2.2: La elipse
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Una elipse es una figura que se puede dibujar pegando dos alfileres en una hoja de papel, atando un largo de cuerda a los alfileres, estirando la cuerda tensa con un lápiz y dibujando la figura que resulta. Durante este proceso, la suma de las dos distancias del lápiz a un alfiler y del lápiz al otro alfiler permanece constante e igual a la longitud de la cuerda. Este método de dibujar una elipse nos proporciona una definición formal, que adoptaremos en este capítulo, de elipse, a saber:
Una elipse es el locus de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos llamados focos es constante (ver figura II.6).
FIGURE II.6
Llamaremos a la suma de estas dos distancias (es decir, la longitud de la cuerda)2a. La relación de la distancia entre los focos a la longitud de la cuerda se llama la excentricidade de la elipse, de manera que la distancia entre los focos es2ae, ye es un número entre 0 y 1.
El eje más largo de la elipse es su eje mayor, y un poco de pensamiento mostrará que su longitud es igual a la longitud de la cuerda; es decir,2a. El eje más corto es el eje menor, y su longitud suele ser denotada por2b. La excentricidad está relacionada con la relación de unab/a manera que discutiremos en breve.
La relación
η=(a−b)/a
se llama elipticidad si la elipse. No es más que una medida alternativa de la no circularidad. Está relacionado con la excentricidad, y en breve también obtendremos esa relación. Hasta entonces, la FiguraII.7 muestra pictóricamente la relación entre ambos.
FIGURE II.7
Utilizaremos nuestra definición de elipse para obtener su Ecuación en coordenadas rectangulares. Colocaremos los dos focos en elx eje -en las coordenadas (−ae, 0) y (ae, 0) (véase la figura II.8).
FIGURE II.8
Eso lo requiere la definiciónPF1+PF2=2a. Es decir:
[(x+ae)2+y2]12+[(x−ae)2+y2]12=2a,
y esta es la Ecuación a la elipse. El lector debería poder, después de un poco de álgebra un poco incómoda, demostrar que esto se puede escribir de manera más conveniente como
x2a2+y2a2(1−e2)=1.
Al ponerx=0, se ve que la elipse se cruza con ely eje -en±a√1−e2 y por lo tanto esoa√1−e2 es igual al eje semi menorb. Así tenemos la ecuación familiar a la elipse
x2a2+y2b2=1
así como la importante relación entrea,b ye:
b2=a2(1−e2)
El lector también puede ahora derivar la relación entre elipticidadη y excentricidade:
η=1−√(1−e2).
Esto también se puede escribir
e2=√η(2−η)
oe2+(η−1)2=1.
Esto muestra, por cierto, que la gráfica deη versuse, que hemos dibujado en la figuraII.7, forma parte de un círculo de radio 1 centrado ene=0, η=1.
En las figurasII.9 he dibujado elipses de excentricidades 0.1 a 0.9 en pasos de 0.1, y en la figuraII.10 I he dibujado elipses de elipticidades 0.1 a 0.9 en pasos de 0.1. Puede encontrar que la elipticidad le da una mejor idea que la excentricidad de la no circularidad de una elipse. Para un ejercicio, debes dibujar en las posiciones de los focos de cada una de estas elipses, y decidir si la excentricidad o elipticidad te da una mejor idea de la “excentricidad” de los focos. Obsérvese que las excentricidades de las órbitas de Marte y Mercurio son, respectivamente, de aproximadamente 0.1 y 0.2 (estas son las más excéntricas de las órbitas planetarias a excepción de Plutón parecido a un cometa), y es difícil para el ojo ver que se apartan en absoluto de los círculos, aunque, cuando se dibujan los focos, es obvio que los focos son “excéntricos”.
FIGURE II.9: El número dentro de cada elipse es su excentricidad.
FIGURE II.10: La figura dentro o debajo de cada elipse es su elipticidad.
En la teoría de las órbitas planetarias, el Sol estará en un solo foco. Supongamos que sea enF2 (ver figuraII.8). En ese caso la distanciaF2 B es la distancia perihelioq, y es igual a
q=a(1−e).
La distanciaF2 A es la distancia de afelión Q (pronunciada afhelio por algunos y affelion por otros − y ambas tienen posiciones defendibles), y es igual a
Q=a(1+e).
Una línea paralela al eje menor y que pasa por un foco se llama recto latus (plural: latera recta). La longitud de un recto semilatoso se denota comúnmente porl (a veces porp). Su longitud se obtiene poniendox=ae en la Ecuación a la elipse, y se encontrará fácilmente que
l=a(1−e2).
La longitud del recto semilatoso es una cantidad importante en la teoría de la órbita. Se encontrará, por ejemplo, que la energía de un planeta está estrechamente relacionada con el semieje mayora de su órbita, mientras que su momento angular está estrechamente relacionado con el recto semi latus.
El círculo cuyo diámetro es el eje mayor de la elipse se denomina círculo excéntrico o, preferiblemente, el círculo auxiliar (figuraII.11). Su Ecuación es
x2+y2=a2.
FIGURE II.11
En la teoría de la órbita el ángulov (denotadof por algunos autores) se llama la verdadera anomalía de un planeta en su órbita. El ánguloE se llama anomalía excéntrica, y es importante encontrar una relación entre ellos.
Primero notamos que, si la anomalía excéntrica lo esE, las abscisas deP′ y deP son cada unaacosE. La ordenada deP′ esasinE. Al ponerx=acosE en la Ecuación a la elipse, enseguida encontramos que la ordenada deP esbsinE. Siguen varias deducciones. Una es que cualquier punto cuya abscisa y ordenada sean de la forma
x=acosE,y=bsinE
está en una elipse de semieje mayora y semieje menorb. Estas dos Ecuaciones pueden ser consideradas como ecuaciones paramétricas a la elipse. Se pueden usar para describir una elipse tan fácilmente como
x2a2+y2b2=1
y de hecho esta Ecuación es elE -eliminante de las Ecuaciones paramétricas.
La relaciónPM/P′M para cualquier línea perpendicular al eje mayor esb/a. En consecuencia, el área de la elipse esb/a multiplicada por el área del círculo auxiliar; y como el área del círculo auxiliar esπa2, se deduce que el área de la elipse esπab.
En la figuraII.11, la distanciar se denomina vector de radio (vectores de radios plurales), y desde el teorema de Pitágoras su longitud viene dada por
r2=b2sin2E+a2(cosE−e)2.
Al sustituir1−cos2E porsin2E ya2(1−e2) parab2, pronto encontramos que
r=a(1−ecosE)
Entonces se deduce inmediatamente que la relación deseada entrev yE es
cosv=cosE−e1−ecosE.
A partir de identidades trigonométricas, esto también se puede escribir
sinv=√1−e2sinE1−ecosE
otanv=√1−e2sinEcosE−e
otan12v=√1+e1−etan12E.
Las fórmulas inversas también pueden ser útiles:
cosE=e+cosv1+ecosv
sinE=sinv√1−e2e+cosv
tanE=sinv√1−e2e+cosv
tan12E=√1−e1+etan12v.
Hay una serie de propiedades geométricas diversas de una elipse, algunas, pero no necesariamente todas, de las cuales pueden resultar de utilidad en cálculos orbitales. Describimos algunas de ellas en lo que sigue.
Tangentes a una elipse
Encuentra dóndey=mx+c intersecta la línea recta con la elipse
x2a2+y2b2=1.
La respuesta a esta pregunta se encuentra sustituyendoy enmx+c la Ecuación a la elipse. Después de algún reordenamiento, una Ecuación cuadráticax da como resultado:
(a2m2+b2)x2+2a2cmx+a2(c2−b2)=0.
Si esta Ecuación tiene dos raíces reales, las raíces son lasx coordenadas -de los dos puntos donde la línea intersecta la elipse. Si no tiene raíces reales, la línea pierde la elipse. Si tiene dos raíces reales coincidentes, la línea es tangente a la elipse. La condición para ello se encuentra estableciendo el discriminante de la Ecuación cuadrática a cero, a partir de lo cual se encuentra que
c2=a2m2+b2.
Así una línea recta de la forma
y=mx±√a2m2+b2
es tangente a la elipse.
La figuraII.12 muestra varias de tales líneas, paraa=2b y pendientes (tan−1 m)de0∘ a180∘ en pasos de10∘
FIGURE II.12
Círculo Director
La Ecuación que acabamos de derivar para una tangente a la elipse se puede reorganizar para leer
m2(a2−x2)+2mx+b2−y2=0.
Ahora el producto de las pendientes de dos líneas que están en ángulo recto entre sí es−1 (Ecuación 2.2.17). Por lo tanto, si reemplazamosm en la Ecuación anterior por−1/m obtendremos otra tangente a la elipse, en ángulo recto con la primera. La Ecuación a esta segunda tangente se convierte (después de la multiplicación a lo largo porm)
m2(b2−y2)−2mx+a2−x2=0.
Si eliminamosm de estas dos Ecuaciones, obtendremos una Ecuación enx yy que describe el punto donde se encuentran las dos tangentes perpendiculares; es decir, la Ecuación que describirá una curva que es el locus del punto de intersección de dos tangentes perpendiculares. Resulta que esta curva es un círculo de radio√a2+b2, y se le llama círculo director.
Es más fácil de lo que podría parecer primero eliminarm de las Ecuaciones. Simplemente tenemos que añadir las Ecuaciones2.3.22 y2.3.23:
m2(a2+b2−x2−y2)+a2+b2−x2−y2=0.
De verdadm, esto solo puede ser si
x2+y2=a2+b2,
que es el lugar requerido del círculo director de radio√a2+b2. Se ilustra en la figuraII.13.
Ahora derivaremos una Ecuación a la línea que es tangente a la elipse en el punto(x1, y1).
Dejar(x1, y1)=(acosE1,bsinE1) y(x2, y2)=(acosE2,bsinE2) ser dos puntos en la elipse.
La línea que une estos dos puntos es
y−bsinE1x−acosE1=b(sinE2−sinE1)a(cosE2−cosE1)=2bcos12(E2+E1)sin12(E2−E1)−2asin12(E2+E1)sin12(E2−E1)=−bcos12(E2+E1)asin12(E2+E1).
FIGURE II.13
Ahora vamos aE2 acercarnosE1, coincidiendo finalmente con él. La ecuación resultante
y−bsinEx−acosE=−bcosEasinE,
en la que ya no distinguimos entreE1 yE2, es la Ecuación de la línea recta que es tangente a la elipse en(acosE ,bsinE). Esto se puede escribir
xcosEa+ysinEb=1
o, en términos de(x1, y1),
x1xa2+y1yb2=1,
que es la tangente a la elipse en(x1, y1).
Una propiedad interesante de una tangente a una elipse, cuya prueba dejo al lector, es esaF1P yF2P hacer ángulos iguales con la tangente atP. Si el interior de la elipse fuera un espejo reflectante y se colocara una fuente puntual de luzF1, se tomaría una imagen enF2. (Echa un vistazo a la figuraII.6 oII.8.) Esto ha tenido una interesante aplicación médica. Un paciente tiene un cálculo renal. Se le pide al paciente que se acueste en un baño elíptico, con el cálculo renal enF2. Una pequeña explosión se detona enF1; la onda de sonido explosiva que emanaF1 se enfoca como una implosiónF2 y el cálculo renal enF2 se rompe. No intentes esto en casa.
Direticas
Las dos líneasx=±a/e se llaman las directrices (directrix singular) de la elipse (figuraII.14).
FIGURE II.14
La elipse tiene la propiedad de que, para cualquier puntoP de la elipse, la relación entre la distanciaPF2 a un foco y la distanciaPN a una directrix es constante y es igual a la excentricidad de la elipse. En efecto, esta propiedad a veces se usa como definición de elipse, y todas las ecuaciones y propiedades que hasta ahora hemos derivado pueden deducirse de dicha definición. Nosotros, sin embargo, adoptamos una definición diferente, y se debe derivar la propiedad focus-directrix. Esto es sencillo, pues, (recordando que la abcissa deF2 esae) vemos a partir de la figuraII.14 que el cuadrado de la relación deseada es
(x−ae)2+y2(a/e−x)2.
En sustitución de
b2(1−(xa)2)=a2(1−e2)(1−(xa)2)=(1−e2)(a2−x2)
paray2, se ve que la expresión anterior se reduce ae2.
Otra propiedad interesante del foco y directrix, aunque una propiedad probablemente con poca aplicación a la teoría de la órbita, es que si la tangente a una elipse en un punto seP cruza con la directrix enQ, entoncesP yQ subtiende un ángulo recto en el foco. (Ver figuraII.15).
FIGURE II.15
Así la tangente aP=(x1, y1) es
x1xa2+y1yb2=1
y es sencillo demostrar que se cruza con la directrixx=a/e en el punto
(ae,b2y1(1−x1ae)).
Las coordenadas del focoF2 son(ae,0). La pendiente de la líneaPF2 es(x1−ae)/y1 y la pendiente de la líneaQF2 es
b2y1(1−x1ae)ae−ae.
Es fácil demostrar que el producto de estas dos pendientes es−1, y de ahí esoPF2 yQF2 están en ángulo recto.
Diámetros conjugados
La izquierda de la figuraII.16 muestra un círculo y dos diámetros perpendiculares. La figura de la derecha muestra cómo se vería el círculo cuando se viera en algún ángulo oblicuo. El círculo se ha convertido en una elipse, y los diámetros ya no son perpendiculares. Los diámetros se denominan diámetros conjugados de la elipse. Uno es conjugado con el otro, y el otro es conjugado con el uno. Tienen la propiedad -o la definición- de que cada uno biseca todos los acordes paralelos al otro, porque esta propiedad de la bisección, que obviamente está sostenida por los diámetros perpendiculares del círculo, está inalterada en proyección.
FIGURE II.16
Es fácil dibujar dos diámetros conjugados de una elipse de excentricidade ya sea haciendo uso de esta última propiedad mencionada o señalando que es el producto de las pendientes de dos diámetros conjugadose2−1. La prueba de ello se deja para el disfrute del lector.
Un problema de escalera.
Ningún libro sobre matemáticas aplicadas elementales está completo sin un problema de escalera. Una escalera de longituda+b se apoya contra una pared vertical lisa y un piso horizontal liso. Un peldaño particular se encuentra a una distanciaa de la parte superior de la escalera yb de la parte inferior de la escalera. Demuestre que, cuando la escalera se desliza, el peldaño describe una elipse. (Este resultado sugerirá otra forma de dibujar una elipse). Ver figuraII.17.
FIGURE II.17
Si no has hecho este problema después de un minuto, aquí tienes una pista. Deja que en cualquier momento sea el ángulo que hace la escalera con el pisoE. Ese es el final de la pista.
El lector puede ser consciente de que algunas de las propiedades geométricas que hemos discutido en los últimos párrafos son de mayor interés recreativo y pueden no tener mucha aplicación directa en la teoría de las órbitas. En la siguiente subsección volvemos a las propiedades y Ecuaciones que son muy relevantes para la teoría orbital -quizás la más importante de todas para que la computadora de órbita la entienda.
Ecuación polar a la elipse
Obtendremos la Ecuación en coordenadas polares a una elipse cuyo foco es el polo de las coordenadas polares y cuyo eje mayor es la línea inicial(θ=0∘) de las coordenadas polares. En figuraII.18 hemos indicado el ánguloθ de coordenadas polares, y se le puede ocurrir al lector que previamente hemos utilizado el símbolov para este ángulo y lo llamamos la verdadera anomalía. Efectivamente en la actualidad,v yθ son idénticos, pero un poco más tarde vamos a distinguir entre ellos.
FIGURE II.18
De nuestra definición de la elipse,s=2a−r, y así
s2=4a2−4ar+r2.
De la fórmula coseno para un triángulo plano,
s2=4a2e2+r2+4aercosθ.
Al igualar estas expresiones pronto obtenemos
a(1−e2)=r(1+ecosθ).
El lado izquierdo es igual al recto semi latusl, y así llegamos a la Ecuación polar a la elipse, enfoque como polo, eje mayor como línea inicial:
r=11+ecosθ.
Si el eje mayor está inclinado en un ánguloω con respecto a la línea inicial (figuraII.19), la Ecuación se convierte
r=l1+ecos(θ−ω)=l1+ecosv.
FIGURE II.19
La distinción entreθ yv es ahora evidente. θes el ángulo de coordenadas polares,ω es el ángulo entre el eje mayor y la línea inicial (seω denominará en teoría orbital como el “argumento del perihelio”), yv, la verdadera anomalía, es el ángulo entre el radio vector y la línea inicial.