6.2: Invarianza de Lorentz y Multiplicación Bilateral
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Para matrices hermitianas:\(K^{\dagger}=K, \bar{K}=\tilde{K}\) y lo mismo para R. ¿Por qué multiplicación bilateral? Para eliminar los factores no físicos indicados como
O bien, en forma de\(4 \times 4\) matriz:
\ [\ left (\ begin {array} {c}
k_ {1} ^ {\ prime}\\
k_ {2} ^ {\ prime}\
k_ {3} ^ {\ prime}\\
k_ {0} ^ {\ prime}
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cccc}
\ cos\ phi & -\ sin\ phi & 0 & 0\\
\ sin\ phi &\ cos\ phi & 0 & 0\\\
0 &\ cosh\ mu &\ sinh\ mu\\
0 & 0 &\ sinh\ mu &\ cosh\ mu
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l} k_ {1}\
k_ {2}\\
k_ {3}\
k_ {3}\
k_ {0}
\ end {matriz}\ derecha)\ etiqueta {1}\]
Rotación circular alrededor del eje z por\(\phi\) y rotación hiperbólica a lo largo del mismo asix por el ángulo ehiperbólico\(\mu\): Lorentz de cuatro tornillos:\(\mathcal{L}(\phi, \hat{z}, \mu)\). Estas transformaciones forman un grupo abeliano.
En el álgebra de Pauli se mantiene la simplicidad formal de estas relaciones incluso para direcciones axiales arbitrarias. Sin duda, obtener resultados explícitos de los productos bilaterales puede resultar engorroso. Sin embargo, los resultados vectoriales estándar se pueden extraer fácilmente.