13.5: Óptica de Onda

Los microscopios electrónicos pueden hacer imágenes de átomos individuales, pero ¿por qué un microscopio de luz visible nunca podrá hacerlo? Los altavoces estéreo crean la ilusión de la música que proviene de una banda dispuesta en tu salón, pero ¿por qué la ilusión estéreo no funciona con notas graves? ¿Por qué los fabricantes de chips de computadora invierten miles de millones de dólares en equipos para grabarlos con rayos X en lugar de luz visible?

Las respuestas a todas estas preguntas tienen que ver con el tema de la óptica de onda. Hasta el momento este libro ha discutido la interacción de las ondas de luz con la materia, y sus aplicaciones prácticas a dispositivos ópticos como espejos, pero hemos utilizado el modelo de rayos de luz casi exclusivamente. Casi nunca hemos hecho uso explícitamente del hecho de que la luz es una onda electromagnética. Pudimos salirnos con la suya con el modelo de rayos simple porque los trozos de materia que estábamos discutiendo, como lentes y espejos, eran miles de veces más grandes que una longitud de onda de luz. Pasamos ahora a fenómenos y dispositivos que sólo se pueden entender utilizando el modelo de onda de la luz.

12.5.1 Difracción

La figura\(\PageIndex{1a}\) muestra un problema típico en la óptica de onda, promulgada con ondas de agua. Puede parecer sorprendente que no obtengamos un patrón simple como Figura\(\PageIndex{1b}\), pero el patrón solo sería así de simple si la longitud de onda fuera cientos de veces más corta que la distancia entre los huecos en la barrera y los anchos de los huecos.

Figura\(\PageIndex{1}\): a. En esta vista desde arriba, una onda de agua recta sinusoidal se encuentra con una barrera con dos huecos en ella. La fuerte vibración de las olas se produce en los ángulos X y Z, pero no hay ninguna en absoluto en el ángulo Y. (La figura ha sido retocada a partir de una foto real de olas de agua. En realidad, las olas más allá de la barrera serían mucho más débiles que las anteriores, y por lo tanto serían difíciles de ver.) b/Esto no sucede.

La óptica de onda es un tema amplio, pero este ejemplo nos ayudará a escoger un conjunto razonable de restricciones para hacer las cosas más manejables:

1. Nos limitamos a casos en los que una ola viaja a través de un medio uniforme, se encuentra con cierta área en la que el medio tiene propiedades diferentes, y luego emerge del otro lado hacia una segunda región uniforme.
2. Suponemos que la onda entrante es un patrón de onda senoidal ordenada y agradable con frentes de onda que son líneas (o, en tres dimensiones, planos).
3. En Figura\(\PageIndex{1a}\) podemos ver que el patrón de olas inmediatamente más allá de la barrera es bastante complejo, pero más adelante se ordena en un conjunto de cuñas separadas por huecos en los que el agua está quieta. Nos limitaremos a estudiar los patrones de onda más simples que ocurren más lejos, de manera que la principal cuestión de interés es qué tan intensa es la onda saliente en un ángulo dado.

El tipo de fenómeno descrito por restricción (1) se llama difracción. La difracción puede definirse como el comportamiento de una onda cuando se encuentra con un obstáculo o una falta de uniformidad en su medio. En general, la difracción hace que una onda se doble alrededor de los obstáculos y haga patrones de ondas fuertes y débiles que irradian más allá del obstáculo. Comprender la difracción es el problema central de la óptica de onda. Si entiendes la difracción, incluso el subconjunto de problemas de difracción que caen dentro de las restricciones (2) y (3), el resto de la óptica de onda es la guinda del pastel.

La difracción se puede utilizar para encontrar la estructura de un objeto difractante desconocido: incluso si el objeto es demasiado pequeño para estudiarlo con imágenes ordinarias, puede ser posible trabajar hacia atrás desde el patrón de difracción para aprender sobre el objeto. La estructura de un cristal, por ejemplo, se puede determinar a partir de su patrón de difracción de rayos X.

La difracción también puede ser algo malo. En un telescopio, por ejemplo, las ondas de luz son difractadas por todas las partes del instrumento. Esto hará que la imagen de una estrella aparezca borrosa incluso cuando el enfoque se haya ajustado correctamente. Al comprender la difracción, uno puede aprender cómo se debe diseñar un telescopio para reducir este problema, esencialmente, debe tener el mayor diámetro posible.

Hay dos formas en las que la restricción (2) podría ser violada comúnmente. Primero, la luz podría ser una mezcla de longitudes de onda. Si simplemente queremos observar un patrón de difracción o usar la difracción como técnica para estudiar el objeto haciendo la difractación (por ejemplo, si el objeto es demasiado pequeño para verlo con un microscopio), entonces podemos pasar la luz a través de un filtro coloreado antes de difractarlo.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una configuración práctica de baja tecnología para la observación de difracción de luz.

Un segundo problema es que la luz de fuentes como el sol o una bombilla no consiste en una onda plana agradable y ordenada, excepto sobre regiones muy pequeñas del espacio. Diferentes partes de la onda están fuera de sintonía entre sí, y la onda se conoce como incoherente. Una forma de lidiar con esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Después de filtrar para seleccionar una cierta longitud de onda de luz roja, pasamos la luz a través de un pequeño agujero de alfiler. La región de la luz que es interceptada por el estenopeico es tan pequeña que una parte de ella no está desfasada con otra. Más allá del estenopeico, la luz se extiende en una onda esférica; esto es análogo a lo que sucede cuando hablas en un extremo de un rollo de toalla de papel y las ondas sonoras se extienden en todas direcciones desde el otro extremo. Para cuando la onda esférica llega a la doble hendidura se ha extendido y reducido su curvatura, de manera que ahora podemos pensarla como una simple onda plana.

d/La figura inferior es simplemente una copia de la porción media de la parte superior, escalada por un factor de dos. Todos los ángulos son iguales. Físicamente, el patrón angular de las franjas de difracción no puede ser diferente si escalamos ambos\(\lambda\) y\(d\) por el mismo factor, dejando\(\lambda/d\) sin cambios.

Si esto le parece laborioso, puede que se sienta aliviado al saber que la tecnología moderna nos brinda una manera más fácil de producir un haz de luz coherente de una sola longitud de onda: el láser.

Las partes de la imagen final en la pantalla en la Figura\(\PageIndex{2}\) se denominan franjas de difracción. El centro de cada franja es un punto de brillo máximo, y a medio camino entre dos flecos es un mínimo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Discussion Question

¿Por qué se usarían los rayos X en lugar de la luz visible para encontrar la estructura de un cristal? Las ondas sonoras se utilizan para hacer imágenes de fetos en el útero. Qué influiría en la elección de la longitud de onda

12.5.2 Escalado de difracción

Este capítulo tiene “óptica” en su título, por lo que se trata nominalmente de luz, pero empezamos con un ejemplo que involucra olas de agua. Las olas de agua son ciertamente más fáciles de visualizar, pero ¿es esta una comparación legítima? De hecho la analogía funciona bastante bien, a pesar de que una onda de luz tiene una longitud de onda aproximadamente un millón de veces más corta. Esto es porque los efectos de difracción se escalan uniformemente. Es decir, si ampliamos o reducimos toda la situación de difracción por el mismo factor, incluyendo tanto las longitudes de onda como los tamaños de los obstáculos que encuentra la onda, el resultado sigue siendo una solución válida.

¡Esto es un comportamiento inusualmente simple! En la subsección 0.2.2 vimos muchos ejemplos de descamación más compleja, como la imposibilidad de bacterias del tamaño de los perros, o la necesidad de que un elefante elimine el calor a través de sus orejas debido a su pequeña relación superficie-volumen, mientras que el estilo de vida de una pequeña musaraña se centra en conservar su calor corporal.

Por supuesto, las ondas de agua y las ondas de luz difieren de muchas maneras, no solo en escala, sino que los hechos generales que aprenderá sobre la difracción son aplicables a todas las olas. De alguna manera podría haber sido más apropiado insertar este capítulo después de la sección 6.2 sobre ondas acotadas, pero muchas de las aplicaciones importantes son a las ondas de luz, y probablemente las habría encontrado mucho más difíciles sin ningún fondo en óptica.

Otra forma de afirmar el comportamiento de escalado simple de la difracción es que los ángulos de difracción que obtenemos dependen solo de la relación sin unidad\(\lambda \) /d, donde\(\lambda\) está la longitud de onda de la onda y\(d\) es alguna dimensión de los objetos difractantes, por ejemplo, el espaciado centro a centro entre los hendiduras en la figura a. si, por ejemplo, escalamos ambos\(\lambda \) y\(d\) por un factor de 37, la relación no\(\lambda /d\) cambiará.

12.5.3 El Principio de Correspondencia

La única razón por la que no solemos notar la difracción de luz en la vida cotidiana es que normalmente no tratamos con objetos que son comparables en tamaño a una longitud de onda de luz visible, que es aproximadamente una millonésima parte de un metro. ¿Significa esto que la óptica de onda contradice la óptica de rayos, o que la óptica de onda a veces da resultados incorrectos No. Si sostienes tres dedos a la luz del sol y proyectas una sombra con ellos, ya sea la óptica de onda o la óptica de rayos se pueden usar para predecir el resultado directo: un patrón de sombra con dos líneas brillantes donde la luz ha pasado por los huecos entre tus dedos. La óptica de onda es una teoría más general que la óptica de rayos, por lo que en cualquier caso donde la óptica de rayos sea válida, las dos teorías coincidirán. Este es un ejemplo de una idea general enunciada por el físico Niels Bohr, llamada principio de correspondencia: cuando las fallas en una teoría física conducen a la creación de una teoría nueva y más general, la nueva teoría debe estar aún de acuerdo con la vieja teoría dentro de su área más restringida de aplicabilidad. Después de todo, una teoría sólo se crea como una forma de describir observaciones experimentales. Si la teoría original no hubiera funcionado en ningún caso en absoluto, nunca se habría aceptado.

En el caso de la óptica, el principio de correspondencia nos dice que cuando\(\lambda /d\) es pequeño, tanto el rayo como el modelo de onda de luz deben dar aproximadamente el mismo resultado. Supongamos que extiende los dedos y proyecta una sombra con ellos usando una fuente de luz coherente. \(\lambda /d\)Se trata de la cantidad\(10^{-4}\), por lo que los dos modelos coincidirán muy de cerca. (Para ser específicos, las sombras de tus dedos estarán delineadas por una serie de franjas claras y oscuras, pero el ángulo subtendido por una franja será del orden de\(10^{-4}\) los radianes, por lo que serán invisibles y lavados por la fuzziness natural de los bordes de las sombras solares, causadas por el tamaño finito del sol. )

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Qué tipo de longitud de onda tendría que tener una onda electromagnética para difractar dramáticamente alrededor de tu cuerpo? ¿Esto contradice el principio de correspondencia?

Responder

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

12.5.4 Principio de Huygens

e/Christiaan Huygens (1629-1695).

f/Difracción de doble rendija.

Volviendo al ejemplo de la difracción de doble rendija, f, observe la fuerte impresión visual de dos conjuntos superpuestos de semicírculos concéntricos. Este es un ejemplo del principio de Huygens, que lleva el nombre de un físico y astrónomo holandés. (La primera sílaba rima con “niño”.) El principio de Huygens establece que cualquier frente de onda puede dividirse en muchos pequeños picos de onda lado a lado, g, que luego se extienden como ondas circulares, h, y por el principio de superposición, el resultado de sumar estos conjuntos de ondas debe dar el mismo resultado que permitir que la onda se propague hacia adelante, i.

g/Un frente de onda se puede analizar por el principio de superposición, dividiéndolo en muchas partes pequeñas.

h/Si fuera por sí misma, cada una de las partes se extendería como una ondulación circular.

i/Sumando las ondas produce un nuevo frente de onda.

En el caso de las ondas sonoras o de luz, que se propagan en tres dimensiones, las “ondas” son en realidad esféricas en lugar de circulares, pero muchas veces podemos imaginar cosas en dos dimensiones por simplicidad.

En la difracción de doble rendija la aplicación del principio de Huygens es visualmente convincente: es como si todos los conjuntos de ondas hubieran sido bloqueados excepto dos. Es un hecho matemático bastante sorprendente, sin embargo, que el principio de Huygens da el resultado correcto en el caso de una onda lineal sin obstrucciones, h e i. Un número teóricamente infinito de patrones de ondas circulares de alguna manera conspiran para sumarse y producir el movimiento de onda lineal simple con el que estamos familiarizados.

Dado que el principio de Huygens es equivalente al principio de superposición, y la superposición es una propiedad de las olas, lo que Huygens había creado era esencialmente la primera teoría de onda de la luz. No obstante, imaginó la luz como una serie de pulsos, como aplausos de mano, más que como una onda sinusoidal.

La historia es interesante. Isaac Newton amaba tanto la teoría atómica de la materia que buscó con entusiasmo pruebas de que la luz también estaba hecha de partículas diminutas. Los caminos de sus partículas de luz corresponderían a los rayos en nuestra descripción; la única diferencia significativa entre un modelo de rayos y un modelo de partículas de luz se produciría si se pudiera aislar partículas individuales y mostrar que la luz tenía una “granulosidad” a la misma. Newton nunca hizo esto, así que aunque pensó en su modelo como un modelo de partículas, es más exacto decir que fue uno de los constructores del modelo ray.

Casi todo lo que se sabía sobre la reflexión y refracción de la luz podría interpretarse igualmente bien en términos de un modelo de partículas o de un modelo de onda, pero Newton tenía una razón para oponerse fuertemente a la teoría de las ondas de Huygens. Newton sabía que las ondas exhibían difracción, pero la difracción de la luz es difícil de observar, por lo que Newton creía que la luz no presentaba difracción, y por lo tanto no debía ser una onda. Si bien las críticas de Newton fueron suficientemente justas, el debate también adquirió los matices de una disputa nacionalista entre Inglaterra y Europa continental, alimentada por el resentimiento inglés por el supuesto plagio de Leibniz del cálculo de Newton. Newton escribió un libro sobre óptica, y su prestigio y protagonismo político tendieron a desalentar el cuestionamiento de su modelo.

j/Thomas Young

Thomas Young (1773-1829) fue la persona que finalmente, cien años después, realizó una cuidadosa búsqueda de efectos de interferencia de onda con la luz y analizó los resultados correctamente. Observó difracción de luz de doble rendija así como una variedad de otros efectos de difracción, todos los cuales mostraron que la luz presentaba efectos de interferencia de onda, y que las longitudes de onda de las ondas de luz visible eran extremadamente cortas. El logro culminante fue la demostración del experimentalista Heinrich Hertz y el teórico James Clerk Maxwell de que la luz era una onda electromagnética. Se dice que Maxwell relató su descubrimiento con su esposa una noche estrellada y le dijo que ella era la única otra persona en el mundo que sabía lo que era la luz de las estrellas.

12.5.5 Difracción de doble rendija

k/Difracción de doble rendija.

Analicemos ahora la difracción de doble rendija, k, usando el principio de Huygens. La pregunta más interesante es cómo calcular los ángulos como X y Z donde la intensidad de onda está en un máximo, y los ángulos intermedios como Y donde se minimiza. Midamos todos nuestros ángulos con respecto a la línea central vertical de la figura, que era la dirección original de propagación de la onda.

l/Uso del principio de Huygens.

Si asumimos que el ancho de las hendiduras es pequeño (del orden de la longitud de onda de la onda o menos), entonces podemos imaginar solo un solo conjunto de ondas de Huygens extendiéndose desde cada una, l. Las líneas blancas representan picos, los negros valles. La única dimensión de las hendiduras de difracción que tiene algún efecto sobre el patrón geométrico de las ondas superpuestas es entonces la distancia de centro a centro\(d\),, entre las ranuras.

m/Interferencia constructiva a lo largo de la línea central.

Sabemos por nuestra discusión sobre el escalado de la difracción que debe haber alguna ecuación que relacione un ángulo como\(\theta_Z\) con la relación\(\lambda /d\),

\[\begin{equation*} \frac{\lambda}{d} \leftrightarrow \theta_Z . \end{equation*}\]

Si la ecuación para\(\theta_Z\) dependiera de alguna otra expresión como\(\lambda +d\) o\(\lambda^2/d\), entonces cambiaría cuando escaláramos\(\lambda \) y\(d\) por el mismo factor, lo que violaría lo que sabemos sobre el escalado de la difracción.

A lo largo de la línea máxima central, X, siempre tenemos ondas positivas que coinciden con las positivas y ondas negativas que coinciden con las negativas. (He elegido arbitrariamente tomar una instantánea del patrón en un momento en que las ondas que emergen de la hendidura están experimentando un pico positivo). Por lo tanto, la superposición de los dos conjuntos de ondas resulta en una duplicación de la amplitud de onda a lo largo de esta línea. Hay interferencia constructiva. Esto es fácil de explicar, porque por simetría, cada onda ha tenido que recorrer un número igual de longitudes de onda para llegar desde su hendidura a la línea central, m: Debido a que ambos conjuntos de ondas tienen diez longitudes de onda que cubrir para llegar al punto a lo largo de la dirección X, estarán en paso cuando lleguen allí.

En el punto a lo largo de la dirección Y que se muestra en la misma figura, una onda ha recorrido diez longitudes de onda, y por lo tanto se encuentra en un extremo positivo, pero la otra ha recorrido sólo nueve longitudes de onda y media, por lo que se encuentra en un extremo negativo. Hay cancelación perfecta, por lo que los puntos a lo largo de esta línea no experimentan movimiento de onda.

Pero la distancia recorrida no tiene que ser igual para conseguir interferencias constructivas. En el punto a lo largo de la dirección Z, una onda ha ido nueve longitudes de onda y las otras diez. Ambos se encuentran en un extremo positivo.

autocomprobación:

En un punto media longitud de onda por debajo del punto marcado a lo largo de la dirección X, realizar un análisis similar.

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Para resumir, tendremos una interferencia constructiva perfecta en cualquier punto donde la distancia a una hendidura difiera de la distancia a la otra hendidura en un número entero de longitudes de onda. La interferencia destructiva perfecta ocurrirá cuando el número de longitudes de onda de la diferencia de longitud de trayectoria sea igual a un entero más la mitad.

n/Las olas recorren distancias\(L\) y\(L'\) desde las dos hendiduras para llegar al mismo punto en el espacio, en ángulo\(\theta\) desde la línea central.

Ahora estamos listos para encontrar la ecuación que predice los ángulos de los máximos y mínimos. Las olas recorren diferentes distancias para llegar al mismo punto en el espacio, n. Necesitamos encontrar si las ondas están en fase (en paso) o fuera de fase en este punto para predecir si habrá interferencia constructiva, interferencia destructiva o algo intermedio.

o/Una vista en primer plano de la figura n, que muestra cómo\(L-L'\) se relaciona la diferencia de longitud de trayectoria con\(d\) y con el ángulo\(\theta\).

Una de nuestras suposiciones básicas en este capítulo es que solo estaremos tratando con la onda difractada en regiones muy alejadas del objeto que la difracta, por lo que el triángulo es largo y flaco. La mayoría de los ejemplos del mundo real con difracción de luz, de hecho, tendrían triángulos con proporciones incluso más delgadas que este. Por lo tanto, los dos lados largos son casi paralelos, y estamos justificados al dibujar el triángulo rectángulo que se muestra en la figura o, etiquetando una pata del triángulo rectángulo como la diferencia en la longitud del camino\(L-L'\), y etiquetando el ángulo agudo como\(\theta \). (En realidad este ángulo es un poquito mayor que el etiquetado\(\theta \) en la figura n.)

La diferencia en la longitud de la ruta está relacionada con\(d\) y\(\theta \) por la ecuación

\[\begin{equation*} \frac{L-L'}{d} = \sin \theta . \end{equation*}\]

La interferencia constructiva dará como resultado un máximo en ángulos para el cual\(L-L'\) es un número entero de longitudes de onda,

\[\begin{multline*} L-L' = m\lambda . \\ {\text{[condition for a maximum;}}\ \text{$m$ is an integer]} \end{multline*}\]

Aquí\(m\) equivale a 0 para el máximo central,\(-1\) para el primer máximo a su izquierda,\(+2\) para el segundo máximo a la derecha, etc. juntando todos los ingredientes, encontramos\(m\lambda/d=\sin \theta \), o

\[\begin{multline*} \frac{\lambda}{d} = \frac{\sin\theta}{m} . \\ {\text{[condition for a maximum;}}\ \text{$m$ is an integer]} \end{multline*}\]

De igual manera, la condición para un mínimo es

\[\begin{multline*} \frac{\lambda}{d} = \frac{\sin\theta}{m} . \\ {\text{[condition for a minimum;}}\ \text{$m$ is an integer plus $1/2$]} \end{multline*}\]

Es decir, los mínimos están aproximadamente a medio camino entre los máximos.

Como se esperaba con base en el escalado, esta ecuación relaciona los ángulos con la relación sin unidades\(\lambda /d\). Alternativamente, podríamos decir que hemos probado la propiedad de escalado en el caso especial de la difracción de doble rendija. Era inevitable que el resultado tuviera estas propiedades de escalado, ya que toda la prueba era geométrica, ¡y habría sido igualmente válida al ampliarse o reducirse en una fotocopiadora!

Contraintuitivamente, esto significa que un objeto difractante con dimensiones más pequeñas produce un patrón de difracción más grande, p.

p/Cortar por\(d\) la mitad duplica los ángulos de las franjas de difracción.

Ejemplo 12: Difracción de doble rendija de luz azul y roja

La luz azul tiene una longitud de onda más corta que la roja. Para un espaciado de doble rendija dado\(d\), el valor más pequeño de\(\lambda /d\) for conduce a valores más pequeños de\(\sin \theta \), y por lo tanto a un conjunto más estrechamente espaciado de franjas de difracción, q q/Patrones de difracción de doble hendidura de luz roja de longitud de onda larga (arriba) y luz azul de longitud de onda corta (abajo)

Ejemplo 13: El principio de correspondencia

Consideremos también cómo las ecuaciones para la difracción de doble rendija se relacionan con el principio de correspondencia. Cuando la relación\(\lambda /d\) es muy pequeña, debemos recuperar el caso de la óptica de rayos simples. Ahora bien, si\(\lambda /d\) es pequeño, también\(\sin\theta \) debe ser pequeño, y el espaciamiento entre las franjas de difracción también será pequeño. Aunque no lo hemos probado, la franja central es siempre la más brillante, y las franjas se vuelven más tenues y atenuadas a medida que vamos más lejos de ella. Para valores pequeños de\(\lambda /d\), la parte del patrón de difracción que es lo suficientemente brillante como para ser detectable cubre solo un pequeño rango de ángulos. Esto es exactamente lo que esperaríamos de la óptica de los rayos: los rayos que pasan por las dos hendiduras permanecerían paralelos, y seguirían moviéndose en la\(\theta =0\) dirección. (De hecho habría imágenes de las dos hendiduras separadas en la pantalla, pero nuestro análisis fue todo en términos de ángulos, por lo que no debemos esperar que aborde el tema de si hay estructura dentro de un conjunto de rayos que están todos viajando en la\(\theta =0\) dirección).

Ejemplo 14: Espaciado de las franjas en ángulos pequeños

En ángulos pequeños, podemos usar la aproximación\(\sin\theta\approx\theta\), la cual es válida si\(\theta \) se mide en radianes. La ecuación para la difracción de doble rendija se vuelve simplemente \[\begin{equation*} \frac{\lambda}{d} = \frac{\theta}{m} , \end{equation*}\] que se puede resolver\(\theta \) para dar \[\begin{equation*} \theta = \frac{m\lambda}{d} . \end{equation*}\] La diferencia de ángulo entre flecos sucesivos es el cambio en\(\theta \) que resulta de cambiar\(m\) por más o menos uno, \[\begin{equation*} \Delta\theta = \frac{\lambda}{d} . \end{equation*}\] r/Interpretación del espaciado angular\(\Delta\theta\) en el ejemplo 14. Se puede definir ya sea de máximo a máximo o de mínimo a mínimo. De cualquier manera, el resultado es el mismo. No tiene sentido tratar de interpretar\(\Delta\theta\) como el ancho de una franja; se puede ver por la gráfica y por la imagen de abajo que no es obvio ni que tal cosa esté bien definida o que sería lo mismo para todas las franjas. Por ejemplo, si escribimos\(\theta_7\) para el ángulo de la séptima franja brillante en un lado del máximo central y\(\theta_8\) para el vecino, tenemos \[\begin{align*} \theta_8-\theta_7 &= \frac{8\lambda}{d}-\frac{7\lambda}{d}\\ &= \frac{\lambda}{d} , \end{align*}\] y de manera similar para cualquier otro par de flecos vecinos.

Aunque la ecuación sólo\(\lambda /d=\sin \theta /m\) es válida para una doble hendidura, todavía lo es puede ser una guía para nuestro pensamiento aunque estemos observando la difracción de luz por un virus o una pierna de pulga: siempre es cierto que

(1) grandes valores de\(\lambda /d\) plomo a un patrón de difracción amplio, y

(2) Los patrones de difracción son repetitivos.

En muchos casos la ecuación se ve igual\(\lambda /d =\sin \theta /m\) pero con un factor numérico extra lanzado, y con\(d\) interpretada como alguna otra dimensión del objeto, por ejemplo, el diámetro de un trozo de alambre.

12.5.6 Repetición

s/Una hendidura triple.

Supongamos que reemplazamos una doble hendidura por una triple hendidura, s. podemos pensar en esto como una tercera repetición de las estructuras que estaban presentes en la doble hendidura. ¿Será este dispositivo una mejora con respecto a la doble hendidura por alguna razón práctica?

La respuesta es sí, como se puede mostrar usando la figura u. Para facilitar la visualización, he violado nuestra regla habitual de solo considerar puntos muy alejados del objeto difractante. La escala del dibujo es tal que una longitud de onda es de un cm. En u/1, las tres ondas recorren un número entero de longitudes de onda para llegar al mismo punto, por lo que hay un punto central brillante, como esperaríamos de nuestra experiencia con la doble rendija. En la figura u/2, mostramos las longitudes de ruta a un nuevo punto. Este punto está más lejos de la hendidura A en un cuarto de longitud de onda, y correspondientemente más cerca de la hendidura C. La distancia desde la hendidura B apenas ha cambiado en absoluto. Debido a que las longitudes de las trayectorias recorridas desde las rendijas A y C difieren en media longitud de onda, habrá una interferencia destructiva perfecta entre estas dos ondas. Todavía hay cierta intensidad de onda no cancelada debido a la hendidura B, pero la amplitud será tres veces menor que en la figura u/1, resultando en un factor de 9 disminución en el brillo. Así, al movernos un poco hacia la derecha, hemos pasado del máximo central brillante a un punto que es bastante oscuro.

u/1. Hay un máximo central luminoso. 2. En este punto justo al lado del máximo central, las longitudes de camino recorridas por las tres olas han cambiado.

Ahora comparemos con lo que hubiera pasado si la hendidura C hubiera sido cubierta, creando una hendidura doble vieja lisa. Las ondas provenientes de las rendijas A y B habrían estado desfasadas en 0.23 longitudes de onda, pero esto no habría causado interferencias muy severas. El punto en la figura u/2 habría sido bastante iluminado.

Para resumir, hemos encontrado que al agregar una tercera hendidura se estrecha drásticamente la franja central. Lo mismo es cierto para todas las demás franjas también, y dado que la misma cantidad de energía se concentra en franjas de difracción más estrechas, cada franja es más brillante y más fácil de ver, t.

t/Un patrón de difracción de doble rendija (arriba) y un patrón hecho por cinco hendiduras (abajo).

Este es un ejemplo de un hecho más general sobre la difracción: si se repite alguna característica del objeto difractante, las ubicaciones de los máximos y mínimos no cambian, pero se vuelven más estrechas.

Llevando este razonamiento a su conclusión lógica, un objeto difractante con miles de hendiduras produciría franjas extremadamente estrechas. Tal objeto se llama rejilla de difracción.

12.5.7 Difracción de rendija simple

Si usamos solo una sola hendidura, ¿hay difracción? Si la hendidura no es ancha en comparación con una longitud de onda de luz, entonces podemos aproximar su comportamiento usando solo un solo conjunto de ondas de Huygens. No hay otros conjuntos de ondas que añadir a ella, por lo que no hay efectos constructivos o destructivos de interferencia, y no hay máximos o mínimos. El resultado será una onda esférica uniforme de luz que se extiende en todas las direcciones, como lo que esperaríamos de una bombilla diminuta. Podríamos llamar a esto un patrón de difracción, pero es uno completamente sin rasgos distintivos, y no podría ser utilizado, por ejemplo, para determinar la longitud de onda de la luz, como podrían hacerlo otros patrones de difracción.

Todo esto, sin embargo, supone que la hendidura es estrecha en comparación con una longitud de onda de luz. Si, por otro lado, la hendidura es más amplia, efectivamente habrá interferencia entre los conjuntos de ondas que se extienden desde diversos puntos a lo largo de la abertura. La figura v muestra un ejemplo con ondas de agua, y la figura w con luz.

v/Difracción de una sola rendija de ondas de agua.

w/Difracción de una sola hendidura de luz roja. Tenga en cuenta el doble ancho del máximo central.

x/Una simulación bastante buena del patrón de una sola hendidura de la figura v, realizada mediante el uso de tres motores para producir ondas superpuestas a partir de tres puntos vecinos en el agua.

autocomprobación:

¿Cómo se compara la longitud de onda de las ondas con el ancho de la hendidura en la figura v?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

No entraremos en los detalles del análisis de la difracción de una sola hendidura, sino veamos cómo sus propiedades pueden relacionarse con las cosas generales que hemos aprendido sobre la difracción. Sabemos con base en argumentos de escalado que los tamaños angulares de las características en el patrón de difracción deben estar relacionados con la longitud de onda y el ancho\(a\),, de la hendidura por alguna relación de la forma

\[\begin{equation*} \frac{\lambda}{a} \leftrightarrow \theta . \end{equation*}\]

Esto es cierto, y por ejemplo el ángulo entre el máximo de la franja central y el máximo de la franja siguiente en un lado es igual\(1.5\lambda/a\). Los argumentos de escalado nunca producirán factores como el 1.5, pero nos dicen que la respuesta debe involucrar\(\lambda /a\), por lo que todos los hechos cualitativos familiares son ciertos. Por ejemplo, la luz de longitud de onda más corta producirá un patrón de difracción más estrechamente espaciado.

y/Una imagen del cúmulo estelar de las Pléyades. Los anillos circulares alrededor de las estrellas brillantes se deben a la difracción de una sola hendidura en la boca del tubo del telescopio.

Un importante ejemplo científico de difracción de hendidura simple es en telescopios. Las imágenes de estrellas individuales, como en la figura y, son una buena manera de examinar los efectos de difracción, porque todas las estrellas excepto el sol están tan lejos que ningún telescopio, incluso con el aumento más alto, puede obtener imágenes de sus discos o rasgos superficiales. Por lo tanto, cualquier característica de la imagen de una estrella debe deberse puramente a efectos ópticos como la difracción. Una cruz prominente aparece alrededor de la estrella más brillante, y otras más tenues rodean las estrellas más tenues. Algo así se ve en la mayoría de las fotos del telescopio, e indica que dentro del tubo del telescopio había dos puntales o soportes perpendiculares. La luz se difractó alrededor de estos puntales. Se podría pensar que la difracción podría eliminarse por completo eliminando todas las obstrucciones en el tubo, ¡pero los círculos alrededor de las estrellas son efectos de difracción que surgen de la difracción de una sola hendidura en la boca del tubo del telescopio! (En realidad ni siquiera hemos hablado de difracción a través de una abertura circular, pero la idea es la misma.) Dado que los tamaños angulares de las imágenes difractadas dependen de\(\lambda \) /a, la única manera de mejorar la resolución de las imágenes es aumentar el diámetro\(a\),, del tubo. Esta es una de las principales razones (además del poder de captación de luz) por las que los mejores telescopios deben ser de diámetro muy grande.

z/Un radiotelescopio.

autocomprobación:

¿Qué implicaría esto de los radiotelescopios en comparación con los telescopios de luz visible?

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

La difracción de doble rendija es más fácil de entender conceptualmente que la difracción de hendidura simple, pero si haces un experimento de difracción de doble rendija en la vida real, es probable que encuentres un patrón complicado como la figura aa/1, en lugar del más simple, 2, que estabas esperando. Esto se debe a que las hendiduras son bastante grandes en comparación con la longitud de onda de la luz que se está utilizando. Realmente tenemos dos distancias diferentes en nuestro par de hendiduras:\(d\), la distancia entre las hendiduras, y\(w\), el ancho de cada hendidura. Recuerde que las distancias más pequeñas sobre el objeto en el que la luz se difracta alrededor corresponden a características más grandes del patrón de difracción. El patrón 1 tiene así dos espaciamientos en él: un espaciado corto correspondiente a la gran distancia\(d\), y un espaciado largo que se relaciona con la pequeña dimensión\(w\).

aa/1. Un patrón de difracción formado por una doble rendija real. El ancho de cada hendidura es bastante grande en comparación con la longitud de onda de la luz. Esta es una foto real. 2. Este patrón idealizado no es probable que ocurra en la vida real. Para conseguirlo, necesitarías que cada hendidura fuera tan estrecha que su ancho fuera comparable a la longitud de onda de la luz, pero eso no suele ser posible. Esta no es una foto real. 3. Una foto real de un patrón de difracción de una sola hendidura causado por una hendidura cuyo ancho es el mismo que el ancho de las ranuras utilizadas para hacer el patrón superior.

Pregunta de Discusión

◊ ¿Por qué es ópticamente imposible que las bacterias evolucionen ojos que utilizan la luz visible para formar imágenes?

El principio de menor tiempo

En las subsecciones 12.1.5 y 12.4.5, vimos cómo en el modelo de rayos de luz, tanto la refracción como la reflexión pueden describirse de manera elegante y hermosa por un solo principio, el principio del menor tiempo. Ahora podemos justificar el principio de menor tiempo basado en el modelo de onda de la luz. Consideremos un ejemplo que involucra la reflexión, ab. A partir del punto A, el principio de Huygens para las olas nos dice que podemos pensar que la ola se extiende en todas las direcciones. Supongamos que imaginamos todas las formas posibles por las que un rayo podría recorrer de A a B. Esto lo mostramos dibujando 25 caminos posibles, de los cuales el central es el más corto. Dado que el principio de menor tiempo conecta el modelo de onda con el modelo de rayos, debemos esperar obtener los resultados más precisos cuando la longitud de onda es mucho más corta que las distancias involucradas, por el bien de este ejemplo numérico, digamos que una longitud de onda es 1/10 del camino reflejado más corto de A a B. La tabla, 2, muestra las distancias recorridas por los 25 rayos.

Obsérvese cuán similares son las distancias recorridas por el grupo de 7 rayos, indicados con un soporte, que se acercan más a obedecer el principio de menor tiempo. Si pensamos en cada uno como una onda, entonces los 7 vuelven a estar casi en fase en el punto B. Sin embargo, los rayos que están más lejos de satisfacer el principio del menor tiempo muestran distancias que cambian más rápidamente; al reunirse en el punto B, sus fases son un revoltijo aleatorio, y casi se cancelarán entre sí. Así, casi ninguna de la energía de las olas entregada al punto B va por estos caminos más largos. Físicamente encontramos, por ejemplo, que un pulso de onda emitido en A se observa en B después de un intervalo de tiempo que corresponde muy cerca al trayecto más corto posible, y el pulso no está muy “manchado” cuando llega allí. Cuanto más corta es la longitud de onda en comparación con las dimensiones de la figura, más precisas se vuelven estas declaraciones aproximadas.

ab/La luz podría tomar muchos caminos diferentes de la A a la B.

En lugar de dibujar un número finito de rayos, como 25, ¿qué sucede si pensamos en el ángulo\(\theta \),, de emisión del rayo como una variable continuamente variable? Minimizar la distancia\(L\) requiere

\[\begin{equation*} \frac{dL}{d\theta} = 0 . \end{equation*}\]

Debido a que\(L\) está cambiando lentamente en las proximidades del ángulo que satisface el principio de menor tiempo, todos los rayos que salen cerca de este ángulo tienen casi lo mismo\(L\), y permanecen muy casi en fase cuando llegan a B. Esta es la razón básica por la que resultó la mesa discreta, ab/2, tener un grupo de rayos que recorrieran casi la misma distancia.

Como se discute en la subsección 12.1.5, el principio de menor tiempo es realmente un principio de menor o mayor tiempo. Esto tiene perfecto sentido, ya que en general\(dL/d \theta =0\) puede describir ya sea un mínimo o un máximo

El principio de menor tiempo es muy general. No se aplica solo a la refracción y reflexión, ¡incluso se puede usar para demostrar que los rayos de luz viajan en línea recta a través del espacio vacío, sin tomar desvíos! Este enfoque general del movimiento de las olas fue utilizado por Richard Feynman, uno de los pioneros que en la década de 1950 reconcilió la mecánica cuántica con la relatividad. Una explicación muy legible se da en un libro que Feynman escribió para laicos, QED: La extraña teoría de la luz y la materia.

Colaboradores y Atribuciones

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