13.9: Iterando

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Ahora podemos usar las Ecuaciones 13.8.35a, b y obtener una mejor estimación de las relaciones triangulares. Los datos numéricos son

\(b_1 = 2/3 , \quad b_3 = 1/3 , \quad r_2 = 3.481 \ 33 , \)

\(τ_1 = t_3 − t_2 = 10\)días solares medios y días solares\(τ_3 = t_2 − t_1 = 5\) medios, pero recordemos que estamos expresando intervalos de tiempo en unidades de\(1/k\), que es días solares\(58.132 \ 440 \ 87\) promedio, y por lo tanto

\(τ_1 = 0.172 \ 021 \quad \text{and} \quad τ_3 = 0.086 \ 010.\)

Las ecuaciones 13.8.35 luego dan como resultado

\(a_1 = 0.666 \ 764, a_3 = 0.333 \ 411\).

Ahora podemos volver a la Ecuación 13.7.4 y comenzar de nuevo con nuestros nuevos valores para las relaciones triangulares — und so weiter − hasta que obtengamos nuevos valores para\(∆_1 , \ ∆_2 , \ ∆_3\) y\(r_2\). A continuación muestro en las dos primeras columnas las primeras estimaciones brutas (ya dadas anteriormente), en las 16 segundas dos columnas los resultados de la primera iteración, y, en las dos últimas columnas, los valores dados en las\(\text{IAU}\) efemérides publicadas.

\ begin {array} {l c c c}
&\ text {Primeras estimaciones crudas} &\ text {Primera iteración} &\ text {MPC}
\\\\
&\ quad r &\ quad r & □\ quad r\\\
1 & 2.72571\ 3.48532 & 2.65825\ 3.41952 & 2.644\ 3.406\
2 & 2.68160\ 3.48133 & 2.61558\ 3.41673 & 2.603\ 3.404\\
3 & 2.61073\ 3.47471 & 2.54579\ 3.41082 & 2.536\ 3.401\
\ final {array}

Vemos que hemos logrado una mejora sustancial, pero aún no estamos ahí. Ahora podemos calcular nuevos valores de\(a_1\) y\(a_3\) a partir de Ecuaciones 13.8.35a, b para obtener

\(a_1 = 0.666 \ 770 \quad a_3 = 0.333 \ 416\).

Podríamos (si así lo deseáramos) ahora volver a las Ecuaciones 13.7.4,5,6, e iterar de nuevo. Sin embargo, esto dará como resultado solo pequeños cambios a\(a_1\),\(a_3\),\(∆\) y\(r\), y tenemos que tener en cuenta que las Ecuaciones 13.8.35a, b son solo aproximaciones (a la orden\(τ^3\)). Por lo tanto, incluso si convergen iteraciones sucesivas, todavía no darán respuestas precisas y correctas para\(∆\) y\(r\).

Para anticiparnos, eventualmente llegaremos a algunas Ecuaciones exactas (Ecuaciones 13.12.25 y 13.12.26) que nos permitirán resolver el problema. Pero estas Ecuaciones no serán fáciles de resolver. Tienen que resolverse por iteración usando una primera suposición razonablemente buena. Nuestro objetivo actual es obtener una primera conjetura razonablemente buena para\(a_1\),\(∆\) y\(a_3\)\(r\), con el fin de prepararnos para la solución de las Ecuaciones exactas 13.12.25 y 13.12.26. Nuestros valores actuales de\(a_1\) y\(a_3\), si bien no son exactos, nos permitirán resolver exactamente las Ecuaciones 13.12.25 y 13.12.26, así que ahora, en lugar de volver de nuevo a las Ecuaciones 13.7.4,5,6, proceder directamente a las Secciones 13.11, 13.12 y 13.13.

Sin embargo, en la siguiente sección, proporcionamos (en las Ecuaciones 13.10.9 y 13.10.10), después de un esfuerzo considerable, expansiones de orden superior para\(a_1\) y\(a_3\). Estos pueden ser útiles, pero por razones explicadas en el párrafo anterior, puede ser más fácil saltarse por completo la Sección 13.10.