9.1: Postulados de Einstein y la Transformación de Lorentz

Como se enfatizó en la derivación de expresiones para la radiación dipolo y cuadrupolo en el último capítulo, solo son válidas para sistemas de partículas no relativistas. Por lo tanto, estos resultados no pueden ser utilizados para la descripción de fenómenos tan importantes como la radiación Cherenkov o la radiación sincrotrón, en los que los efectos relativistas son esenciales. Además, un análisis del movimiento de partículas relativistas cargadas en campos eléctricos y magnéticos también es una parte natural de la electrodinámica. Es por ello que seguiré la tradición de utilizar este curso para una introducción (por necesidad, breve) a la teoría especial de la relatividad. Esta teoría se basa en la idea fundamental de que las mediciones de variables físicas (incluyendo los intervalos espaciales e incluso temporales entre dos eventos) pueden dar resultados diferentes en diferentes marcos de referencia, en particular en dos marcos inerciales que se mueven uno con relación al otro de manera traslacional (es decir, sin rotación), con cierta velocidad constante v (Fig. 1).

Fig. 9.1. El movimiento mutuo traslacional y uniforme de dos marcos de referencia.

En la mecánica no relativista (newtoniana) el problema de la transferencia entre dichos marcos de referencia tiene una solución simple al menos en el límite\(\ \nu<<c\), porque la ecuación básica de la dinámica de partículas (la ^2ª ley Newton) ¹

\[\ m_{k} \ddot{\mathbf{r}}_{k}=-\nabla_{k} \sum_{k^{\prime}} U\left(\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right),\tag{9.1}\]

donde\(\ U\) está la energía potencial de las interacciones entre partículas, es invariante con respecto a la llamada transformación galileana (o simplemente “transformar” para abreviar). ² Escogiendo las coordenadas en ambos fotogramas para que sus ejes x y x' sean paralelos al vector v (como en la Fig. 1), la transformada ³ puede representarse como

\[\ x=x^{\prime}+\nu t^{\prime}, \quad y=y^{\prime}, \quad z=z^{\prime}, \quad t=t^{\prime},\text{Galilean transform}\tag{9.2a}\]

y enchufando la Eq. (2a) a la Eq. (1), obtenemos una ecuación de movimiento de aspecto absolutamente similar en el marco de referencia “móvil” 0'. Desde la transformación recíproca,

\[\ x^{\prime}=x-\nu t, \quad y=y^{\prime}, \quad z^{\prime}=z, \quad t^{\prime}=t,\tag{9.2b}\]

es similar a la directa, con la sustitución de\(\ (+\nu)\) con\(\ (-\nu)\), podemos decir que la invarianza galileana significa que no hay ningún marco de referencia espacial “maestro” (absoluto) en la mecánica clásica, aunque los intervalos espaciales y temporales entre diferentes eventos instantáneos son absolutos, i.e. marco de referencia invariante:\(\ \Delta x=\Delta x^{\prime}, \ldots, \Delta t=\Delta t^{\prime}\).

Sin embargo, es sencillo usar la ecuación (2) para verificar que la forma de la ecuación de onda

\[\ \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) f=0,\tag{9.3}\]

Describiendo, en particular, la propagación de ondas electromagnéticas en el espacio libre, ⁴ no es Galileano-invariante. ⁵ Para las ondas “habituales” (digamos, elásticas), que obedecen a una ecuación similar aunque con una velocidad diferente, ⁶ esta falta de invarianza galileana es natural y es compatible con la invarianza de la Ec. (1), de la cual se origina la ecuación de onda. Esto se debe a que las ondas elásticas son esencialmente las oscilaciones de partículas que interactúan de un cierto medio (por ejemplo, un sólido elástico), lo que hace que el marco de referencia conectado a este medio sea especial. Entonces, si las ondas electromagnéticas fueran oscilaciones de cierto medio especial (que primero se llamó el “éter luminífero” ⁷ y posteriormente éter —o simplemente “éter”), podrían aplicarse argumentos similares para conciliar las ecuaciones (2) y (3).

La detección de tal medio fue el objetivo de las mediciones realizadas entre 1881 y 1887 (con mejor y mejor precisión) por Albert Abraham Michelson y Edward Williams Morley, que a veces se denominan “los experimentos fallidos más famosos de la física”. La Figura 2 muestra un esquema crudo de estos experimentos.

Fig. 9.2. El experimento de Michelson-Morley.

Una onda casi monocromática de una fuente de luz se divide en dos partes (nominalmente, de igual intensidad), utilizando un espejo semitransparente inclinado hacia la dirección de la onda incidente.\(\ \pi / 2\) Estas dos ondas parciales son reflejadas de nuevo por dos espejos totalmente reflectantes, y llegan nuevamente al mismo espejo semitransparente. Aquí la mitad de cada onda se devuelve al área de la fuente de luz (donde desaparecen sin afectar a la fuente), pero otra mitad se pasa hacia un detector, formando, con su contraparte, un patrón de interferencia similar al del experimento Young. Así, cada una de las ondas interferentes ha viajado dos veces (hacia adelante y hacia atrás) cada uno de dos “brazos” mutuamente perpendiculares del interferómetro. Suponiendo que el éter, en el que la luz se propaga con velocidad\(\ c\), se mueve con velocidad\(\ \nu<c\) a lo largo de uno de los brazos\(\ l_{l}\), de longitud, es sencillo (y por lo tanto se deja para el ejercicio del lector :-) obtener la siguiente expresión para la diferencia entre los tiempos de ida y vuelta ligeros:

\[\ \Delta t=\frac{2}{c}\left[\frac{l_{t}}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}-\frac{l_{l}}{1-\nu^{2} / c^{2}}\right] \approx \frac{l}{c}\left(\frac{\nu}{c}\right)^{2},\tag{9.4}\]

donde\(\ l_{t}\) es la longitud del segundo brazo “transversal” del interferómetro (perpendicular a v), y la última expresión aproximada es válida en\(\ l_{t} \approx l_{l} \equiv l\) y\(\ \nu<<c\).

Dado que la Tierra se mueve alrededor del Sol con una velocidad\(\ \nu_{\mathrm{E}} \approx 30 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \approx 10^{-4} c\), las posiciones del brazo relativas a este movimiento se alternan, debido a la rotación de la Tierra alrededor de su eje, cada 6 horas —véase el panel derecho de la Fig. 2. De ahí que si asumimos que el éter descansa en el marco de referencia del Sol,\(\ \Delta t\) (y el desplazamiento correspondiente de las franjas de interferencia), tiene que cambiar su signo con este medio período también. La misma alternancia se puede lograr, en una escala de tiempo menor, mediante una rotación deliberada del instrumento por\(\ \pi / 2\). En la versión más precisa del experimento de Michelson-Morley (1887), se esperaba que este cambio fuera cercano a 0.4 del período del patrón de interferencia. Los resultados de la búsqueda de dicho desplazamiento fueron negativos, con la barra de error alrededor de 0.01 del periodo. ⁸

La explicación inmediata más destacada de este resultado cero ⁹ fue sugerida en 1889 por George Francis FitzGerald y (independientemente y de manera más cualitativa) por H. Lorentz en 1892: como se desprende de la Ec. (4), si el brazo longitudinal del interferómetro mismo experimenta el llamado contracción de longitud,

\[\ l_{l}(\nu)=l_{l}(0)\left(1-\frac{\nu^{2}}{c^{2}}\right)^{1 / 2},\tag{9.5}\]

mientras que la longitud del brazo transversal no se ve afectada por su movimiento a través del aether, esto mata el desplazamiento\(\ \Delta t\). Esta idea radical recibió un fuerte apoyo de la prueba, en 1887-1905, de que las ecuaciones de Maxwell, y de ahí la ecuación de onda (3), son invariantes de forma bajo la llamada transformada de Lorentz, ¹⁰ que en particular describe la Ec. (5). Para la elección de las coordenadas mostradas en la Fig. 1, la transformada lee

\[\ x=\frac{x^{\prime}+\nu t^{\prime}}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}, \quad y=y^{\prime}, \quad z=z^{\prime}, \quad t=\frac{t^{\prime}+\left(\nu / c^{2}\right) x^{\prime}}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}.\text{Lorentz transform}\tag{9.6a}\]

Es elemental resolver estas ecuaciones para que las coordenadas cebadas obtengan la transformada recíproca

\[\ x^{\prime}=\frac{x-\nu t}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \quad t^{\prime}=\frac{t-\left(\nu / c^{2}\right) x}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}.\tag{9.6b}\]

(Pronto representaré las ecuaciones (6) de una forma más elegante — ver las ecuaciones (19) más abajo.)

Las relaciones de transformación de Lorentz (6) se reducen evidentemente a las fórmulas de transformación galilea (2) en\(\ \nu^{2}<< c^{2}\). Sin embargo, todos los intentos de dar una interpretación razonable de estas igualdades manteniendo la noción de éter han fracasado, en particular por las restricciones impuestas por los resultados de experimentos anteriores llevados a cabo en 1851 y 1853 por Hippolyte Fizeau, que fueron repetidas con mayor precisión por el mismo Michelson y Morley en 1886. Estos experimentos han demostrado que si uno se adhiere al concepto de etéreo, este hipotético medio tiene que ser parcialmente “arrastrado” por cualquier material dieléctrico en movimiento con una velocidad proporcional a (\(\ \kappa-1\)). Tal arrastre local sería irreconciliable con la supuesta continuidad del aether.

En su famoso artículo de 1905, Albert Einstein ha sugerido una resolución audaz de esta contradicción, esencialmente eliminando por completo el concepto del aether. ¹¹ Además, argumentó que la transformación de Lorentz es propiedad general del tiempo y del espacio, más que del campo electromagnético solo. Ha comenzado con dos postulados, el primero repitiendo esencialmente el principio de relatividad, formulado anteriormente (1904) por H. Poincaré en la siguiente forma:

“... las leyes de los fenómenos físicos deberían ser las mismas, ya sea para un observador fijo o para un observador llevado en un movimiento uniforme de traducción; para que no tengamos y no podamos tener ningún medio de discernir si somos llevados o no en tal movimiento”. ¹²

El segundo postulado de Einstein fue que la velocidad de la luz\(\ c\), en el espacio libre, debía ser constante en todos los marcos de referencia. (Esto es esencialmente una negación de la existencia del aether.)

Entonces, Einstein demostró que los Lorenz transforman las relaciones (6) naturalmente se derivan de sus postulados, con algunas suposiciones adicionales (muy naturales). Dejar que una fuente puntual emita un breve destello de luz, en el\(\ t=t^{\prime}=0\) momento en que coincidan los orígenes de los marcos de referencia mostrados en la Fig. 1. Entonces, según el segundo de los postulados de Einstein, en cada uno de los fotogramas, la onda esférica se propaga con la misma velocidad\(\ c\), es decir, las coordenadas de puntos de su frente, medidas en los dos fotogramas, tienen que obedecer las siguientes igualdades:

\ [\\ start {alineado}
& (c t) ^ {2} -\ izquierda (x^ {2} +y^ {2} +z^ {2}\ derecha) =0,\\
&\ izquierda (c t^ {\ prime}\ derecha) ^ {2} -\ izquierda (x^ {\ prime 2} +y^ {\ prime 2} +z^ {\ prime 2}\ derecha) =0.
\ end {alineado}\ tag {9.7}\]

¿Cuál puede ser la relación general entre las combinaciones en el lado izquierdo de estas ecuaciones, no para el frente de esta onda en particular, sino en general? Una opción muy natural (esencialmente, la única justificable) es

\[\ \left[(c t)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right]=f\left(\nu^{2}\right)\left[\left(c t^{\prime}\right)^{2}-\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)\right].\tag{9.8}\]

Ahora bien, según el primer postulado, la misma relación debería ser válida si intercambiamos los marcos de referencia (\(\ x \leftrightarrow x^{\prime}\), etc.) y los\(\ \nu\) reemplazamos por\(\ (-\nu)\). Esto solo es posible si\(\ f^{2}=1\), para que excluyendo la opción\(\ f=-1\) (que es incompatible con la transformada galileana en el límite\(\ \nu / c \rightarrow 0\)), obtenemos

\[\ (c t)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=\left(c t^{\prime}\right)^{2}-\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right).\tag{9.9}\]

Para la línea con\(\ y=y^{\prime}=0\),\(\ z=z^{\prime}=0\), Eq. (9) se reduce a

\[\ (c t)^{2}-x^{2}=\left(c t^{\prime}\right)^{2}-x^{\prime 2}.\tag{9.10}\]

Es muy esclarecedor interpretar esta relación como la resultante de una rotación mutua de los marcos de referencia (que ahora tienen que incluir relojes para medir el tiempo) en el plano de la coordenada\(\ x\) y el llamado tiempo euclidiana\(\ \tau \equiv i c t\) — ver Fig. 3.

Fig. 9.3. La transformación de Lorentz como rotación mutua de dos marcos de referencia en el\(\ [x, \tau]\) plano.

En efecto, reescribir la Ec. (10) como

\[\ \tau^{2}+x^{2}=\tau^{\prime 2}+x^{\prime 2},\tag{9.11}\]

podemos considerarlo como la invarianza del radio cuadrado en la rotación que se muestra en la Fig. 3 y descrita por las siguientes relaciones geométricas:

\ [\\ begin {alineado}
&x=x^ {\ prime}\ cos\ psi-\ tau^ {\ prime}\ sin\ psi,\\
&\ tau=x^ {\ prime}\ sin\ psi+\ tau^ {\ prime}\ cos\ psi,
\ end {alineado}\ tag {9.12a}\]

con las relaciones recíprocas

\ [\\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x\ cos\ psi+\ tau\ sin\ psi,\\
&\ tau^ {\ prime} =-x\ sin\ psi+\ tau\ cos\ psi.
\ end {alineado}\ tag {9.12b}\]

Hasta el momento, el ángulo\(\ \psi\) ha sido arbitrario. En el espíritu de la Ec. (8), una elección natural es\(\ \psi=\psi(\nu)\), con el requisito\(\ \psi(0)=0\). Para encontrar esta función, escribamos la definición de la velocidad\(\ \nu\) del cuadro 0', medida en el fotograma 0 (que estaba implícito anteriormente): for\(\ x^{\prime}=0, x=\nu t\). En las variables\(\ x\) y\(\ \mathcal{\tau}\), esto significa

\[\ \left.\left.\frac{x}{\tau}\right|_{x^{\prime}=0} \equiv \frac{x}{i c t}\right|_{x^{\prime}=0}=\frac{\nu}{i c}.\tag{9.13}\]

Por otro lado, para el mismo punto\(\ x^{\prime}=0\), Eqs. (12a) rendimiento

\[\ \left.\frac{x}{\tau}\right|_{x^{\prime}=0}=-\tan \psi.\tag{9.14}\]

Estas dos expresiones son compatibles solo si

\[\ \tan \psi=i \nu / c,\tag{9.15}\]

para que

\[\ \sin \psi \equiv \frac{\tan \psi}{\left(1+\tan ^{2} \psi\right)^{1 / 2}}=\frac{i \nu / c}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} \equiv i \beta \gamma, \quad \cos \psi \equiv \frac{1}{\left(1+\tan ^{2} \psi\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} \equiv \gamma,\tag{9.16}\]

donde\(\ \beta\) y\(\ \gamma\) son dos parámetros adimensionales muy convenientes y de uso común definidos como

\[\ \boldsymbol{\beta} \equiv \frac{\mathbf{v}}{c}, \quad \gamma \equiv \frac{1}{\left(1-\nu^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} \equiv \frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)^{1 / 2}}.\quad\quad\quad\quad\text{Relativistic parameters }\beta \text{ and } \gamma\tag{9.17}\]

(El vector\(\ \beta\) se llama velocidad normalizada, mientras que el escalar\(\ \gamma\), el factor Lorentz.) ¹³

Usando las relaciones para\(\ \psi\), Eqs. (12) become

\[\ x=\gamma\left(x^{\prime}-i \beta \tau^{\prime}\right), \quad \tau=\gamma\left(i \beta x^{\prime}+\tau^{\prime}\right),\tag{9.18a}\]

\[\ x^{\prime}=\gamma(x+i \beta \tau), \quad \tau^{\prime}=\gamma(-i \beta x+\tau).\tag{9.18b}\]

Ahora volviendo a las variables reales\(\ [x, c t]\), obtenemos las relaciones de transformación de Lorentz (6), en una forma más compacta:

\[\ x=\gamma\left(x^{\prime}+\beta c t^{\prime}\right), \quad y=y^{\prime}, \quad z=z^{\prime}, \quad c t=\gamma\left(c t^{\prime}+\beta x^{\prime}\right),\tag{9.19a}\]

Lorentz transforma - otra vez

\[\ x^{\prime}=\gamma(x-\beta c t), \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \quad c t^{\prime}=\gamma(c t-\beta x).\tag{9.19b}\]

Un corolario inmediato de las ecuaciones (19) es que\(\ \gamma\) para mantenernos reales, necesitamos, es decir\(\ \nu^{2} \leq c^{2}\), que la velocidad de cualquier cuerpo físico (al que podríamos conectar un marco de referencia significativo) no pueda exceder la velocidad de la luz, medida en cualquier otro marco de referencia significativo. ¹⁴

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Referencia

¹ Permítanme esperar que el lector no necesite un recordatorio de que para que la Eq. (1) sea válida, los marcos de referencia 0 y 0' tienen que ser inerciales — véase, por ejemplo, CM Sec. 1.2.

² Había sido formulado por primera vez por Galileo Galilei, aunque sólo de manera informal, ya en 1638, ¡cuatro años antes de que naciera Isaac Newton!

³ Obsérvese el muy desafortunado término “impulso”, usado a veces para describir tal transformación. (Es especialmente antinatural en la relatividad especial, no describiendo marcos de referencia acelerados). En mi curso, se evita este término.

⁴ Las discusiones en este capítulo y la mayor parte del siguiente capítulo se restringirán al caso del espacio libre (y por lo tanto libre de dispersión); algunos efectos mediáticos sobre la radiación por partículas relativistas se discutirán en la Sec.10.4.

⁵ Es interesante que la ecuación habitual de Schrödinger, cuya solución fundamental para una partícula libre es una onda monocromática similar (aunque con una ley de dispersión diferente), sea invariante galileana, con cierta adición a la fase de la función de onda — véase, por ejemplo, QM Capítulo 1. Esto es natural porque esa ecuación es no relativista.

⁶ Véase, por ejemplo, CM Secs. 6.5 y 7.7.

⁷ En la mitología griega antigua, el aether es el aire limpio que respiran los dioses que residen en el monte Olimpo.

⁸ A lo largo del ^siglo XX, los experimentos de tipo Michelson-Morley se repitieron utilizando técnicas experimentales cada vez más refinadas, siempre con cero resultados para la aparente velocidad de movimiento del éter. Por ejemplo, experimentos recientes con resonadores ópticos enfriados criogénicamente, han reducido el límite superior para tal velocidad a solo\(\ 3 \times 10^{-15} c\) —ver H. Müller et al., Phys. Rev. 91, 020401 (2003).

⁹ El resultado cero de un experimento ligeramente posterior, a saber, mediciones precisas del par que debe ejercer el éter móvil sobre un condensador cargado, realizadas en 1903 por F. Trouton y H. Noble (siguiendo la sugerencia de G. FitzGerald), secundó las conclusiones de Michelson y Morley.

¹⁰ El trabajo teórico hacia este objetivo incluyó importantes contribuciones de Woldemart Voigt (en 1887), Hendrik Lorentz (en 1892-1904), Joseph Larmor (en 1897 y 1900) y Henri Poincaré (en 1900 y 1905).

¹¹ En retrospectiva, esto fue mucho alivio, porque el aether había sido una construcción muy incómoda para empezar. En particular, de acuerdo con la teoría básica de la elasticidad (ver, por ejemplo, CM Ch. 7), para portar ondas transversales como las electromagnéticas, este medio necesitaría tener un módulo de cizallamiento distinto de cero, es decir, comportarse como un sólido elástico, más que como un gas enrarificado hipotético inicialmente por C. Huygens.

¹² Obsérvese que aunque el principio de relatividad excluye la noción del marco de referencia espacial especial (“absoluto”), su formulación verbal aún deja\(\ t=t^{\prime}\) abierta la posibilidad del “tiempo absoluto” galileo. La teoría de la relatividad cuantitativa mata esta opción — ver las ecuaciones (6) y su discusión a continuación.

¹³ Tenga en cuenta las siguientes identidades:\(\ \gamma^{2} \equiv 1 /\left(1-\beta^{2}\right)\) y\(\ \left(\gamma^{2}-1\right) \equiv \beta^{2} /\left(1-\beta^{2}\right) \equiv \gamma^{2} \beta^{2}\), que frecuentemente son útiles para el álgebra relacionada con la relatividad. Una función más de\(\ \beta\), la rapidez\(\ \varphi \equiv \tanh ^{-1} \beta\) (de modo que\(\ \psi=i \varphi\)), también es útil para algunos cálculos.

¹⁴ Todos los intentos de conjeturar racionalmente las partículas que se mueven con\(\ \nu>c\), llamadas taquiones, han fracasado —hasta ahora, al menos. Posiblemente la objeción más fuerte contra su existencia es el hecho de que los taquiones podrían usarse para comunicarse en el tiempo, violando así el principio de causalidad —véase, por ejemplo, G. Benford et al., Phys. Rev. D 2, 263 (1970).