3.6: Problemas de ejercicio

3.1. Demostrar Eqs. (3) - (4), a partir de la Ec. (1.38) y la Eq. (2) de este capítulo.

3.2. Un anillo plano delgado de radio\(\ R\) se carga con una densidad lineal constante\(\ \lambda\). Calcular la distribución exacta del potencial electrostático a lo largo del eje de simetría del anillo, y probar que a grandes distancias\(\ r >>R\),, los tres términos principales de su expansión multipolar son efectivamente descritos correctamente por las ecuaciones (3) - (4).

3.3. En marcos de referencia adecuados, calcule los momentos dipolo y cuadrupolo de los siguientes sistemas (ver Figs. abajo):

i) cuatro cargas puntuales de la misma magnitud, pero signos alternos, colocados en las esquinas de un cuadrado;

ii) un sistema similar, pero con alternancia de signo de carga de par; y

iii) una carga puntual en el centro de un anillo delgado que lleve una carga similar pero opuesta, distribuida uniformemente a lo largo de su circunferencia.

3.4. Sin realizar un cálculo exacto, ¿se puede predecir la dependencia espacial de la interacción entre varios multipolos eléctricos, incluyendo cargas puntuales (en este contexto, frecuentemente llamadas monopolos eléctricos), dipolos y cuadrupolos? A partir de estas predicciones, ¿cuál es la dependencia funcional de la interacción entre moléculas diatómicas como\(\ \mathrm{H}_{2}\)\(\ \mathrm{N}_{2}\),\(\ \mathrm{O}_{2}\),, etc., de la distancia entre ellas, si la distancia es mucho mayor que el tamaño molecular?

3.5. Dos dipolos eléctricos similares, de magnitud fija\(\ p\), ubicados a una\(\ r\) distancia fija entre sí, son libres de cambiar sus direcciones. ¿Qué posición (es) de equilibrio estable (s) pueden tomar como resultado de su interacción electrostática?

3.6. Un dipolo eléctrico se encuentra por encima de un plano conductor infinito, conectado a tierra (ver la figura a la derecha). Calcular:

i) la distribución de la carga inducida en el conductor,

(ii) la energía de interacción dipolo a plano, y

ii) la fuerza y el par que actúan sobre el dipolo.

3.7. Calcule la carga neta\(\ Q\) inducida en una esfera conductora de radio conectada a tierra\(\ R\) por un dipolo\(\ \mathbf{p}\) ubicado en un punto\(\ \mathbf{r}\) fuera de la esfera; vea la figura a la derecha.

3.8. Utilice dos enfoques diferentes para calcular la energía de interacción entre un conductor conectado a tierra y un dipolo eléctrico\(\ \mathbf{p}\) colocado en el centro de una cavidad esférica de radio\(\ R\), tallada en el conductor.

3.9. Un plano que separa dos partes del espacio libre de otro modo está densamente y uniformemente (con una densidad de área constante\(\ n\)) cubierto con dipolos eléctricos, con momentos similares\(\ \mathbf{p}\) orientados en la dirección normal al plano.

(i) Calcular las condiciones de contorno para el potencial electrostático en ambos lados del plano.

(ii) Utilizar el resultado de la Tarea (i) para calcular la distribución de potencial creada en el espacio por una superficie esférica, con radio\(\ R\), densamente y uniformemente cubierta con dipolos orientados radialmente.

(iii) ¿Qué condición se debe imponer a la densidad del dipolo\(\ n\) para que sus resultados sean válidos cuantitativamente?

3.10. Demostrar la relación Clausius-Mossotti (52) para el caso de una celosía cúbica de dipolos similares obedeciendo a la ecuación (48):\(\ \mathbf{p}=\alpha \mathbf{E}_{\mathrm{m}}\), donde\(\ \mathbf{E}_{\mathrm{m}}\) está el campo eléctrico microscópico en el punto de localización del dipolo.

Pista: Utilice la ecuación (65) para dar cuenta de la diferencia entre el campo externo y el campo macroscópico.

3.11. Una esfera de radio R está hecha de un material con una polarización uniforme y fija\(\ \mathbf{P}_{0}\).

(i) Calcular el campo eléctrico en todas partes en el espacio, tanto dentro como fuera de la esfera.

(ii) Comparar el resultado para el campo interno con la Ec. (24).

3.12. Calcular el campo eléctrico en el centro de un cubo con lado\(\ a\), hecho de un material con la polarización espontánea uniforme\(\ \mathbf{P}_{0}\), dirigido paralelo a uno de los lados del cubo.

3.13. Una carga autónoma\(\ Q\) se distribuye, de alguna manera, en el volumen de un cuerpo hecho de un dieléctrico lineal uniforme con una constante dieléctrica\(\ \kappa\). Calcular la carga de polarización\(\ Q_{\mathrm{ef}}\) que reside en la superficie del cuerpo, siempre que esté rodeada de espacio libre.

3.14. En dos experimentos separados, una lámina plana delgada de un dieléctrico lineal con\(\ \kappa=\mathrm{const}\) se coloca en un campo eléctrico externo uniforme\(\ \mathbf{E}_{0}\):

(i) con la superficie de la lámina paralela al campo eléctrico, y

(ii) la superficie normal al campo.

Para cada caso, encuentre el campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\), el desplazamiento\(\ \mathbf{D}\) eléctrico y la polarización\(\ \mathbf{P}\) dentro del dieléctrico (suficientemente lejos de los bordes de la lámina).

3.15. Una carga puntual\(\ q\) se ubica a\(\ r >>R\) distancia del centro de una esfera uniforme de radio\(\ R\), hecha de un dieléctrico lineal uniforme. En la primera aproximación distinta de cero en parámetro pequeño\(\ R / r\), calcular la fuerza de interacción, y la energía de interacción entre la esfera y la carga.

3.16. Un dipolo fijo\(\ \mathbf{p}\) se coloca en el centro de una cavidad esférica de radio\(\ R\), tallada dentro de un dieléctrico lineal uniforme. Calcular la distribución del campo eléctrico en todas partes del sistema (\(\ r < R\)tanto en como en\(\ r>R\)).

Pista: Puede comenzar con la suposición de que el campo en\(\ r>R\) tiene una distribución típica para un dipolo (pero prepárate para sorpresas :-).

3.17. Un condensador esférico (ver la figura de la derecha) se llena con un dieléctrico lineal cuya permitividad\(\ \varepsilon\) depende de los ángulos esféricos\(\ \theta\) y\(\ \varphi\), pero no de la distancia\(\ r\) desde el centro del sistema. Derivar una expresión explícita para su capacitancia\(\ C\).

3.18. Para cada uno de los dos condensadores mostrados en la Fig. 10, calcular las fuerzas eléctricas (por unidad de área) ejercidas sobre la interfaz entre los dieléctricos, en términos de campos en el sistema.

3.19. Se\(\ \mathbf{E}_{0}\) ha creado un campo eléctrico uniforme (por fuentes externas distantes) dentro de un dieléctrico lineal uniforme. Encuentra el cambio del campo eléctrico, creado al tallar una cavidad en forma de cilindro redondo de radio\(\ R\), con su eje normal al campo externo — ver la figura a la derecha.

3.20. Partículas esféricas pequeñas similares, hechas de un dieléctrico lineal, se dispersan en el espacio libre con una concentración baja\(\ n<<1 / R^{3}\), donde\(\ R\) está el radio de la partícula. Calcular la constante dieléctrica promedio de dicho medio. Comparar el resultado con la respuesta aparente pero incorrecta

\(\ \bar{\kappa}-1=(\kappa-1) n V, \quad\quad\quad\quad \color{red}\text{(WRONG!)}\)

(donde\(\ \kappa\) está la constante dieléctrica del material de la partícula y\(\ V=(4 \pi / 3) R^{3}\) es su volumen), y explicar el origen de la diferencia.

3.21.* Calcular la distribución espacial del potencial electrostático inducido por una carga puntual\(\ q\) colocada a\(\ d\) distancia de una placa paralela muy ancha, de espesor
\(\ D\), hecha de un dieléctrico lineal uniforme — ver la figura a la derecha.

3.22. Discutir la naturaleza física de la Ec. (76). Aplica tus conclusiones a un material con una polarización\(\ \mathbf{P}_{0}\) fija (independiente del campo) y calcula la energía del campo eléctrico de una esfera uniformemente polarizada (ver Problema 11).

3.23. Utilice las ecuaciones (73) y (82) para calcular la fuerza de atracción de las placas del condensador plano (por unidad de área), para dos casos:

(i) el condensador se carga a una tensión\(\ V\), y luego se desconecta de la batería, ³¹ y

(ii) el condensador permanece conectado a la batería.

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Referencia

³¹ “Batería” es un término común aunque engañoso para lo que suele ser un solo elemento galvánico. (El último término deriva del nombre de Luigi Galvani, pionero de los estudios de corriente eléctrica. Otro término derivado de su nombre es la conexión galvánica, es decir, una conexión directa de dos conductores, permitiendo un flujo de corriente continua — ver el siguiente capítulo.) El término “batería” tenía que ser, para ser justos, reservado para la conexión de varios elementos galvánicos en serie —como fue pionero por el amigo de L. Galvani, Alexander Volta, en 1800.