5.4: Oscilaciones forzadas y resonancia

Objetivos de aprendizaje

• Observe los fenómenos de resonancia en varios ejemplos.
• Observar la amplitud de un oscilador armónico amortiguado.
• Comprender el origen del amortiguamiento de la resonancia.

Figura\(\PageIndex{1}\): Puedes hacer que las cuerdas de un piano vibren simplemente produciendo ondas sonoras a partir de tu voz. (crédito: Matt Billings, Flickr)

Siéntate en algún momento frente a un piano y canta una breve nota fuerte con los amortiguadores fuera de sus cuerdas. Te volverá a cantar la misma nota —las cuerdas, que tienen las mismas frecuencias que tu voz, están resonando en respuesta a las fuerzas de las ondas sonoras que les enviaste. Tu voz y las cuerdas de un piano son un buen ejemplo del hecho de que los objetos —en este caso, las cuerdas de piano— pueden ser forzados a oscilar pero oscilar mejor a su frecuencia natural. En esta sección, exploraremos brevemente la aplicación de una fuerza impulsora periódica que actúa sobre un simple oscilador armónico. La fuerza impulsora pone energía en el sistema a una cierta frecuencia, no necesariamente la misma que la frecuencia natural del sistema. La frecuencia natural es la frecuencia a la que oscila un simple oscilador armónico, si no hay fuerza de amortiguación, y aparte de una patada inicial para iniciar el movimiento, no hay fuerza impulsora. Una fuerza de amortiguación es una fuerza de fricción (fricción, resistencia al aire y otras fuerzas que conducen a la disminución de la energía mecánica) que convierte la energía mecánica del movimiento oscilatorio en energía térmica.

La mayoría de nosotros hemos jugado con juguetes que involucran un objeto apoyado en una banda elástica, algo así como la pelota de pádel suspendida de un dedo en la Figura\(\PageIndex{2}\). Imagina que el dedo en la figura es tu dedo. Al principio mantienes el dedo firme, y la pelota rebota hacia arriba y hacia abajo con una pequeña cantidad de amortiguación. Si mueves el dedo hacia arriba y hacia abajo lentamente, la pelota seguirá sin rebotar mucho por sí sola. A medida que aumentas la frecuencia a la que mueves el dedo hacia arriba y hacia abajo, la pelota responderá oscilando con amplitud creciente. Cuando conduces la pelota a su frecuencia natural, las oscilaciones de la pelota aumentan en amplitud con cada oscilación mientras la conduzcas. El fenómeno de conducir un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural se llama resonancia. Se dice que un sistema que se acciona a su frecuencia natural resuena. A medida que la frecuencia de conducción se vuelve progresivamente más alta que la frecuencia resonante o natural, la amplitud de las oscilaciones se vuelve más pequeña, hasta que las oscilaciones casi desaparecen y tu dedo simplemente se mueve hacia arriba y hacia abajo con poco efecto sobre la pelota.

Figura\(\PageIndex{2}\): La bola de pádel sobre su banda de goma se mueve en respuesta al dedo que la sostiene. Si el dedo se mueve con la frecuencia natural\(f_{0}\) de la pelota en la banda elástica, entonces se logra una resonancia, y la amplitud de las oscilaciones de la pelota aumenta dramáticamente. A frecuencias de conducción más altas y más bajas, la energía se transfiere a la bola de manera menos eficiente y responde con oscilaciones de menor amplitud.

La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una gráfica de la amplitud de un oscilador armónico amortiguado en función de la frecuencia de la fuerza periódica que lo impulsa. Hay tres curvas en la gráfica, cada una representando una cantidad diferente de amortiguación. Las tres curvas alcanzan el pico en el punto donde la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador armónico. El pico más alto, o la mayor respuesta, es para la menor cantidad de amortiguación, porque la fuerza de amortiguación elimina menos energía.

Figura\(\PageIndex{3}\): Amplitud de un oscilador armónico en función de la frecuencia de la fuerza motriz. Las curvas representan el mismo oscilador con la misma frecuencia natural pero con diferentes cantidades de amortiguación. La resonancia ocurre cuando la frecuencia de conducción es igual a la frecuencia natural, y la mayor respuesta es para la menor cantidad de amortiguación. La respuesta más estrecha es también para la menor amortiguación.

Es interesante que las anchuras de las curvas de resonancia mostradas en la Figura\(\PageIndex{3}\) dependan de la amortiguación: cuanto menor sea la amortiguación, más estrecha será la resonancia. El mensaje es que si quieres que un oscilador impulsado resuene a una frecuencia muy específica, necesitas la menor amortiguación posible. Poco amortiguamiento es el caso de las cuerdas de piano y muchos otros instrumentos musicales. Por el contrario, si quieres oscilaciones de pequeña amplitud, como en el sistema de suspensión de un automóvil, entonces quieres una amortiguación pesada. La amortiguación pesada reduce la amplitud, pero la compensación es que el sistema responde a más frecuencias.

Estas características de los osciladores armónicos impulsados se aplican a una gran variedad de sistemas. Cuando sintonizas una radio, por ejemplo, estás ajustando su frecuencia resonante para que solo oscile a la frecuencia de transmisión (conducción) de la estación deseada. Cuanto más selectiva sea la radio en la discriminación entre estaciones, menor será su amortiguación. La resonancia magnética (MRI) es una herramienta de diagnóstico médico ampliamente utilizada en la que los núcleos atómicos (en su mayoría núcleos de hidrógeno) están hechos para resonar por ondas de radio entrantes (del orden de 100 MHz). Un niño en un columpio es conducido por un padre a la frecuencia natural del swing para lograr la máxima amplitud. En todos estos casos, la eficiencia de la transferencia de energía de la fuerza impulsora al oscilador es mejor en resonancia. Los baches de velocidad y las carreteras de grava demuestran que incluso el sistema de suspensión de un automóvil no es inmune a la resonancia. A pesar de los amortiguadores finamente diseñados, que ordinariamente convierten la energía mecánica en energía térmica casi tan rápido como entra, los topes de velocidad aún causan una oscilación de gran amplitud. En caminos de grava que son corrugados, es posible que hayas notado que si viajas a la velocidad “incorrecta”, los baches son muy notorios mientras que a otras velocidades es posible que apenas sientas los baches en absoluto. La figura\(\PageIndex{4}\) muestra una fotografía de un famoso ejemplo (el Puente Tacoma Narrows) de los efectos destructivos de una oscilación armónica impulsada. El Puente del Milenio en Londres estuvo cerrado por un corto periodo de tiempo por el mismo motivo mientras se realizaban las inspecciones.

En nuestros cuerpos, la cavidad torácica es un claro ejemplo de un sistema en resonancia. El diafragma y la pared torácica impulsan las oscilaciones de la cavidad torácica que provocan que los pulmones se inflen y desinflen. El sistema está amortiguado críticamente y el diafragma muscular oscila al valor resonante para el sistema, haciéndolo altamente eficiente.

Figura\(\PageIndex{4}\): En 1940 se derrumbó el Puente Tacoma Narrows en el estado de Washington. Los fuertes vientos cruzados condujeron al puente a oscilaciones a su frecuencia resonante. La amortiguación disminuyó cuando los cables de soporte se soltaron y comenzaron a deslizarse sobre las torres, permitiendo amplitudes cada vez mayores hasta que falló la estructura (crédito: PRI Studio 360, vía Flickr)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un famoso truco de magia consiste en que un intérprete cante una nota hacia un vaso de cristal hasta que el vidrio se rompe. Explique por qué el truco funciona en términos de resonancia y frecuencia natural.

Contestar

El intérprete debe estar cantando una nota que corresponda a la frecuencia natural de la copa. A medida que la onda de sonido se dirige al vidrio, el vidrio responde resonando a la misma frecuencia que la onda de sonido. Con suficiente energía introducida en el sistema, el vidrio comienza a vibrar y eventualmente se rompe.

Resumen de la Sección

• La frecuencia natural de un sistema es la frecuencia a la que el sistema oscilará si no se ve afectado por las fuerzas de conducción o amortiguación.
• Una fuerza periódica que impulsa un oscilador armónico a su frecuencia natural produce resonancia. Se dice que el sistema resuena.
• Cuanto menos amortiguamiento tenga un sistema, mayor será la amplitud de las oscilaciones forzadas cerca de la resonancia. Cuanto más amortiguación tenga un sistema, mayor será la respuesta que tiene a las frecuencias de conducción variables.

Glosario

frecuencia natural

la frecuencia a la que oscila un simple oscilador armónico si se pone en movimiento sin una fuerza motriz

fuerza de amortiguación

una fuerza de fricción que convierte la energía mecánica del movimiento oscilatorio en energía térmica

resonancia

el fenómeno de conducir un sistema con una frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema

resonar

un sistema que se impulsa a su frecuencia natural