2.8: Separación Variable — Coordenadas Cartesianas

El enfoque general de los métodos discutidos en las dos últimas secciones fue satisfacer la ecuación de Laplace mediante una función de una sola variable que también satisfaga las condiciones límite. Desafortunadamente, en muchos casos esto no se puede hacer —al menos, utilizando funciones suficientemente simples. En este caso, un método muy potente llamado la separación variable, ³³ puede funcionar, produciendo típicamente resultados “semianalíticos” en forma de series (sumas infinitas) de funciones especiales elementales o bien estudiadas. Su idea principal es buscar la solución del problema fronterizo (35) como la suma de soluciones parciales,

\[\ \phi=\sum_{k} c_{k} \phi_{k},\tag{2.84}\]

donde cada función\(\ \phi_{k}\) satisface la ecuación de Laplace y, a continuación, seleccione el conjunto de coeficientes\(\ c_{k}\) para satisfacer las condiciones de contorno. Más específicamente, en el método de separación variable, las soluciones parciales\(\ \phi_{k}\) se buscan en forma de un producto de funciones, cada una dependiendo de una sola coordenada espacial.

Discutamos este enfoque sobre el ejemplo clásico de una caja rectangular con paredes conductoras (Fig. 13), con el mismo potencial (que tomaré por cero) en todas sus paredes laterales y la tapa inferior, pero un potencial diferente\(\ V\) en la tapa superior\(\ (z=c)\). Además, para demostrar la potencia del método de separación variable, hagamos todos los cálculos para un caso más general cuando el potencial de la tapa superior es una función 2D arbitraria\(\ V(x, y)\). ³⁴

Fig. 2.13. El patio estándar para la discusión de separación variable: una caja rectangular con cinco paredes conductoras, puestas a tierra y una distribución de potencial fija\(\ V(x, y)\) en la tapa superior.

Para esta geometría, es natural utilizar las coordenadas cartesianas\(\ \{x, y, z\}\), representando cada una de las soluciones parciales en la Ec. (84) como el siguiente producto

\[\ \phi_{k}=X(x) Y(y) Z(z).\tag{2.85}\]

Al conectarlo a la ecuación de Laplace expresada en las coordenadas cartesianas,

\[\ \frac{\partial^{2} \phi_{k}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi_{k}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi_{k}}{\partial z^{2}}=0,\tag{2.86}\]

y dividiendo el resultado por XYZ, obtenemos

\[\ \frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}+\frac{1}{Z} \frac{d^{2} Z}{d z^{2}}=0.\tag{2.87}\]

Aquí viene la línea de punzonado del método de separación de variables: ya que el primer término de esta suma puede depender sólo de\(\ x\), el segundo solo de y, etc., la Eq. (87) puede satisfacerse en todas partes del volumen solo si cada uno de estos términos equivale a una constante. En un minuto veremos que para nuestro problema actual (Fig. 13), estos\(\ y\) términos y constantes\(\ x\) tienen que ser negativos; de ahí denotemos estas constantes de separación de variables como\(\ \left(-\alpha^{2}\right)\) y\(\ \left(-\beta^{2}\right)\), respectivamente. Ahora la Ec. (87) muestra que el término z constante tiene que ser positivo; denotándolo a medida\(\ \gamma^{2}\) que obtenemos la siguiente relación:

\[\ \alpha^{2}+\beta^{2}=\gamma^{2}.\tag{2.88}\]

Ahora las variables están separadas en el sentido de que para las funciones\(\ X(x)\)\(\ Y(y)\),, y\(\ Z(z)\) tenemos ecuaciones diferenciales ordinarias separadas,

\[\ \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\alpha^{2} X=0, \quad \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}+\beta^{2} Y=0, \quad \frac{d^{2} Z}{d z^{2}}-\gamma^{2} Z=0,\tag{2.89}\]

que están relacionados únicamente por la Ec. (88) para sus parámetros constantes.

Partimos de la ecuación para la función\(\ X(x)\). Su solución general es la suma de funciones\(\ \sin \alpha x\) y\(\ \cos \alpha x\), multiplicada por coeficientes arbitrarios. Seleccionemos estos coeficientes para satisfacer nuestras condiciones de límite. Primero, dado que\(\ \phi \propto X\) debe desaparecer en la pared vertical posterior de la caja (es decir, con la elección de origen de
coordenadas que se muestra en la Fig. 13, en\(\ x = 0\) para cualquiera\(\ y\) y\(\ z\)), el coeficiente at\(\ \cos \alpha x\) debe ser cero. El coeficiente restante (at\(\ \sin \alpha x\)) se puede incluir en el factor general\(\ c_{k}\) en la Ec. (84), para que podamos tomar\(\ X\) en la forma

\[\ X=\sin \alpha x.\tag{2.90}\]

Esta solución satisface la condición de límite en la pared opuesta\(\ (x=a)\) solo si el producto\(\ \alpha a\) es un múltiplo de\(\ \pi\), es decir, si\(\ \alpha\) es igual a cualquiera de los siguientes números (comúnmente llamados valores propios): ³⁵

\[\ \alpha_{n}=\frac{\pi}{a} n, \quad \text { with } n=1,2, \ldots\tag{2.91}\]

(Los términos con valores negativos de no\(\ n\) serían linealmente independientes de aquellos con positivo\(\ n\), y pueden ser retirados de la suma (84). El valor\(\ n = 0\) es formalmente posible, pero daría\(\ X = 0\), es decir\(\ \phi_{k}=0\), en cualquier\(\ x\), es decir, ninguna contribución a la suma (84), por lo que también se puede caer.) Ahora vemos que efectivamente tuvimos que tomar\(\ \alpha\) real (es decir,\(\ \alpha^{2}\) positivo) — de lo contrario, en lugar de la función oscilante (90) tendríamos una suma de dos funciones exponenciales, que no pueden igualar cero en dos puntos independientes del\(\ x\) eje -eje.

Dado que la ecuación (89) para la función\(\ Y(y)\) es similar a la de\(\ X(x)\), y las condiciones de contorno en las paredes perpendiculares al eje\(\ y\) (\(\ y = 0\)y\(\ y = b\)) son similares a las de\(\ x\) -muros, el razonamiento absolutamente similar da

\[\ Y=\sin \beta y, \quad \beta_{m}=\frac{\pi}{b} m, \quad \text { with } m=1,2, \ldots,\tag{2.92}\]

donde el número entero\(\ m\) puede seleccionarse independientemente de\(\ n\). Ahora vemos que según la Ec. (88), la constante de separación\(\ \gamma\) depende de dos enteros\(\ n\) y\(\ m\), para que la relación pueda ser reescrita como

\[\ \gamma_{n m}=\left[\alpha_{n}^{2}+\beta_{m}^{2}\right]^{1 / 2}=\pi\left[\left(\frac{n}{a}\right)^{2}+\left(\frac{m}{b}\right)^{2}\right]^{1 / 2}.\tag{2.93}\]

La solución correspondiente de la ecuación diferencial para\(\ Z\) puede representarse como una combinación lineal de dos exponentes\(\ \exp \left\{\pm \gamma_{n m} z\right\}\), o alternativamente de dos funciones hiperbólicas,\(\ \sinh \gamma_{n m} z\) y\(\ \cosh \gamma_{n m} z\), con coeficientes arbitrarios. A nuestra elección de origen de coordenadas, esta última opción es preferible, ya que\(\ \cosh \gamma_{n m} z\) no puede satisfacer la condición de límite cero en la tapa inferior de la caja\(\ (z = 0)\). De ahí que podamos tomar\(\ Z\) en la forma

\[\ Z=\sinh \gamma_{n m} z,\tag{2.94}\]

que automáticamente satisface esa condición.

Ahora es el momento adecuado para fusionar las ecuaciones. (84) - (85) y (90) - (94), reemplazando el índice\(\ k\) temporal por el conjunto completo de posibles valores propios, en nuestro caso actual de dos índices enteros\(\ n\) y\(\ m\):

Separación de variables en coordenadas cartesianas (ejemplo)

\[\ \phi(x, y, z)=\sum_{n, m=1}^{\infty} c_{n m} \sin \frac{\pi n x}{a} \sin \frac{\pi m y}{b} \sinh \gamma_{n m} z,\tag{2.95}\]

donde\(\ \gamma_{n m}\) viene dada por la Ec. (93). Esta solución satisface no solo la ecuación de Laplace, sino también las condiciones de contorno en todas las paredes de la caja, además de la tapa superior, para coeficientes arbitrarios\(\ c_{n m}\). El único trabajo que queda es elegir estos coeficientes del requisito de tapa superior:

\[\ \phi(x, y, c) \equiv \sum_{n, m=1}^{\infty} c_{n m} \sin \frac{\pi n x}{a} \sin \frac{\pi m y}{b} \sinh \gamma_{n m} c=V(x, y).\tag{2.96}\]

Puede verse mal tener una sola ecuación para el conjunto infinito de coeficientes\(\ c_{n m}\). Sin embargo, la ayuda decisiva viene del hecho de que las funciones de x e y que participan en la ecuación (96), forman conjuntos completos ortogonales de funciones 1D. El último término significa que las integrales de los productos de las funciones con diferentes índices enteros sobre la región de interés son iguales a cero. En efecto, una integración directa da

\[\ \int_{0}^{a} \sin \frac{\pi n x}{a} \sin \frac{\pi n^{\prime} x}{a} d x=\frac{a}{2} \delta_{n n^{\prime}},\tag{2.97}\]

donde\(\ \delta_{n n}\), es el símbolo Kronecker, y de manera similar para\(\ y\) (con los reemplazos evidentes\(\ a \rightarrow b\), y\(\ n \rightarrow m\)). De ahí que una manera fructífera de proceder es multiplicar ambos lados de la ecuación (96) por el producto de las funciones base, con índices arbitrarios\(\ n^\prime\) e\(\ m^\prime\), e integrar el resultado sobre\(\ x\) y\(\ y\):

\[\ \sum_{n, m=1}^{\infty} c_{n m} \sinh \gamma_{n m} c \int_{0}^{a} \sin \frac{\pi n x}{a} \sin \frac{\pi n^{\prime} x}{a} d x \int_{0}^{b} \sin \frac{\pi m y}{b} \sin \frac{\pi m^{\prime} y}{b} d y=\int_{0}^{a} d x \int_{0}^{b} d y V(x, y) \sin \frac{\pi n^{\prime} x}{a} \sin \frac{\pi m^{\prime} y}{b}.\tag{2.98}\]

Debido a la Ec. (97), todos los términos del lado izquierdo de la última ecuación, además de aquellos con\(\ n=n^{\prime}\) y\(\ m=m^{\prime}\), desaparecen, y (reemplazando\(\ n^{\prime}\) con\(\ n\), y\(\ m^{\prime}\) con\(\ m\), por brevedad de notación) finalmente obtenemos

\[\ c_{n m}=\frac{4}{a b \sinh \gamma_{n m} c} \int_{0}^{a} d x \int_{0}^{b} d y V(x, y) \sin \frac{\pi n x}{a} \sin \frac{\pi m y}{b}.\tag{2.99}\]

Las relaciones (93), (95) y (99) dan la solución completa del problema fronterizo planteado; aquí podemos ver tanto buenas como malas noticias. La primera mala noticia es que en el caso general todavía necesitamos elaborar las integrales (99) —formalmente, el número infinito de ellas—. En algunos casos, es posible hacerlo analíticamente, de una sola vez. Por ejemplo, si la tapa superior en nuestro problema es un solo conductor, es decir, tiene un potencial constante\(\ V_{0}\), podemos tomar\(\ V(x, y)=V_{0}=\mathrm{const}\), y ambas integraciones 1D son elementales; por ejemplo

\[\ \int_{0}^{a} \sin \frac{\pi n x}{a} d x=\frac{2 a}{\pi n} \times \begin{cases}1, & \text { for } n \text { odd, } \\ 0, & \text { for } n \text { even, }\end{cases}\tag{2.100}\]

y de manera similar para la integral sobre\(\ y\), de manera que

\[\ c_{n m}=\frac{16 V_{0}}{\pi^{2} n m \sinh \gamma_{n m} c} \times \begin{cases}1, & \text { if both } n \text { and } m \text { are odd, } \\ 0, & \text { otherwise. }\end{cases}\tag{2.101}\]

La segunda mala noticia es que incluso en una ocasión tan feliz, todavía tenemos que resumir la serie (95), para que nuestro resultado solo pueda llamarse analítico con algunas reservas, porque en la mayoría de los casos necesitamos una computadora para obtener los números o parcelas finales.

Ahora las primeras buenas noticias. Las computadoras son muy eficientes tanto para las operaciones (95) como para (99), es decir, para la suma e integración. (Como se discutió en la Sec. 1.2, los errores aleatorios se promedian en estas operaciones). A modo de ejemplo, la Fig. 14 muestra las gráficas del potencial electrostático en una caja cúbica\(\ (a = b = c)\), con una tapa superior equipotencial\(\ \left(V=V_{0}=\mathrm{cons} \mathrm{t}\right)\), obtenida por una suma numérica de la serie (95), utilizando la expresión analítica (101). La característica notable de este cálculo es una convergencia muy rápida de la serie; para la sección transversal media de la caja cúbica\(\ (z / c=0.5)\), ya el primer término (con\(\ n = m = 1\)) da una precisión de alrededor del 6%, mientras que la suma de cuatro términos principales (con\(\ n, m = 1, 3\)) reduce el error a solo 0.2%. (Para una caja más larga,\(\ c > a, b\), la convergencia es aún más rápida — vea la discusión a continuación.) Sólo muy cerca de las esquinas entre la tapa superior y las paredes laterales, donde el potencial cambia rápidamente, son necesarios varios términos más para obtener una precisión razonable.

La buena noticia relacionada es que nuestro resultado “semianalítico” permite explorar analíticamente sus límites finales. Por ejemplo, la Ec. (93) muestra que para una caja muy plana (con\(\ c<<a, b\)), al\(\ \gamma_{n, m} z \leq \gamma_{n, m} c<<1\) menos para los términos más bajos de serie (95), con\(\ n, m<<c / a, c / b\). En este caso, las funciones sinh en las
ecuaciones (96) y (99) pueden aproximarse bien con sus argumentos, y su relación por\(\ z / c\). Entonces, si limitamos la suma a estos términos, la Ec. (95) da un resultado muy simple

\[\ \phi(x, y) \approx \frac{z}{c} V(x, y),\tag{2.102}\]

lo que significa que cada segmento de la caja plana se comporta igual que un condensador plano. Sólo cerca de las paredes laterales, los términos más altos en la serie (95) son importantes, produciendo algunas desviaciones de la Ec. (102). (Para el problema general con una función arbitraria V (x, y), esto también es cierto en todas las regiones donde esta función cambia bruscamente).

Fig. 2.14. La distribución del potencial electrostático dentro de una caja cúbica\(\ (a = b = c)\) con voltaje constante\(\ V_{0}\) en la tapa superior (Fig. 13), calculada numéricamente a partir de las ecuaciones (93), (95) y (101). La línea discontinua en el panel izquierdo muestra la contribución del término principal de la serie (con\(\ n = m = 1\)) al resultado completo, para\(\ z / c=0.5\).

En el límite opuesto\(\ (a, b<<c)\), la Ec. (93) muestra que, en contraste,\(\ \gamma_{n, m} c \quad>>1\) para todos\(\ n\) y\(\ m\). Además, la relación\(\ \sinh \gamma_{n, m} z / \sinh \gamma_{n, m} c\) disminuye bruscamente si cualquiera\(\ n\) o\(\ m\) se incrementa, siempre que no\(\ z\) esté demasiado cerca de\(\ c\). De ahí que en este caso se pueda obtener una muy buena aproximación manteniendo solo el término principal, con\(\ n = m = 1\), en la Ec. (95), para que desaparezca el reto de la suma. (Como se discutió anteriormente, esta aproximación funciona razonablemente bien incluso para una caja cúbica). En particular, para el potencial constante del párpado superior, podemos usar la Eq. (101) y la asintótica exponencial para ambas funciones sinh, para obtener una fórmula muy simple:

\[\ \phi=\frac{16}{\pi^{2}} \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{b} \exp \left\{-\pi \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{1 / 2}}{a b}(c-z)\right\}.\tag{2.103}\]

Estos resultados pueden generalizarse fácilmente a algunos otros problemas. Por ejemplo, si todas las paredes de la caja mostrada en la Fig. 13 tienen una distribución de potencial arbitraria, podemos usar el principio de superposición lineal para representar la distribución de potencial electrostático como la suma de seis soluciones parciales del tipo de Ec. (95), cada una con una pared polarizada por el voltaje correspondiente, y todos los demás a tierra\(\ (\phi=0)\).

En resumen, los resultados dados por el método de separación variable en las coordenadas cartesianas están más cerca de lo que podríamos llamar una solución genuinamente analítica que a soluciones puramente numéricas. Ahora, exploremos los problemas que surgen cuando este método se aplica en otros sistemas de coordenadas ortogonales.

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Referencia

³³ De nuevo, este método ya se discutió en CM Sec. 6.5 y luego se utilizó también en Secs. 6.6 y 8.4 de ese curso. No obstante, el método es tan importante que necesito repetir su discusión en esta parte de mi serie, en beneficio de los lectores que se han saltado el curso de Mecánica Clásica por cualquier motivo.

^Estas distribuciones de voltaje pueden implementarse en la práctica usando los llamados electrodos de mosaico que consisten en muchos paneles aislados eléctricamente y polarizados individualmente.

³⁵ Obsérvese que según las ecuaciones (91) - (92), a medida que se incrementan las dimensiones espaciales a y b del sistema, las distancias entre los valores propios adyacentes tienden a cero. Este hecho implica que para los sistemas espacialmente infinitos, los espectros de valores propios son continuos, de manera que las sumas del tipo (84) se convierten en integrales. Algunos problemas de este tipo se proporcionan en la Sec. 9 para el ejercicio del lector.