1.1: Revisión de Fundaciones

Introducción

La electromagnetica implica el comportamiento macroscopico de cargas electricas en vacio y materia. Este comportamiento se puede caracterizar con precisión por la ley de fuerza de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell, que se derivaron de experimentos que muestran cómo las fuerzas sobre cargas dependen de las ubicaciones relativas y movimientos de otras cargas cercanas. Otras leyes relevantes de la física incluyen la ley de Newton, la cuantificación de fotones y las relaciones de conservación de carga, energía, poder e impulso. Los fenómenos electromagnéticos subyacen a la mayor parte de lo “eléctrico” en la “ingeniería eléctrica” y son básicos para una comprensión sólida de esa disciplina.

La ingeniería eléctrica ha entregado cuatro “milagros” — conjuntos de fenómenos que cada uno podría considerarse verdadera magia antes de su desarrollo. El primero de ellos en impresionar a la humanidad fue el fenómeno eléctrico de los relámpagos, a menudo se cree que es una herramienta del cielo, y la fuerza magnética menos poderosa que provocó que las piedras magnéticas apuntaran hacia el norte. La explicación y aplicación de estas fuerzas invisibles durante los siglos XVIII y XIX abovedó la ingeniería eléctrica a la vanguardia de interés comercial como surgieron motores, generadores, luces eléctricas, baterías, calentadores, teléfonos, tocadiscos, y muchos otros dispositivos.

El segundo conjunto de milagros entregó la capacidad de comunicarse instantáneamente sin cables en todo el mundo, no solo puntos y guiones, sino también voz, imágenes y datos. Tales capacidades habían sido comunes en los cuentos de hadas, pero estaban fuera del alcance humano hasta que Hertz demostró la transmisión de ondas de radio en 1888, 15 años después de las predicciones de Maxwell. Marconi extendió la técnica a distancias intercontinentales.

Tercero vino la electrónica y la fotónica, la capacidad de manipular eléctricamente electrones y átomos individuales en el vacío y en la materia para generar, amplificar, manipular y detectar señales electromagnéticas. Durante el siglo XX, los tubos de vacío, diodos, transistores, circuitos integrados, láseres y superconductores ampliaron enormemente las capacidades y aplicaciones de la electromagnetica.

El cuarto conjunto de fenómenos eléctricos involucra la cibernética y la informática, la manipulación de señales eléctricas tan complejas que se obtienen clases completamente nuevas de funcionalidad, como procesamiento óptimo de señales, computadoras, robótica e inteligencia artificial. Este texto se centra en la naturaleza electromagnética de los tres primeros conjuntos de fenómenos y explora muchas de sus aplicaciones más importantes.

El capítulo 1 de este texto comienza con una breve revisión de las leyes subyacentes de la física, seguida de la ley de fuerza de Lorentz y la naturaleza de los campos eléctricos y magnéticos. El capítulo 2 introduce la electrodinámica y las ecuaciones de Maxwell, lo que lleva a ondas planas uniformes en el espacio y los medios, y definiciones de potencia, energía, condiciones límite y singularidad. Los siguientes cuatro capítulos abordan los sistemas estáticos y cuasistáticos comenzando por el Capítulo 3, que explora la electromagnetica en el contexto de los circuitos y dispositivos RLC. El capítulo 4 aborda el comportamiento más general de los campos eléctricos y magnéticos cuasistáticos en medios homogéneos y no homogéneos. El Capítulo 5 introduce las fuerzas electromagnéticas mientras que el Capítulo 6 aborda su aplicación a motores, generadores, actuadores y sensores.

La segunda mitad del texto se centra en la electrodinámica y las ondas, comenzando con las líneas de transmisión TEM en los Capítulos 7 y 8, y las ondas en los medios y en los límites en el Capítulo 9. Las antenas y la radiación se tratan en los Capítulos 10 y 11, mientras que los sistemas ópticos y acústicos se abordan en los Capítulos 12 y 13, respectivamente. La acústica se introduce por méritos propios y como una forma útil de revisar fenómenos de ondas electromagnéticas como la radiación y la resonancia en un contexto más físico y familiar. En los apéndices se enumeran las constantes naturales y se revisan algunos de los requisitos previos matemáticos.

Se utiliza el sistema internacional racionalizado de unidades (unidades SI racionalizadas), lo que evita en gran medida factores de 4\(\pi\). Las unidades SI enfatizan metros (m), kilogramos (kg), segundos (s), amperios (A) y Kelvins (K); la mayoría de las otras unidades se pueden expresar en términos de estos. El sistema SI también favorece unidades en múltiplos de 10 ³; por ejemplo, favorece metros y milímetros sobre centímetros. La convención algebraica utilizada aquí es que las operaciones entre paréntesis se realizan antes que otras. Dentro de paréntesis y exponentes y en otros lugares, la exponenciación se realiza primero, y la multiplicación antes de la división; todas estas operaciones se realizan antes de la suma y resta.

Revisión de conceptos físicos básicos y definiciones

Los pocos conceptos básicos que se resumen a continuación son fundamentales para la electromagnetica. Estos conceptos incluyen la conservación de energía, potencia y carga, y la noción de fotón, que transmite un cuántico de energía electromagnética. Además, las leyes de Newton caracterizan la cinemática de partículas cargadas y objetos influenciados por campos electromagnéticos. Las leyes de conservación también se derivan de las ecuaciones de Maxwell, que se presentan en la Sección 2.1 y, junto con la ley de fuerza de Lorentz, comprimen todo el comportamiento electromagnético macroscópico en algunas declaraciones concisas.

Este texto descuida las cuestiones relativistas introducidas cuando la masa se acerca a la velocidad de la luz o se convierte a o desde la energía, y por lo tanto tenemos conservación de mas s: la masa total m dentro de una envoltura cerrada permanece constante.

La conservación de la energía requiere que la energía total w _T [Julios] permanezca constante dentro de cualquier sistema cerrado para que no entre ni salga energía, aunque la forma de la energía almacenada internamente pueda estar cambiando. Esta energía total w _T puede incluir energía eléctrica w _e, energía magnética w _m, energía térmica w _Th, energía cinética mecánica w _k, energía potencial mecánica w _p, y energía en formas químicas, atómicas _{u otras}; w _otro se descuida aquí. Conservación de energía significa:

\[\mathrm{W}_{\mathrm{T}}=\mathrm{w}_{\mathrm{e}}+\mathrm{w}_{\mathrm{m}}+\mathrm{w}_{\mathrm{k}}+\mathrm{w}_{\mathrm{p}}+\mathrm{w}_{\mathrm{Th}}+\mathrm{w}_{\text {other }} \ [\text { Joules }]=\mathrm{constant}\]

En este texto generalmente usamos letras minúsculas para indicar totales, y letras mayúsculas para indicar densidades. Así, representamos la energía total por w _T [J] y la densidad de energía total por W _T [J m ^-3]. De igual manera, f [N] denota la fuerza total sobre un objeto y F [N m ^-3] denota la densidad de fuerza.

Desafortunadamente el número de variables electromagnéticas es tan grande que muchas letras se utilizan de múltiples maneras, y a veces el significado debe extraerse del contexto. Por ejemplo, el símbolo f se usa para significar tanto fuerza como frecuencia.

La ley de Newton dice que una fuerza de un Newton f provocaría que una masa de kilogramo de otro modo libre de fuerza se acelere a un metro por segundo por segundo; esto define al Newton. Un Newton es aproximadamente la fuerza gravitacional terrestre sobre un peso de un cuarto de libra (por ejemplo, el peso de la manzana que supuestamente cayó sobre la cabeza de Newton, incitándolo a concebir la ley de la gravedad). La ley de Newton puede expresarse como:

\[\mathrm{f}=\mathrm{ma} \ [\mathrm{Newtons}]\]

donde m es la masa del objeto [kg] y a es la aceleración inducida [ms ^-2].

La unidad de energía, el Joule, es la energía total w _T entregada a un objeto cuando se le aplica una fuerza f de un Newton a medida que se mueve un metro en la dirección z de la fuerza. Por lo tanto:

\[\mathrm{f}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{w}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{d} \mathrm{z}}\]

La energía cinética w _k de una masa m que se mueve a velocidad v es:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \mathrm{mv}^{2} \ [\mathrm{J}]\]

que, cuando se suma a su energía potencial w _p, es igual a su energía total w _T relativa a una posición de referencia inmóvil; es decir:

\[\mathrm{W}_{\mathrm{T}}=\mathrm{w}_{\mathrm{k}}+\mathrm{w}_{\mathrm{p}}\]

Es fácil ver que si w _p permanece constante, entonces (1.1.3) y (1.1.4) son consistentes con f = ma; es decir, f = dw _T /dz = dw _k /dz = mv dv/dz = m (dz/dt) (dv/dz) = m dv/dt = ma.

Conservación de la energía significa, por ejemplo, que la potencia total P _en [Js ^-1] que ingresa a un volumen cerrado debe ser igual a la tasa de aumento [Js ^-1] de la energía total almacenada allí; es decir:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{in}}[\mathrm{W}]=\frac{\mathrm{d} \mathrm{w}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{dt}} \ \left[\mathrm{Js}^{-1}\right]\]

donde dw _T /dt es la derivada de tiempo de w _T, y las unidades [Julios por segundo] a menudo son reemplazadas por su equivalente, Watts [W]. Si dw _T/dt =0, entonces la potencia que fluye hacia un volumen cerrado debe ser igual a la potencia que fluye hacia fuera para que se conserve la potencia. Estas leyes también se aplican a la potencia electromagnética y a la energía, y su definición en términos de campos electromagnéticos aparece en la Sección 2.7.

En sistemas mecánicos se entrega un vatio a un objeto si recibió un julio en un segundo. Más generalmente, la potencia mecánica P entregada a un objeto es\(P=f v \ [W]\), donde f es la única fuerza [N] que actúa sobre el objeto, y\(\mathrm{v}\left[\mathrm{ms}^{-1}\right]\) es la velocidad del objeto en la misma dirección que el vector de fuerza\(\\overline{\mathrm{f}}\). Más generalmente,

\[P=\overline{f} \cdot \overline{v} \equiv f v \cos \theta \ [W]\]

donde\(\overline v\) está el vector de velocidad y θ es el ángulo entre\(\overline f\) y\(\overline v\).

La conservación del impulso requiere que el impulso total de un conjunto de masas interactuantes mi permanezca constante si el conjunto está libre de fuerzas externas. El impulso de cualquier objeto es mv [kg ms ^-1], por lo que en un ambiente libre de fuerza:

\[\mathrm{d}\left(\sum_{i} m_{i} v_{i}\right) \Big/ d t=0\]

La unidad de carga, un Coulomb, es la carga transportada por un Ampere que fluye por un segundo, donde el Ampere es la unidad de corriente eléctrica.

Los fotones transportan la unidad de energía más pequeña que puede ser transportada por ondas electromagnéticas. La energía E de un solo fotón es:

\[\mathrm{e}=-1.6021 \times 10^{-19} \ \text {Coulombs }\]

donde h es la constante de Planck (^6.624×10-34 [J s]) y f es la frecuencia fotónica [Hz]. A veces es más conveniente pensar en las ondas electromagnéticas como ondas continuas, y a veces es más conveniente pensar en ellas como consistentes en partículas (fotones), cada una de energía E. La potencia total P transmitida por una onda electromagnética a la frecuencia f es por lo tanto el número N de fotones que pasan por segundos veces la energía fotónica E:

\[\mathrm{E}=\mathrm{hf} \ [\mathrm{J}]\]

La frecuencia de una onda se relaciona simplemente con su longitud de onda λ y la velocidad de la luz c:

\[\mathrm{P}=\mathrm{N} \text { hf } \ [\mathrm{W}]\]

La frecuencia de una onda se relaciona simplemente con su longitud de onda λ y la velocidad de la luz c:

\[f=c / \lambda\]

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Una típica batería de automóvil de 1 kilovatio-hora completamente cargada puede acelerar un automóvil eléctrico de 1000 kg perfectamente eficiente a qué velocidad máxima?

Solución

La energía de la batería w _e [J] equivale a 1000 vatios por 3600 segundos (un kilovatio-hora). También equivale a la energía cinética máxima, wk = mv ² /2, del automóvil a exceso de velocidad (masa = m = 1000, velocidad = v) después de que la batería esté totalmente agotada. Por lo tanto w _k = 3.6×10 ⁶ ⇒ v = (2w _k /m) 0.5 = (7.2×10 ⁶ /1000) 0.5 85 m s ^-1 190 mph.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Un día soleado entrega ~1kw m ^-2; ¿a cuántos fotones N por segundo por metro cuadrado corresponde esto si asumimos (incorrectamente) que todos tienen la misma longitud de onda λ = 5×10 ^-7 metros? (0.5 micrones está en la banda visible.)?

Solución

Potencia = Nhf = NHC/λ = 1 kw, entonces N = 10 ³ λ/hc 10 ³ ×5×10 ^-7/(6.6×10 ^-34 ×3×10 ⁸) 2.5×10 ²⁰ fotones m ^-2 s ^-1.