7.8: Ecuación de Schrödinger

Si el comportamiento de un electrón puede describirse como si fuera una onda, entonces presumiblemente puede describirse mediante la Ecuación de onda:

$$v^2 \nabla^2 \Psi = \ddot \Psi . \label{7.8.1}$$

Aquí$v$ está la velocidad del electrón, o, más bien, la velocidad grupal de su manifestación de onda.

Las soluciones periódicas para$\Psi$ están dadas por$\ddot \Psi = - \omega^2 \Psi$, y, ya que$\omega = kv$, Ecuación se$\ref{7.8.1}$ puede escribir en la forma

$$\nabla^2 \Psi + k^2 \Psi = 0 . \label{7.8.2}$$

La energía total$E$ es la suma de las energías cinéticas y potenciales$T + V$, y la energía cinética es$p^2 /(2m)$. Esta, por supuesto, es la forma no relativista para la energía cinética, y puedes juzgar por ti mismo a partir del cálculo que hiciste justo antes de llegar a la Ecuación 7.4.5 en qué medida esto se justifica o no. Si, en lugar de$p$ sustituir la expresión de Broglie en forma de Ecuación 7.7.3, se llega a la Ecuación de Schrödinger:

$$\nabla^2 \Psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V) \Psi = 0 \label{7.8.3}$$

Para describir el comportamiento de una partícula en cualquier situación particular en la que se encuentre -por ejemplo, si se encuentra confinada al interior de una caja, o unida al final de un resorte, o dando vueltas alrededor de un protón- tenemos que poner en la Ecuación cómo$V$ depende de las coordenadas. Los estados estacionarios de un átomo, es decir, sus niveles de energía, se describen por ondas estacionarias, más que progresivas, y hemos visto que las ondas estacionarias se describen como producto de una función del espacio y una función del tiempo:

$$\Psi ( x,y,z;t) = \psi (x,y,z). \chi (t). \label{7.8.4}$$

Si pones esto en la Ecuación$\ref{7.8.3}$ (todo lo que tienes que hacer es anotar eso$\nabla^2 \Psi = \chi \nabla^2 \psi$ y eso$\Psi = \psi \chi$), encuentras que la parte independiente del tiempo de la Ecuación de Schrödinger satisface

$$\nabla^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2} (E-V) \psi = 0. \label{7.8.5}$$

Cuando nos enfrentamos a situaciones variables en el tiempo -por ejemplo, cuando un átomo está interactuando con una onda electromagnética (luz), debemos usar la Ecuación completa de Schrödinger$\ref{7.8.3}$. Cuando se trata de estados estacionarios (es decir, niveles de energía), tratamos con la Ecuación independiente del tiempo$\ref{7.8.5}$.

Supongamos por un momento que estamos discutiendo no algo complicado como un átomo de hidrógeno, sino solo una partícula que se mueve de manera constante a lo largo del$x$ eje -con ímpetu$p_x$. Intentaremos describirlo como una función de onda progresiva de la forma

$$\Psi = \text{constant} \times e^{i(kx - \omega t)}. \label{7.8.6}$$

(Esa es solo una forma comprimida de escribir$a \cos(kx − \omega t)+ b \sin(kx − \omega t)$.) Esto significa que

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i \omega \Psi \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2 . \label{7.8.7}$$

Ahora vamos a usar,$E = h \nu = \hbar \omega$ y$p = h / \lambda = \hbar k$ además de la relación (no relativista, nota) entre la energía cinética y el impulso$E = p^2 / (2m)$, y llegamos a

$$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} + V(x,t) \Psi . \label{7.8.8}$$

En tres dimensiones (es decir, si la partícula no estaba restringida al$x$ eje sino que se desplazaba en alguna dirección arbitraria en el espacio), esto aparece como:

$$i \hbar \dot \Psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V(x,y,z;t) \Psi . \label{7.8.9}$$

Esto se conoce como la ecuación dependiente del tiempo de Schrödinger.