8.E: Relatividad (Ejercicios)

1. La figura ilustra una transformación de Lorentz utilizando las convenciones empleadas en la sección 7.2. Por simplicidad, la transformación elegida es aquella que alarga una diagonal por un factor de 2. Dado que las transformaciones de Lorentz conservan área, la otra diagonal se acorta en un factor de 2. Que el marco de referencia original, representado con el cuadrado, sea A, y el nuevo B. (a) Al medir con una regla en la figura, mostrar que la velocidad del fotograma B con respecto al fotograma A es\(0.6c\). b) Imprima copia de la página. Con una regla, dibuja un tercer paralelogramo que representa una segunda transformación sucesiva de Lorentz, una que alarga la diagonal larga por otro factor de 2. Llama a este tercer cuadro C. Usa mediciones con una regla para determinar la velocidad del cuadro C relativa al cuadro A. ¿Es igual al doble de la velocidad encontrada en la parte a? Explique por qué debería esperarse que resulte de la manera en que lo hace. (consulta de respuesta disponible en lightandmatter.com)

2. Los astronautas en tres naves espaciales diferentes se están comunicando entre sí. Aquellos a bordo de los barcos A y B coinciden en la velocidad a la que pasa el momento, pero no están de acuerdo con los del barco C.
(a) Alice está a bordo del barco A. ¿Cómo describe ella el movimiento de su propio barco, en su marco de referencia?
b) Describir la moción de los otros dos barcos según Alice.
c) Dar la descripción según Betty, cuyo marco de referencia es el buque B. d
) Haga lo mismo para Cathy, a bordo del buque C.

3. ¿Qué pasa en la ecuación para\(\gamma\) cuando pones un número negativo para\(v\)? Explique lo que esto significa físicamente, y por qué tiene sentido.

4. La sonda espacial Voyager 1, lanzada en 1977, se mueve más rápido en relación con la tierra que cualquier otro objeto hecho por el hombre, a 17,000 metros por segundo.
(a) Calcular las sondas\(\gamma\).
b) En el transcurso de un año en la tierra, pasa poco menos de un año en la sonda. ¿Cuánto menos? (Hay 31 millones de segundos en un año). (consulta de respuesta disponible en lightandmatter.com)

5. En el ejemplo 2 de la página 391, remarqué que acelerar un objeto macroscópico (es decir, no microscópico) para acercarse a la velocidad de la luz requeriría una cantidad irrazonable de energía. Supongamos que la nave estelar Enterprise de Star Trek tiene una masa de\(8.0\times10^7\) kg, aproximadamente la misma que la Reina Isabel 2. Calcular la energía cinética que tendría que tener si se estuviera moviendo a la mitad de la velocidad de la luz. Comparar con el contenido total de energía de los arsenales nucleares del mundo, que es sobre\(10^{21}\) J. (consulta de respuestas disponible en lightandmatter.com)

6. La tierra está orbitando el sol, y por lo tanto se contrae relativisticamente en la dirección de su movimiento. Calcule la cantidad en la que su diámetro se contrae en esta dirección. (consulta de respuesta disponible en lightandmatter.com)

a/Problema 7.

7. En este problema de tarea, rellenarás los pasos del álgebra requeridos para encontrar la ecuación para\(\gamma\) en la página 389. Para mantener el álgebra simple, dejar que el tiempo\(t\) en la figura k sea igual a 1, como se sugiere en la figura que acompaña a este problema de tarea. El cuadrado original tiene entonces un área de 1, y el paralelogramo transformado también debe tener un área de 1. a) Demostrar que el punto P está en\(x=v\gamma\), de manera que sus\((t,x)\) coordenadas están\((\gamma,v\gamma)\). (b) Encontrar las\((t,x)\) coordenadas del punto Q. (c) Encontrar la longitud de la diagonal corta conectando P y Q. (d) Promediar las coordenadas de P y Q para encontrar las coordenadas del punto medio C del paralelogramo, y luego encontrar la distancia OC. e) Encontrar el área del paralelogramo calculando el doble del área del triángulo PQO. [Pista: Puedes tomar PQ como la base del triángulo.] (f) Establecer esta área igual a 1 y resolver\(\gamma\) para probar\(\gamma=1/\sqrt{1-v^2}\). (consulta de respuesta disponible en lightandmatter.com)

8. (a) Un neutrón libre (a diferencia de un neutrón unido a un núcleo atómico) es inestable y sufre una desintegración beta (que tal vez desee revisar). Las masas de las partículas involucradas son las siguientes:

neutrones	1.67495×10 ^− 27 kg
protón	1.67265×10 ^− 27 kg
electrón	0.00091×10 ^− 27 kg
antineutrino	< 10 ^− 35 kg

Encuentra la energía liberada en la descomposición de un neutrón libre. (cheque de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(b) Los neutrones y protones constituyen esencialmente toda la masa de la materia ordinaria que nos rodea. Observamos que el universo que nos rodea no tiene neutrones libres, sino muchos protones libres (los núcleos de hidrógeno, que es el elemento del que está hecho el 90% del universo). Encontramos neutrones solo dentro de núcleos junto con otros neutrones y protones, no por su cuenta.

Si hay procesos que pueden convertir neutrones en protones, podríamos imaginar que también podría haber conversiones protón a neutrón, y de hecho tal proceso ocurre a veces en núcleos que contienen tanto neutrones como protones: un protón puede descomponerse en un neutrón, un positrón y un neutrino. Un positrón es una partícula con las mismas propiedades que un electrón, salvo que su carga eléctrica es positiva (ver capítulo 7). Un neutrino, como un antineutrino, tiene una masa insignificante.

Si bien tal proceso puede ocurrir dentro de un núcleo, explique por qué no puede sucederle a un protón libre. (Si pudiera, el hidrógeno sería radiactivo, ¡y tú no existirías!)

9. (a) Encontrar una ecuación relativista para la velocidad de un objeto en términos de su masa e impulso (eliminándolo\(\gamma\)). (verificación de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(b) Demuestra que tu resultado es aproximadamente el mismo que el valor clásico\(p/m\),, a bajas velocidades.
(c) Demostrar que momentos muy grandes dan como resultado velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

10. (a) Demostrar que para\(v=(3/5)c\),\(\gamma\) sale a ser una fracción simple.
(b) Encontrar otro valor\(v\) para el cual\(\gamma\) es una fracción simple.

11. Un objeto que se mueve a una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz se conoce como ultrarelativista. Ordinariamente (afortunadamente) los únicos objetos ultrarelativistas en nuestro universo son las partículas subatómicas, como los rayos cósmicos o partículas que han sido aceleradas en un acelerador de partículas.
a) ¿Qué tipo de número es\(\gamma\) para una partícula ultrarelativista?
(b) Repita el ejemplo 18 en la página 418, pero en lugar de velocidades muy bajas, no relativistas, considere velocidades ultrarelativistas.
(c) Encontrar una ecuación para la relación\(\mathcal E/p\). La velocidad puede ser relativista, pero no asuma que es ultrarelativista. (verificación de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(d) Simplifica tu respuesta a la parte c para el caso en que la velocidad sea ultrarelativista. (verificación de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(e) Podemos pensar en un haz de luz como un objeto ultrarelativista — ¡ciertamente se mueve a una velocidad que es lo suficientemente cercana a la velocidad de la luz! Supongamos que enciendes una linterna de un vatio, la dejas encendida por un segundo y luego la apagas. Calcular el impulso de la linterna de retroceso, en unidades de\(\text{kg}\!\cdot\!\text{m}/\text{s}\). (verificación de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(f) Discuta cómo su respuesta en la parte e se relaciona con el principio de correspondencia.

12. Como se discute en el capítulo 6, la velocidad a la que una perturbación viaja a lo largo de una cuerda bajo tensión viene dada por\(v=\sqrt{T/\mu}\), dónde\(\mu\) está la masa por unidad de longitud, y\(T\) es la tensión.
(a) Supongamos que una cuerda tiene una densidad\(\rho\) y un área de sección transversal\(A\). Encontrar una expresión para la tensión máxima que posiblemente pueda existir en la cuerda sin producir\(v>c\), lo cual es imposible según la relatividad. Exprese su respuesta en términos de\(\rho\),\(A\), y\(c\). La interpretación es que la relatividad pone un límite a lo fuerte que puede ser cualquier material. (verificación de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(b) Cada sustancia tiene una resistencia a la tracción, definida como la fuerza por unidad de área requerida para romperla al separarla. La resistencia a la tracción se mide en unidades de\(\text{N}/\text{m}^2\), que es la misma que el pascal (Pa), la unidad de presión mks. Hacer una estimación numérica de la resistencia máxima a la tracción permitida por la relatividad en el caso en que la cuerda esté hecha de materia ordinaria, con una densidad del mismo orden de magnitud que la del agua. (A modo de comparación, el kevlar tiene una resistencia a la tracción de aproximadamente\(4\times10^9\) Pa, y se especula que las fibras hechas de nanotubos de carbono podrían tener valores tan altos como\(6\times10^{10}\) Pa.) (cheque de respuesta disponible en lightandmatter.com)
(c) Un agujero negro es una estrella que se ha derrumbado y se ha vuelto muy densa, por lo que su gravedad es demasiado fuerte para que algo pueda escapar de él. Por ejemplo, la velocidad de escape de un agujero negro es mayor que\(c\), por lo que un proyectil no puede ser disparado fuera de él. Muchas personas, cuando escuchan esta descripción de un agujero negro en términos de una velocidad de escape mayor que\(c\), se preguntan por qué todavía no sería posible extraer un objeto de un agujero negro por otros medios que no sean lanzarlo como proyectil. Por ejemplo, supongamos que bajamos a un astronauta en un agujero negro en una cuerda, y luego lo sacamos de nuevo. ¿Por qué no podría funcionar esto?

13. (a) Una partícula cargada está rodeada por un campo eléctrico uniforme. Partiendo del descanso, es acelerado por el campo a la velocidad\(v\) después de recorrer una distancia\(d\). Ahora se permite continuar por una distancia adicional\(3d\), para un desplazamiento total desde el inicio de\(4d\). ¿Qué velocidad alcanzará, asumiendo la física clásica?
(b) Encontrar el resultado relativista para el caso de\(v=c/2\).

14. Se ha eliminado el problema 14.

15. Expande la ecuación\(K = m(\gamma-1)\) en una serie de Taylor y encuentra los dos primeros términos que no se desvanecen. Mostrar que el primer término es la expresión no relativista de la energía cinética.

16. Expandir la ecuación relativista para el impulso en una serie de Taylor y encontrar los dos primeros términos que no se desvanecen. Demostrar que el primer término es la expresión clásica.

17. (solución en la versión pdf del libro) Como se prometió en la subsección 7.2.8, este problema le llevará a través de los pasos de encontrar una ecuación para la combinación de velocidades en la relatividad, generalizando el resultado numérico que se encuentra en el problema 1. Supongamos que A se mueve con relación a B a velocidad\(u\), y B en relación con C a\(v\). Queremos encontrar la velocidad de A\(w\) relativa a C, en términos de\(u\) y\(v\). Supongamos que A emite luz con cierta frecuencia. Esto será observado por B con un desplazamiento Doppler\(D(u)\). C detecta un cambio adicional de\(D(v)\) relativo a B. Por lo tanto, esperamos que los desplazamientos Doppler se multipliquen\(D(w)=D(u)D(v)\), y esto proporciona una regla implícita para determinar\(w\) si\(u\) y\(v\) son conocidos. (a) Usando la expresión para\(D\) dado en la sección 7.2.8, anotar una ecuación relativa\(u\),\(v\), y\(w\). b) Resolver\(w\) en términos de\(u\) y\(v\). (c) Demostrar que su respuesta a la parte b satisface el principio de correspondencia.

b/Problema 18.

18. La figura muestra siete cuatro vectores, representados en una gráfica bidimensional de\(x\) versus\(t\). Todos los vectores tienen\(y\) y\(z\) componentes que son cero. ¿Cuáles de estos vectores son congruentes con otros, es decir, que representan intervalos espacio-temporales iguales entre sí?

19. Los cuatro vectores pueden ser similares al tiempo, a la luz o al espacio. ¿Qué se puede decir sobre las propiedades inherentes de las partículas cuyos cuatro vectores de impulso caen en estas diversas categorías?

20. Las siguientes son las tres formas más comunes en las que los rayos gamma interactúan con la materia:

Efecto fotoeléctrico: El rayo gamma golpea un electrón, es aniquilado y le da toda su energía al electrón.

Dispersión de Compton: El rayo gamma rebota en un electrón, saliendo en alguna dirección con cierta cantidad de energía.

Producción de pares: El rayo gamma es aniquilado, creando un electrón y un positrón.

Ejemplo a href=” #eg:no-par-prod-in-vacuum">23 en la p. 420 muestra que la producción de pares no puede ocurrir en un vacío debido a la conservación del cuatro vector energía-impulso. ¿Y los otros dos procesos? ¿Puede ocurrir el efecto fotoeléctrico sin la presencia de alguna tercera partícula como un núcleo atómico? ¿Puede ocurrir la dispersión de Compton sin una tercera partícula?

21. Expandir la ecuación relativista para el desplazamiento Doppler longitudinal de la luz\(D(v)\) en una serie de Taylor, y encontrar los dos primeros términos que no se desvanecen. Demostrar que estos dos términos concuerdan con la expresión no relativista, por lo que cualquier efecto relativista es de orden superior en\(v\).

22. Demostrar, como se afirma en la leyenda de la figura a de la p. 424\(S-180°=4(s-180°)\), que, donde\(S\) está la suma de los ángulos del triángulo equilátero grande y\(s\) es la suma correspondiente para uno de los cuatro pequeños. (solución en la versión pdf del libro)

23. Si un ser bidimensional viviera en la superficie de un cono, ¿diría que su espacio era curvo, o no?

24. (a) Verificar que la ecuación\(1-gh/c^2\) para el desplazamiento Doppler gravitacional y la dilatación gravitacional del tiempo tenga unidades que tengan sentido. b) ¿Esta ecuación satisface el principio de correspondencia?

c/Problema 25 b. redibujado de Van Baak, Physics Today 60 (2007) 16.

25. a) Calcular el desplazamiento Doppler que se espera en el experimento Libra-Rebka descrito en la p. 429. b) En el experimento montaña-valle de Iijima de 1978 (p. 384), el análisis se complicó por la sensibilidad del reloj a la presión, la humedad y la temperatura. Una versión más limpia del experimento fue realizada en 2005 por el aficionado Tom Van Baak. Puso a sus hijos y a tres de sus relojes atómicos en una minivan y condujo desde Bellevue, Washington hasta una logia en el monte Rainier, 1340 metros más alto en elevación. En casa, comparó los relojes con otros que se habían quedado en su casa. Verificar que el efecto que se muestra en la gráfica sea el predicho por la relatividad general.

26. La Estación Espacial Internacional orbita a una altitud de unos 350 km y una velocidad de unos 8000 m/s con respecto al suelo. Comparar las dilataciones gravitacionales y cinemáticas del tiempo. Sobre todo, ¿el tiempo corre más rápido en la ISS que en tierra, o más lentamente?

27. En la sección 7.4.3 se presentó una estimación newtoniana de lo compacto que tendría que ser un objeto para ser un agujero negro. Si bien esta estimación no es realmente correcta, resulta dar la respuesta correcta a dentro de aproximadamente un factor de 2. ¿A aproximadamente qué tamaño tendría que comprimirse la tierra para convertirse en un agujero negro?

28. El reloj A se sienta sobre un escritorio. El reloj B se lanza al aire desde la misma altura que el escritorio y luego vuelve a bajar. Compara los tiempos transcurridos. \ hwhint {hwhint:tossed-clock} (solución en la versión pdf del libro)

29. El defecto angular\(d\) de un triángulo (medido en radianes) se define como\(s-\pi\), donde\(s\) está la suma de los ángulos interiores. El defecto angular es proporcional al área\(A\) del triángulo. Considera la geometría medida por un ser bidimensional que vive en la superficie de una esfera de radio\(R\). Primero encuentra algún triángulo en la esfera cuya área y defecto angular son fáciles de calcular. Luego determinar la ecuación general para\(d\) en términos de\(A\) y\(R\). (consulta de respuesta disponible en lightandmatter.com)

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