6.4: Sobre el nosotros de las involuciones
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
La existencia de las tres involuciones (ver Ecuaciones A.1.1 anteriores), proporciona una gran flexibilización. Sin embargo, el uso más eficiente de estos conceptos requiere cierta atención.
Para cualquier matriz de\(\mathcal{A}_{2}\),
\[A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{|A|} \quad|A|=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(A \tilde{A})\label{1}\]
En el caso de las matrices hermitianas tenemos dos alternativas:
\[k_{0} r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r}=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(K \tilde{R})\label{2}\]
o
\[k_{0} r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r}=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(K \bar{R})\label{3}\]
Parecerá, sin embargo de discusiones posteriores, que la compleja reflexión de la Ecuación\ ref {3} es más apropiada para describir la transición de entidades contravariantes a covariantes.
Un ejemplo de ello es la representación formal del reflejo de un cuatro vectores en un plano con lo normal a lo largo\(\hat{x}_{1}\). Tenemos
\ [\ begin {ecuación}
\ begin {alineado}
K^ {\ prime} &=\ sigma_ {1}\ bar {K}\ sigma_ {1} =\ sigma_ {1}\ left (k_ {0} 1-k_ {1}\ sigma_ {1} -k_ {2}\ sigma_ {2} -k_ {3}\ sigma_ {3}\ derecha)\ sigma_ {1}\\
&=\ sigma_ {1} ^ {2}\ izquierda (k_ {0} 1-k_ {1}\ sigma_ {1} +k_ {2}\ sigma_ {2} +k_ {3}\ sigma_ {3}\ sigma_ {3}\ derecha) \\
&=k_ {0} 1-k_ {1}\ sigma_ {1} +k_ {2}\ sigma_ {2} +k_ {3}\ sigma_ {3}
\ final {alineado}
\ final {ecuación}\ etiqueta {4}\]
De manera más general, la especular en un plano con x normal se logra por medio de la operación
\[K^{\prime}=\hat{a} \cdot \vec{\sigma} \bar{K} \hat{a} \cdot \vec{\sigma}\label{5}\]
De nuevo, podríamos haber elegido\(\tilde{K} \text { instead of } \bar{K}\).
Sin embargo, la Eq (22) generaliza a la inversión del seis vector electromagnético\(\vec{f}=\vec{E}+i \vec{B}\):
\[\left(\vec{E}^{\prime}+i \vec{B}^{\prime}\right) \cdot \vec{\sigma}=\overline{(\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}}=(-\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}\label{6}\]
Esta relación toma en cuenta el hecho de que\(\vec{E}\) es un vector polar y\(\vec{B}\) uno axial.