13.4: Refracción

Los economistas normalmente consideran que los mercados libres son la forma natural de juzgar el valor monetario de algo, pero los científicos sociales también utilizan cuestionarios para medir el valor relativo de privilegios, desventajas o posesiones que no se pueden comprar o vender. Piden a la gente que se imagine que podrían cambiar una cosa por otra y preguntar cuál elegiría. Un resultado interesante es que la persona promedio de piel clara en Estados Unidos preferiría perder un brazo que sufrir el trato racista que habitualmente soportan los afroamericanos. Aún más impresionante es el valor de la vista. Muchos futuros padres pueden imaginar sin demasiado miedo tener un hijo sordo, pero tendrían mucho más dificultades para hacer frente a criar a uno ciego.

Tan grande es el valor que se le da a la vista que algunos le han imbuido de aspectos místicos. Juana de Arco vio visiones, y mi universidad tiene una “declaración de visión”. Los fundamentalistas cristianos que perciben un conflicto entre la evolución y su religión han afirmado que el ojo es un dispositivo tan perfecto que nunca podría haber surgido a través de un proceso tan helter-esquelético como la evolución, o que no podría haber evolucionado porque la mitad de un ojo sería inútil. De hecho, la estructura de un ojo está dictada fundamentalmente por la física, y ha surgido separadamente por la evolución en algún lugar entre ocho y 40 veces, dependiendo del biólogo que le preguntes. Los humanos tenemos una versión del ojo que se remonta a la evolución de una “mancha ocular” sensible a la luz en la cabeza de un antiguo invertebrado. Entonces se desarrolló un foso hundido para que el ojo solo recibiera luz de una dirección, permitiendo que el organismo dijera de dónde venía la luz. (Los gusanos planos modernos tienen este tipo de ojo). La parte superior de la fosa quedó entonces parcialmente cubierta, dejando un agujero, para una direccionalidad aún mayor (como en el nautilus). En algún momento la cavidad se llenó de gelatina, y esta gelatina finalmente se convirtió en una lente, dando como resultado el tipo general de ojo que compartimos con los peces óseos y otros vertebrados. Lejos de ser un dispositivo perfecto, el ojo vertebrado se ve empañado por un grave defecto de diseño debido a la falta de planeación o diseño inteligente en evolución: las células nerviosas de la retina y los vasos sanguíneos que las atienden están todos frente a las células sensibles a la luz, bloqueando parte de la luz. Los calamares y otros moluscos, cuyos ojos evolucionaron sobre una rama separada del árbol evolutivo, tienen una disposición más sensible, con las células sensibles a la luz afuera al frente.

12.4.1 Refracción

El fenómeno físico fundamental que opera en el ojo es que cuando la luz cruza un límite entre dos medios (como el aire y la gelatina del ojo), parte de su energía se refleja, pero parte pasa al nuevo medio. En el modelo de rayos de luz, describimos el rayo original como dividiéndose en un rayo reflejado y uno transmitido (el que atraviesa el límite). Desde luego el rayo reflejado va en una dirección que es diferente a la del original, según las reglas de reflexión que ya hemos estudiado. Más sorprendentemente —y este es el punto crucial para hacer que tu ojo enfoque sea ligero— el rayo transmitido también se dobla un poco. Este fenómeno de flexión se llama refracción. El origen de la palabra es el mismo que el de la palabra “fractura”, es decir, el rayo está doblado o “roto”. (Tenga en cuenta, sin embargo, que los rayos de luz no son objetos físicos que realmente puedan “romperse”). La refracción ocurre con todas las ondas, no solo con las ondas de luz.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un ojo humano. Figura\(\PageIndex{2}\): La anatomía del ojo.

La anatomía real del ojo, Figura\(\PageIndex{2}\), es bastante compleja, pero en esencia se parece mucho a cualquier otro dispositivo óptico basado en la refracción. Los rayos se doblan cuando pasan por la superficie frontal del ojo, Figura\(\PageIndex{3}\). Los rayos que ingresan más lejos del eje central se doblan más, con el resultado de que se forma una imagen en la retina. Sólo hay un aspecto ligeramente novedoso de la situación. En la mayoría de los dispositivos ópticos construidos por humanos, como un proyector de películas, la luz se dobla a medida que pasa a una lente, se dobla de nuevo a medida que resurge y luego alcanza un foco más allá de la lente. En el ojo, sin embargo, la “pantalla” está dentro del ojo, por lo que los rayos sólo se refractan una vez, al entrar en la jalea, y nunca más emergen.

Figura\(\PageIndex{3}\): Diagrama óptico simplificado del ojo. Los rayos de luz se doblan cuando cruzan desde el aire hacia el ojo. (Un poco de la energía de los rayos incidentes va hacia los rayos reflejados en lugar de los transmitidos al ojo).

Un error común es que la “lente” del ojo es lo que hace el enfoque. Todas las partes transparentes del ojo están hechas de cosas bastante similares, por lo que el cambio dramático en el medio es cuando un rayo cruza desde el aire hacia el ojo (en la superficie exterior de la córnea). Aquí es donde tiene lugar casi toda la refracción. El medio de lente difiere solo ligeramente en sus propiedades ópticas del resto del ojo, por lo que se produce muy poca refracción a medida que la luz entra y sale de la lente. La lente, cuya forma se ajusta mediante músculos adheridos a ella, solo está pensada para afinar el foco para formar imágenes de objetos cercanos o lejanos.

Propiedades refractivas de los medios

¿Cuáles son las reglas que rigen la refracción? Lo primero que hay que observar es que al igual que con la reflexión, la nueva parte doblada del rayo se encuentra en el mismo plano que la normal (perpendicular) y el rayo incidente, Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Los rayos incidentes, reflejados y transmitidos (refractados) se encuentran todos en un plano que incluye la normal (línea discontinua). Figura\(\PageIndex{5}\): Los ángulos\(\theta_1\) y\(\theta_2\) están relacionados entre sí, y también dependen de las propiedades de los dos medios. Debido a que la refracción es simétrica de inversión de tiempo, no es necesario etiquetar los rayos con puntas de flecha.

Si intentas disparar un haz de luz en el límite entre dos sustancias, digamos agua y aire, encontrarás que independientemente del ángulo en el que envíes el haz, la parte del haz en el agua siempre está más cerca de la línea normal, Figura\(\PageIndex{5}\).

No importa si el rayo está entrando al agua o saliendo, por lo que la refracción es simétrica con respecto a la inversión del tiempo, Figura\(\PageIndex{6}\).

Figura\(\PageIndex{6}\): La refracción tiene simetría de inversión de tiempo. Independientemente de si la luz entra o sale del agua, la relación entre los dos ángulos es la misma, y el rayo está más cerca de lo normal mientras está en el agua.

Si, en lugar de agua y aire, intentas otra combinación de sustancias, digamos plástico y gasolina, nuevamente encontrarás que el ángulo del rayo con respecto a la normal es consistentemente menor en una y más grande en la otra. Además, encontramos que si la sustancia A tiene rayos más cercanos a lo normal que en B, y B tiene rayos más cercanos a lo normal que en C, entonces A tiene rayos más cercanos a lo normal que C. Esto significa que podemos clasificar todos los materiales de acuerdo con sus propiedades refractivas. Isaac Newton lo hizo, incluyendo en su lista muchas sustancias entretenidas, como “el vitriolo Danzig” y “un pseudo-topacio, siendo una piedra natural, pelúcida, quebradiza, peluda, de color amarillo”. De dicha lista se pueden inferir varias reglas generales:

• El vacío se encuentra en un extremo de la lista. En la refracción a través de la interfaz entre el vacío y cualquier otro medio, el otro medio tiene rayos más cercanos a la normal.
• Entre los gases, el rayo se acerca a lo normal si aumentas la densidad del gas presurizándolo más.
• Las propiedades refractivas de las mezclas y soluciones líquidas varían de manera suave y sistemática a medida que se cambian las proporciones de la mezcla.
• Las sustancias más densas suelen, pero no siempre, tener rayos más cercanos a lo normal.

La segunda y tercera reglas nos proporcionan un método para medir la densidad de una muestra desconocida de gas, o la concentración de una solución. Esta última técnica es muy utilizada, y el CRC Handbook of Physics and Chemistry, por ejemplo, contiene tablas extensas de las propiedades refractivas de las soluciones de azúcar, orina de gato, etc.

Ley de Snell

La regla numérica que rige la refracción fue descubierta por Snell, quien debió haber recolectado datos experimentales algo así como lo que se muestra en esta gráfica y luego intentó por ensayo y error encontrar la ecuación correcta. La ecuación que se le ocurrió fue

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \text{constant} .\]

El valor de la constante dependería de la combinación de medios utilizados. Por ejemplo, cualquiera de los puntos de datos en la gráfica habría bastado para mostrar que la constante fue 1.3 para una interfaz aire-agua (tomando aire como sustancia 1 y agua para ser sustancia 2).

Figura\(\PageIndex{7}\): La relación entre los ángulos en la refracción.

Snell encontró además que si los medios A y B daban una constante\(K_{AB}\) y los medios B y C daban una constante\(K_{BC}\), entonces la refracción en una interfaz entre A y C sería descrita por una constante igual al producto,\(K_{AC}=K_{AB}K_{BC}\). Esto es exactamente lo que cabría esperar si la constante dependiera de la relación de algún número que caracteriza a un medio con respecto al número característico del segundo medio. A este número se le llama el índice de refracción del medio, escrito como\(n\) en ecuaciones. Dado que medir los ángulos sólo le permitiría determinar la relación de los índices de refracción de dos medios, Snell tuvo que escoger algún medio y definirlo como teniendo\(n=1\). Eligió definir el vacío como tener\(n=1\). (El índice de refracción del aire a presión atmosférica normal es de 1.0003, por lo que para la mayoría de los propósitos es una buena aproximación suponer que el aire tiene\(n=1\).) También tuvo que decidir de qué manera definir la relación, y optó por definirla para que los medios con sus rayos más cercanos a lo normal tuvieran mayores índices de refracción. Esto tenía la ventaja de que los medios más densos típicamente tendrían índices de refracción más altos, y por esta razón el índice de refracción también se conoce como la densidad óptica. Escrita en términos de índices de refracción, la ecuación de Snell se convierte en

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1} , \]

pero reescribirlo en la forma

\[ n_1 \sin \theta_1=n_2 \sin \theta_2 \]

[relación entre ángulos de rayos en la interfaz entre medios con índices de refracción\(n_1\) y\(n_2\); los ángulos se definen con respecto a lo normal] nos hace menos propensos a confundir los 1's y 2's, por lo que esta es la forma en que la mayoría de la gente recuerda la ley de Snell. En el reverso del libro se dan algunos índices de refracción.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. ¿Cómo sería la gráfica para dos sustancias con el mismo índice de refracción?
2. Con base en la gráfica, ¿cuándo la refracción en una interfaz aire-agua cambia la dirección de un rayo más fuertemente?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding an angle using Snell's law

Un submarino ilumina su reflector hacia la superficie del agua. ¿Cuál es el ángulo que\(\alpha \) se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\)?

Figura\(\PageIndex{8}\): Ejemplo 10.

Solución

Lo complicado es que la ley de Snell se refiere a los ángulos con respecto a lo normal. Olvidar esto es un error muy común. El haz está en un ángulo de\(30°\) con respecto a la normal en el agua. Vamos a referirnos al aire como medio 1 y al agua como 2. Resolviendo la ley de Snell para\(\theta_1\), encontramos

\[ \theta_1 = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\right) . \]

Como se mencionó anteriormente, el aire tiene un índice de refracción muy cercano a 1, y el de agua es de aproximadamente 1.3, por lo que encontramos\(\theta_1=40°\). El ángulo\(\alpha \) es por lo tanto\(50°\).

Lo que ni Snell ni Newton sabían era que existe una interpretación muy sencilla del índice de refracción. Esto puede llegar como un alivio para el lector que se sorprende por el complejo razonamiento que involucra proporcionalidades que llevaron a su definición. Experimentos posteriores mostraron que el índice de refracción de un medio fue inversamente proporcional a la velocidad de la luz en ese medio. Dado que\(c\) se define como la velocidad de la luz en vacío, y\(n=1\) se define como el índice de refracción del vacío, tenemos

\[ n=\frac{c}{v} .\]

[el índice de refracción del\(n=\) medio, la\(v=\) velocidad de la luz en ese medio, la\(c=\) velocidad de la luz en el vacío]

Muchos libros de texto comienzan con esto como la definición del índice de refracción, aunque ese enfoque hace que el nombre de la cantidad sea algo misterioso, y deja a los estudiantes preguntándose por qué\(c/v\) se utilizó en lugar de hacerlo\(v/c\). También hay que señalar que medir ángulos de refracción es un método mucho más práctico para determinar\(n\) que la medición directa de la velocidad de la luz en la sustancia de interés.

Un modelo mecánico de la ley de Snell

¿Por qué debería relacionarse la refracción con la velocidad de la luz? El modelo mecánico que se muestra en la figura puede ayudar a que esto sea más plausible. Supongamos que el medio 2 es espeso, barro pegajoso, lo que ralentiza el auto. La rueda derecha del auto choca primero con el barro, provocando que el lado derecho del auto disminuya la velocidad. Esto hará que el auto gire a la derecha hasta que se mueva lo suficientemente adelante como para que la rueda izquierda cruce en el barro. Después de eso, los dos lados del auto volverán a estar moviéndose a la misma velocidad, y el auto irá recto.

Figura\(\PageIndex{8}\): Un modelo mecánico de refracción.

Por supuesto, la luz no es un auto. ¿Por qué un haz de luz debería tener algo parecido a una “rueda izquierda” y “rueda derecha”? Después de todo, el modelo mecánico predeciría que una motocicleta iría recta, y una motocicleta parece una mejor aproximación a un rayo de luz que un automóvil. Todo es solo un modelo, no una descripción de la realidad física.

Una derivación de la ley de Snell

Por muy intuitivamente atractivo que sea el modelo mecánico, la luz es una onda, y deberíamos usar modelos de onda para describir la refracción. De hecho, la ley de Snell puede derivarse simplemente de conceptos de onda. La figura\(\PageIndex{9}\) muestra la refracción de una ola de agua. El agua en la parte superior izquierda del tanque es menos profunda, por lo que la velocidad de las olas es más lenta ahí, y sus longitudes de onda son más cortas. La parte reflejada de la ola también es muy débilmente visible.

Figura\(\PageIndex{9}\): Derivación de la ley de Snell.

En la vista de primer plano de la derecha, las líneas discontinuas son normales a la interfaz. Los dos ángulos marcados en el lado derecho son ambos iguales a\(\theta_1\), y los dos a la izquierda a\(\theta_2\).

La trigonometría da

\[\begin{align*} \sin \theta_1 &= \lambda_1/h \text{and} \\ \sin \theta_2 &= \lambda_2/h . \end{align*}\]

\(h\)Eliminando dividiendo las ecuaciones, encontramos

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2} . \]

Las frecuencias de las dos ondas deben ser iguales o de lo contrario saldrían de paso, así que por\(v=f\lambda \) sabemos que sus longitudes de onda son proporcionales a sus velocidades. Combinando\(\lambda\propto v\) con\(v\propto 1/n\) da\(\lambda\propto 1/n\), por lo que encontramos

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1} , \]

que es una forma de la ley de Snell.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Ocean waves near and far from shore

Las olas del océano están formadas por vientos, típicamente en mar abierto, y los frentes de onda son perpendiculares a la dirección del viento que las formó. En la playa, sin embargo, indudablemente has observado que las olas tienden a entrar con sus frentes de onda muy cerca (pero no exactamente) paralelos a la costa. Esto se debe a que la velocidad de las olas de agua en aguas poco profundas depende de la profundidad: cuanto más superficial es el agua, más lenta es la ola. Aunque el cambio de la región de onda rápida a la región de onda lenta es gradual en lugar de abrupto, todavía hay refracción, y el movimiento de las olas es casi perpendicular a la normal en la región lenta.

Color y Refracción

En general, la velocidad de la luz en un medio depende tanto del medio como de la longitud de onda de la luz. Otra forma de decirlo es que el índice de refracción de un medio varía con la longitud de onda. Es por ello que se puede utilizar un prisma para dividir un haz de luz blanca en un arco iris. Cada longitud de onda de luz se refracta a través de un ángulo diferente.

¿Cuánta luz se refleja y cuánto se transmite?

En la sección 6.2 desarrollamos una ecuación para el porcentaje de la energía de las olas que se transmite y el porcentaje reflejado en un límite entre medios. Esto solo se hizo en el caso de las olas en una dimensión, sin embargo, y en lugar de discutir la generalización tridimensional completa será más útil entrar en algunas observaciones cualitativas sobre lo que sucede. Primero, la reflexión ocurre solo en la interfaz entre dos medios, y dos medios con el mismo índice de refracción actúan como si fueran un solo medio. Así, en la interfaz entre medios con el mismo índice de refracción, no hay reflexión, y el rayo sigue recto. Continuando con esta línea de pensamiento, no es sorprendente que observemos muy poca reflexión en una interfaz entre medios con índices de refracción similares.

Lo siguiente a destacar es que es posible tener situaciones en las que ningún ángulo posible para el rayo refractado pueda satisfacer la ley de Snell. Resolviendo la ley de Snell para\(\theta_2\), encontramos

\[ \theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right) , \]

y si\(n_1\) es mayor que\(n_2\), entonces habrá grandes valores de\(\theta_1\) para los cuales la cantidad\((n_1/n_2)\sin\theta \) es mayor que uno, es decir, que tu calculadora te mostrará un mensaje de error cuando intentes tomar el seno inverso. ¿Qué puede pasar físicamente en tal situación? La respuesta es que toda la luz se refleja, por lo que no hay ningún rayo refractado. Este fenómeno se conoce como reflexión interna total, y se utiliza en los cables de fibra óptica que hoy en día transportan casi todas las llamadas telefónicas de larga distancia.

Figura\(\PageIndex{10}\): Reflejo interno total en un cable de fibra óptica.

Las señales eléctricas de su teléfono viajan a un centro de conmutación, donde se convierten de la electricidad en luz. A partir de ahí, la luz se envía por todo el país en una fina fibra transparente. La luz se dirige directamente al extremo de la fibra, y mientras la fibra nunca pase por giros demasiado agudos, la luz siempre encontrará el borde de la fibra en un ángulo suficientemente oblicuo para dar una reflexión interna total. Si el cable de fibra óptica es lo suficientemente grueso, se puede ver una imagen en un extremo de lo que sea que apunte el otro extremo.

Figura\(\PageIndex{11}\): Dibujo simplificado de un endoscopio quirúrgico. La primera lente forma una imagen real en un extremo de un haz de fibras ópticas. La luz se transmite a través del haz, y finalmente es magnificada por el ocular.

Alternativamente, se puede usar un haz de cables, ya que un solo cable grueso es demasiado difícil de doblar. Esta técnica para ver alrededor de las esquinas es útil para hacer que la cirugía sea menos traumática. En lugar de cortar a una persona de par en par, un cirujano puede hacer una pequeña incisión de “ojo de cerradura” e insertar un haz de cable de fibra óptica (conocido como endoscopio) en el cuerpo.

Figura\(\PageIndex{12}\): Imágenes endoscópicas de una úlcera duodenal.

Dado que los rayos en ángulos suficientemente grandes con respecto a la normal pueden reflejarse completamente, no es sorprendente que la cantidad relativa de reflexión cambie dependiendo del ángulo de incidencia, y sea mayor para ángulos de incidencia grandes.

Preguntas de Discusión

◊ ¿Qué índice de refracción debe tener un pez para ser invisible a otros peces?

◊ ¿Un cirujano que usa un endoscopio necesita una fuente de luz dentro de la cavidad corporal? Si es así, ¿cómo podría hacerse esto sin insertar una bombilla a través de la incisión?

◊ Una muestra más densa de un gas tiene un índice de refracción mayor que una muestra menos densa (es decir, una muestra a menor presión), pero ¿por qué no tendría sentido que el índice de refracción de un gas sea proporcional a la densidad?

◊ La atmósfera terrestre se vuelve cada vez más delgada a medida que vas más alto en altitud. Si un rayo de luz proviene de una estrella que está por debajo del cenit, ¿qué pasará con ella a medida que llegue a la atmósfera terrestre?

◊ ¿Se produce la reflexión interna total cuando la luz en un medio más denso se encuentra con un medio menos denso, o al revés? ¿O puede ocurrir en cualquier caso?

12.4.2 Lentes

Las figuras n/1 y n/2 muestran ejemplos de lentes que forman imágenes. Esencialmente no hay nada para que aprendas sobre imágenes con lentes que sea realmente nuevo. Ya sabes cómo construir y usar diagramas de rayos, y sabes de imágenes reales y virtuales. El concepto de la distancia focal de una lente es el mismo que para un espejo curvo. Las ecuaciones para localizar imágenes y determinar aumentos son de la misma forma. Realmente es solo cuestión de flexionar tus músculos mentales en algunos ejemplos. Las siguientes preguntas de autoverificación y discusión le permitirán comenzar.

Figura\(\PageIndex{13}\): 1. Una lente convergente forma una imagen de una llama de vela. 2. Una lente divergente.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. En figuras Figura\(\PageIndex{13; part 1}\) y Figura\(\PageIndex{13; part 2}\), clasificar las imágenes como reales o virtuales.
2. El vidrio tiene un índice de refracción que es mayor que el del aire. Considera el rayo superior en la Figura\(\PageIndex{13; part 1}\). Explique por qué el rayo hace un ligero giro a la izquierda al entrar en la lente, y otro giro a la izquierda cuando sale.
3. Si la llama en Figura\(\PageIndex{13; part 2}\) se acercara a la lente, ¿qué pasaría con la ubicación de la imagen?

Contestar

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Preguntas de Discusión

◊ En las figuras n/1 y n/2, las superficies frontal y posterior son paralelas entre sí en el centro de la lente. ¿Qué pasará con un rayo que entre cerca del centro, pero no necesariamente a lo largo del eje de la lente? Dibuja un diagrama de rayos GRANDE y muestra un rayo que viene de fuera del eje.

En preguntas de discusión B-F, no dibujes diagramas de rayos ultra detallados como en A.

◊ Supongamos que desea cambiar la configuración en la figura n/1 para que la ubicación de la llama real en la figura esté ocupada por una imagen de una llama. ¿Dónde tendrías que mover la vela para lograrlo? ¿Qué pasa en n/2?

◊ Existen tres tipos cualitativamente diferentes de formación de imágenes que pueden ocurrir con lentes, de los cuales las figuras n/1 y n/2 agotan solo dos. Averiguar cuál es la tercera posibilidad. ¿Cuál de las tres posibilidades puede resultar en una ampliación mayor que una? Cf. Problema 10, p. 797.

◊ Clasificar los ejemplos mostrados en la figura o según los tipos de imágenes delineadas en la pregunta de discusión C.

◊ En las figuras n/1 y n/2, los únicos rayos dibujados fueron los que pasó a ingresar a las lentes. Discutir esto en relación con la figura o.

◊ En el lado derecho de la figura o, la imagen vista a través de la lente está enfocada, pero el lado de la rosa que sobresalga por detrás de la lente no lo está. ¿Por qué?

Figura\(\PageIndex{14}\): Dos imágenes de una rosa creadas por la misma lente y grabadas con la misma cámara.

La ecuación del fabricante de lentes

Figura\(\PageIndex{15}\): Los radios de curvatura que aparecen en la ecuación del fabricante de lentes.

La distancia focal de un espejo esférico es simple\(r/2\), pero no podemos esperar que la distancia focal de una lente esté dada por geometría pura, ya que también depende del índice de refracción de la lente. Supongamos que tenemos una lente cuyas superficies frontal y posterior son ambas esféricas. (Esto no es una gran pérdida de generalidad, ya que cualquier superficie con una curvatura suficientemente superficial puede aproximarse con una esfera). Entonces si la lente se sumerge en un medio con un índice de refracción de 1, su distancia focal viene dada aproximadamente por

\[ f = \dfrac{1}{(n-1) \left|\dfrac{1}{r_1}\pm\dfrac{1}{r_2}\right|} \label{LM}\]

donde\(n\) es el índice de refracción y\(r_1\) y\(r_2\) son los radios de curvatura de las dos superficies de la lente. La ecuación\ ref {LM} se conoce como la ecuación del fabricante de lentes. En mi opinión no es particularmente digno de memorización. El signo positivo se usa cuando ambas superficies están curvadas hacia afuera o ambas están curvadas hacia adentro; de lo contrario, se aplica un signo negativo. La prueba de esta ecuación se deja como un ejercicio a aquellos lectores suficientemente valientes y motivados.

12.4.3 Dispersión

Para la mayoría de los materiales, observamos que el índice de refracción depende ligeramente de la longitud de onda, siendo el más alto en el extremo azul del espectro visible y el más bajo en el rojo. Por ejemplo, la luz blanca se dispersa en un arco iris cuando pasa a través de un prisma, q.

Figura\(\PageIndex{16}\): Dispersión de luz blanca por un prisma. La luz blanca es una mezcla de todas las longitudes de onda del espectro visible. Las ondas de diferentes longitudes de onda sufren diferentes cantidades de refracción.

Incluso cuando las ondas involucradas no son ondas de luz, e incluso cuando la refracción no es de interés, la dependencia de la velocidad de onda de la longitud de onda se conoce como dispersión. La dispersión dentro de gotas de lluvia esféricas es responsable de la creación de arcoíris en el cielo, y en un instrumento óptico como el ojo o una cámara es responsable de un tipo de aberración llamada aberración cromática (subsección 12.3.3 y problema 28). Como veremos en la subsección 13.3.2, la dispersión provoca que una onda que no es una onda sinusoidal pura tenga su forma distorsionada a medida que viaja, y también hace que la velocidad a la que la energía y la información son transportadas por la onda sea diferente de lo que se podría esperar de un cálculo ingenuo. Las razones microscópicas para la dispersión de la luz en la materia se discuten en la subsección opcional 12.4.6.

El principio de menor tiempo para la refracción

Anteriormente hemos visto cómo las reglas que rigen el movimiento lineal de la luz y la reflexión de la luz pueden derivarse del principio del menor tiempo. ¿Qué pasa con la refracción? En la figura, efectivamente es plausible que la flexión del rayo sirva para minimizar el tiempo requerido para llegar de un punto A al punto B. Si el rayo siguiera la trayectoria no doblada mostrada con una línea discontinua, tendría que recorrer una mayor distancia en el medio en el que su velocidad es más lenta. Al doblar la cantidad correcta, puede reducir la distancia que tiene que cubrir en el medio más lento sin alejarse demasiado de su camino. Es cierto que la ley de Snell da exactamente el conjunto de ángulos que minimiza el tiempo requerido para que la luz llegue de un punto a otro. La prueba de este hecho se deja como ejercicio (problema 38, p. 802).

Figura\(\PageIndex{17}\): El principio de menor tiempo aplicado a la refracción.

Descripción microscópica de la refracción

Dado que la velocidad de la luz es diferente en diferentes medios, hemos visto dos explicaciones distintas (en la p. 774 y en la subsección 12.4.5 anterior) de por qué debe ocurrir la refracción. Lo que aún no hemos explicado es por qué la velocidad de la luz sí depende del medio.

Figura\(\PageIndex{18}\): Índice de refracción de vidrio de sílice, redibujado de Kitamura, Pilon y Jonasz, Applied Optics 46 (2007) 8118, reimpreso en línea en http://www.seas.ucla.edu/~pilon/Publ...s/AO2007-1.pdf.

Una buena pista de lo que está sucediendo proviene de la figura s. La variación relativamente menor del índice de refracción dentro del espectro visible fue engañosa. A ciertas frecuencias específicas,\(n\) exhibe oscilaciones salvajes en las direcciones positiva y negativa. Después de cada uno de esos columpios, alcanzamos una nueva meseta más baja en la gráfica. Estas frecuencias son resonancias. Por ejemplo, la parte visible del espectro se encuentra en la cola izquierda de una resonancia aproximadamente\(2\times10^{15}\ \text{Hz}\), correspondiente a la parte ultravioleta del espectro. Esta resonancia surge de la vibración de los electrones, que están unidos a los núcleos como por pequeños resortes. Debido a que esta resonancia es estrecha, el efecto sobre las frecuencias de luz visible es relativamente pequeño, pero es más fuerte en el extremo azul del espectro que en el extremo rojo. Cerca de cada resonancia, no sólo fluctúa salvajemente el índice de refracción, sino que el vidrio se vuelve casi opaco; esto se debe a que la vibración se vuelve muy fuerte, provocando que la energía se disipe como calor. El efecto “escalera” es el mismo visible en cualquier resonancia, por ejemplo, la figura k en la p. 180: los osciladores tienen una respuesta finita para\(f \ll f_0\), pero la respuesta se aproxima a cero para\(f \gg f_0\).

Hasta el momento, tenemos una explicación cualitativa de la variación de frecuencia de la “fuerza” vagamente definida del efecto del vidrio sobre una onda de luz, pero no hemos explicado por qué el efecto se observa como un cambio en la velocidad, o por qué cada resonancia es un swing arriba-abajo en lugar de un solo pico positivo. Para entender estos efectos con más detalle, necesitamos considerar la respuesta de fase del oscilador. Como se muestra en el panel inferior de la figura j en la p. 181, la respuesta de fase se invierte a medida que pasamos por una resonancia.

Figura\(\PageIndex{19}\): 1. Una ola incidente sobre una lámina de vidrio excita la corriente en el vidrio, lo que produce una onda secundaria. 2. La onda secundaria se superpone con la onda original, tal como se representa en la representación de número complejo introducida en la subsección 10.5.7.

Supongamos que una onda plana es normalmente incidente en el lado izquierdo de una delgada lámina de vidrio, t/1, at\(f \ll f_0\). La onda de luz observada en el lado derecho consiste en una superposición de la onda incidente que consiste en\(\mathbf{E}_0\) y\(\mathbf{B}_0\) con una onda secundaria\(\mathbf{E}^*\) y\(\mathbf{B}^*\) generada por las cargas oscilantes en el vidrio. Dado que la frecuencia está muy por debajo de la resonancia, la respuesta\(q\mathbf{x}\) de una carga vibratoria\(q\) está en fase con la fuerza impulsora\(\mathbf{E}_0\). La corriente es la derivada de esta cantidad, y por lo tanto 90 grados por delante de ella en fase. El campo magnético generado por una hoja de corriente ha sido analizado en la subsección 11.2.1, y el resultado, mostrado en la figura e de la p. 664, es justo lo que esperaríamos de la regla de la derecha. Encontramos, t/1, que la onda secundaria está 90 grados por delante de la incidente en fase. La ola incidente aún existe en el lado derecho de la lámina, pero se superpone con la secundaria. Su adición se muestra en t/2 utilizando la representación numérica compleja introducida en la subsección 10.5.7. La superposición de los dos campos va a la zaga de la ola incidente, que es el efecto que esperaríamos si la ola hubiera viajado más lentamente a través del cristal.

En el caso\(f \gg 0\), se aplica el mismo análisis salvo que se invierte la fase de la onda secundaria. La onda transmitida es avanzada en lugar de retardada en fase. Esto explica la caída observada en la figura s después de cada pico.

Todo ello concuerda con nuestra comprensión de la relatividad, el capítulo 7, en el que vimos que la velocidad universal\(c\) debía entenderse fundamentalmente como un factor de conversión entre las unidades utilizadas para medir el tiempo y el espacio —no como la velocidad de la luz—. Dado que\(c\) no se define como la velocidad de la luz, no es de importancia fundamental que la luz tenga una velocidad diferente en la materia que en el vacío. De hecho, la imagen que hemos construido aquí es aquella en la que todas nuestras ondas electromagnéticas viajan\(c\); la propagación a alguna otra velocidad es solo lo que parece suceder debido a la superposición de las\((\mathbf{E}^*,\mathbf{B}^*)\) ondas\((\mathbf{E}_0,\mathbf{B}_0)\) y, a las que se mueven ambas\(c\).

Pero es preocupante que en las frecuencias donde\(n\lt1\), la velocidad de la onda sea mayor que\(c\). Según relatividad especial, nunca se supone que la información se transmita a velocidades mayores que\(c\), ¡ya que esto produciría situaciones en las que se podría recibir una señal antes de que se transmitiera! Esta dificultad se resuelve en la subsección 13.3.2, donde mostramos que existen dos velocidades diferentes que se pueden definir para una onda en un medio dispersivo, la velocidad de fase y la velocidad de grupo. La velocidad del grupo es la velocidad a la que se transmite la información, y siempre es menor que\(c\).

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