, calculadas a partir de la Ecuación2.2.11, son de signos opuestos, están en lados opuestos de la línea. Sip=0, o de hecho si el numerador de Ecuación2.2.11 es cero, el puntoP0(x0,y0) está, por supuesto, en la línea.
DejarA(x1,y1), B(x2,y2) yC(x3,y3) ser tres puntos en el plano. ¿Cuál es el área del triánguloABC? Una forma de responder a esto es sugerida por la figuraII.2.
FIGURE II.2
Vemos que
área de triánguloABC = área de trapecioA′ACC′ (ver comentario*)
+ área de trapecioC′CBB′
− área de trapecioA′ABB′.
=12(x3−x1)(y3+y1)+12(x2−x3)(y2+y3)−12(x2−x1)(y2+y1)
=12[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
\ begin {array} {l r | c c c |}
& & x_1 & x_2 & x_3\\
= &\ frac {1} {2} & y_1 & y_2 & y_3\\
& & 1 & 1 & 1 & 1\
\ etiqueta {2.2.12}\ tag {2.2.12}
\ end {array}
* Desde que escribí esta sección me he dado cuenta de una diferencia en los usos estadounidenses y británicos de la palabra “trapecio”. Al parecer en el uso británico, “trapecio” significa un cuadrilátero con dos lados paralelos. En el uso estadounidense, un trapecio significa un cuadrilátero sin lados paralelos, mientras que un cuadrilátero con dos lados paralelos es un “trapecio”. Como ocurre con muchas palabras, los usos británicos o estadounidenses pueden ser escuchados en Canadá. En la derivación anterior, pretendía el uso británico. Lo que hay que aprender de esto es que siempre debemos cuidar de hacernos entender claramente al usar palabras tan ambiguas, y no asumir que el lector las interpretará de la manera que pretendemos.
Al lector le gustaría trabajar a través de un método alternativo, utilizando resultados que hemos obtenido anteriormente. Se obtendrá el mismo resultado. En caso de que el álgebra resulte un poco tedioso, se puede encontrar más fácil trabajar a través de un ejemplo numérico, como: calcular el área del triánguloABC, dondeA,B,C son los puntos (2,3), (7,4), (5,6) respectivamente. En el segundo método, observamos que el área de un triángulo es12×base×height. Así, si podemos encontrar la longitud del lado BC, y la distancia perpendicular deA desdeBC, podemos hacerlo. El primero es fácil:
(BC)2=(x3−x2)2+(y3−y2)2.
Para encontrar la segunda, podemos escribir fácilmente la Ecuación a la líneaBC de Ecuación2.2.3, y luego volver a escribirla en la forma2.2.7. Entonces Ecuación nos2.2.11 permite encontrar la distancia perpendicular deA desdeBC, y el resto es fácil.
Si el determinante en Ecuación??? es cero, el área del triángulo es cero. Esto significa que los tres puntos son colineales.
El ángulo entre dos líneas
y=m1x+c1
yy=m2x+c2
se encuentra fácilmente recordando que los ángulos que hacen con elx eje sontan−1 m1 ytan−1 m2 junto con la fórmula de trigonometría elementaltan(A−B)=(tanA−tanB)/(1+tanAtanB). Entonces queda claro que la tangente del ángulo entre las dos líneas es
m2−m11+m1m2.
Las dos líneas están en ángulo recto entre sí si
m1m2=−1
La línea que biseca el ángulo entre las líneas es el lugar de puntos que son equidistantes de las dos líneas. Por ejemplo, considere las dos líneas
−2x+5y=1
30x−10y=1
Haciendo uso de la Ecuación2.2.11, vemos que un punto(x,y) es equidistante de estas dos líneas si
1+2x−5y√29=±1−30x+10y√1000.
El significado de la± voluntad se hará evidente en breve. Las opciones + y − resultan, respectivamente, en
−8.568x+8.079y=1
y2.656x+2.817y=1.
Las dos líneas continuas en la figuraII.3 son las líneas2.2.18 y2.2.19. Hay dos bisectores, representados por Ecuaciones2.2.21 y2.2.22, mostrados como líneas punteadas en la figura, y están en ángulo recto entre sí. La elección del signo + en Ecuación2.2.20 (que en este caso resulta en Ecuación2.2.21, la bisectriz en figuraII.3 con la pendiente positiva) da la bisectriz del sector que contiene el origen.
Una ecuación de la forma
ax2+2hxy+by2=0
se puede factorizar en dos factores lineales sin término constante y, por lo tanto, representa dos líneas que se cruzan en el origen. Se deja como un ejercicio para determinar los ángulos que las dos líneas hacen entre sí y con elx eje, y para mostrar que las líneas
x2+(a−bh)xy−y2=0
son los bisectores de2.2.23 y son perpendiculares entre sí.
FIGURE II.3
Dadas las Ecuaciones a tres líneas rectas, ¿podemos encontrar el área del triángulo delimitada por ellas? Encontrar una expresión algebraica general puede ser un poco tedioso, aunque al lector le gustaría probarla, pero un ejemplo numérico es sencillo. Por ejemplo, considere las líneas
x−5y+12=0,
3x+4y−9=0,
3x−y−3=0.
Al resolver las Ecuaciones en pares, pronto se encuentra que se cruzan en los puntos (−0.15789, 2.36842), (1.4, 1.2) y (1.92857, 2.78571). La aplicación de la Ecuación da??? entonces el área como 1.544. El triángulo se dibuja en la figuraII.4. Mida cualquier lado y la altura correspondiente con una regla y vea si el área es de hecho alrededor de 1.54.
Pero ahora consideremos las tres líneas
x−5y+12=0,
3x+4y−9=0,
3x+23y−54=0.
FIGURE II.4
Al resolver las Ecuaciones en pares, se encontrará que las tres líneas se cruzan en un mismo punto (por favor haga esto), y el área del triángulo es, por supuesto, cero. Cualquiera de estas Ecuaciones es, de hecho, una combinación lineal de las otras dos. Debe dibujar estas tres líneas con precisión en papel cuadriculado (o por computadora). En general, si tres líneas son
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
A3x+B3y+C3=0
serán concurrentes en un solo punto si
\ begin {array} {| c c c | c}
A_1 & B_1 & C_1\\
A_2 & B_2 & C_2 & = 0. \\
A_3 y B_3 y C_3\
\ etiqueta {2.2.34}\ tag {2.2.34}
\ end {array}
Así, el determinante en Ecuación??? proporciona una prueba de si tres puntos son colineales, y el determinante en Ecuación??? proporciona una prueba de si tres líneas son concurrentes.
Finalmente -al menos para el presente capítulo- puede haber rara ocasión de escribir la Ecuación de una línea recta en coordenadas polares. Debe ser evidente a partir de la figuraII.5 que las Ecuaciones
r=pcsc(θ−α) or r=pcsc(α−θ)
describir una línea recta que pasa a unap distancia del poste y que forma un ánguloα con la línea inicial. Sip=0, la Ecuación polar es meramenteθ=α.
FIGURE II.5