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13.2: Triángulos

Última actualización

30 oct 2022
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- 13.1: Introducción al Cálculo de Elementos Orbitales
- 13.3: Sectores

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$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Comenzaré con un teorema geométrico que involucra triángulos, que será útil a medida que avancemos hacia nuestro objetivo de computar elementos orbitales.

Figura 13.1.png
$\text{FIGURE XIII.1}$

La figura $\text{XIII.1}$ muestra tres vectores coplanares. Claramente es posible expresarse $\textbf{r}_2$ como una combinación lineal de los otros dos. Es decir, debería ser posible encontrar coeficientes tales que

$\textbf{r}_2 = a_1 \textbf{r}_1 + a_3 \textbf{r}_3 . \label{13.2.1}$

La notación que voy a usar es la siguiente:

El área del triángulo formado por la unión de las puntas de $\textbf{r}_2$ y $\textbf{r}_3$ es $A_1$ .
El área del triángulo formado por la unión de las puntas de $\textbf{r}_3$ y $\textbf{r}_1$ es $A_2$ .
El área del triángulo formado por la unión de las puntas de $\textbf{r}_1$ y $\textbf{r}_2$ es $A_3$ .

Para encontrar los coeficientes en la Ecuación\ ref {13.2.1}, multiplica ambos lados por $\textbf{r}_1 \times$ :

$\textbf{r}_1 \times \textbf{r}_2 = a_3 \textbf{r}_1 \times \textbf{r}_3 . \label{13.2.2}$

Los dos productos vectoriales son vectores paralelos (cada uno es perpendicular al plano del papel), de magnitudes $2A_3$ y $2A_2$ respectivamente. ( $2A_3$ es el área del paralelogramo del cual los vectores $\textbf{r}_1$ y $\textbf{r}_2$ forman dos lados.)

$\therefore a_3 = A_3/A_2 . \label{13.2.3}$

Del mismo modo multiplicando ambos lados de la Ecuación\ ref {13.2.1} por $\textbf{r}_3 \times$ ésta se encontrará que

$a_1 = A_1/ A_2 . \label{13.2.4}$

De ahí que encontremos que

$A_2 \textbf{r}_2 = A_1 \textbf{r}_1 + A_3 \textbf{r}_3 . \label{13.2.5}$

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