18.4: Masas

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En la Sección 18.3 vimos que podíamos obtener valores aproximados de P, V ₀, K ₁, e, ω y T. Pero, aparte de ser la semiamplitud de la curva de velocidad, hemos olvidado el significado de _K1. Nos recordamos a nosotros mismos. Se definió justo después de la Ecuación 18.2.10 como

\[ K_{1}=\frac{n a_{1} \sin i}{\sqrt{1-e^{2}}}.\]

Aquí n es el movimiento medio 2π/ P. Así, como conocemos P (de ahí n), e y K ₁, podemos determinar un ₁ sin i — pero no podemos determinar un ₁ o i por separado.

Ahora el movimiento medio n se da justo antes de la Ecuación 18.2.1 como

\[n^{2} a_{1}^{3}=G M,\]

donde

\[ M=m_{2}^{3} /\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}.\]

(Un recordatorio: El subíndice 1 se refiere, para un binario de una sola línea, a la estrella cuyo espectro podemos observar, y el subíndice 2 se refiere a la estrella que no podemos observar). Todo esto reunido equivale a

\[K_{1}=\frac{G}{\left(1-e^{2}\right) a_{1} \sin i} \times \frac{m_{2}^{3} \sin ^{3} i}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}.\]

Así podemos determinar la función de masa\(\frac{m_{2}^{3} \sin ^{3} i}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \). No podemos determinar las masas separadas, ni su relación o suma, ni la inclinación.

En los últimos años, se ha hecho posible medir velocidades radiales muy pequeñas del orden de unos pocos metros por segundo, y se han detectado varias estrellas binarias de línea simple con valores muy pequeños de _K1; es decir, amplitudes de velocidad radial muy pequeñas. Éstas podrían, por supuesto, referirse a estrellas con pequeñas inclinaciones orbitales, de manera que el plano de la órbita sea casi perpendicular a la línea de visión. Sin embargo, se ha sostenido (por motivos que no me quedan del todo claros) que muchas de estas estrellas binarias de una sola línea con pequeñas variaciones de velocidad radial son en realidad estrellas individuales con un planeta (o planetas) en órbita alrededor de ellas. La masa de la estrella que podemos observar (m ₁) es mucho mayor que la masa del planeta, que no podemos observar (m ₂). Para enfatizar esto, usaré el símbolo M en lugar de m ₁ para la estrella, y m en lugar de m ₂ para el planeta. La función de masa que se puede determinar es, entonces

\(\frac{m^{3} \sin ^{3} i}{(M+m)^{2}}.\)

Si m (la masa del cuerpo invisible — el supuesto planeta) es mucho más pequeña que la estrella (de la masa M) cuya curva de velocidad radial ha sido determinada, entonces la función de masa (que podemos determinar) es justa

\(\frac{m^{3} \sin ^{3} i}{M^{2}}.\)

Y si, además, tenemos una idea razonable de la masa M de la estrella (conocemos su tipo espectral y su clase de luminosidad a partir de su espectro, y podemos suponer que obedece a la relación bien establecida entre la masa y la luminosidad de las estrellas de secuencia principal), entonces podemos determinar m ³ pecado ³ i y de ahí, por supuesto m pecado i. Generalmente se reconoce que no podemos determinar i para una estrella binaria espectroscópica, por lo que se admite que la masa del cuerpo invisible (el supuesto planeta) es incierta por el factor desconocido pecado i.

Sin embargo, todo el argumento, me parece, es fundamental y bastante descaradamente insólido, ya que, para llegar a m sin i y de ahí afirmar que m es de masa típicamente planetaria en lugar de estelar, la suposición de que m es pequeña y yo no tiene ya se ha hecho en la aproximación de la función de masa por\( \frac{m^{3} \sin ^{3} i}{M^{2}}\). A menos que haya evidencia adicional de otro tipo, la observación de una curva de velocidad de pequeña amplitud no es suficiente para indicar la presencia de un compañero invisible de masa planetaria. Igualmente bien (sin evidencia adicional) el compañero invisible podría ser de masa estelar y la inclinación orbital podría ser pequeña.

Si el sistema es un sistema binario espectroscópico de doble línea, podemos determinar la función de masa para cada componente. Es decir, podemos determinar\(\frac{m_{1}^{3} \sin ^{3} i}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}\) y\(\frac{m_{2}^{3} \sin ^{3} i}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}\). Ahora el lector debería convencerlo de que, como ahora conocemos estas dos funciones de masa, podemos determinar la relación de masa y también podemos determinar m ₁ sin ³ i y m ₂ sin ³ i por separado. Pero no podemos determinar m ₁, m ₂ o i.