1.2: Contracción de Longitud
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Si el intervalo de tiempo entre dos eventos depende del movimiento relativo del observador, Einstein se dio cuenta de que la separación espacial entre los eventos también debe ser dependiente del observador. Considera un hipotético viaje en nave espacial desde la tierra hasta una estrella distante. Supongamos que la estrella está a una\(L_o\) distancia de la tierra, medida por observadores estacionarios con destino a la tierra. Por lo tanto, el tiempo transcurrido para que la nave espacial alcance la estrella, medido en la tierra, es
\[\Delta t = \dfrac{L_o}{v}\]
donde\(v\) se mide la velocidad de la nave espacial en la tierra.
Por dilatación temporal, sin embargo, el tiempo transcurrido para que la nave espacial alcance la estrella, medido en la nave espacial (un tiempo adecuado), es
\[ \begin{align} \Delta t_o &= \dfrac{\Delta t}{\gamma} \\[5pt] &= \dfrac{L_o}{v \gamma} \end{align}\]
La distancia que recorre la nave espacial (\(L\)), medida en la nave espacial, es simplemente el producto de su velocidad y del tiempo transcurrido medido en la nave
\[ \begin{align} L &= v \Delta t_o \\[5pt] &= v \left( \dfrac{L_o}{v \gamma} \right) \\[5pt] &= \dfrac{L_o}{\gamma} \end{align}\]
Dado que gamma es mayor que uno, la distancia entre la tierra y la estrella medida en la nave es menor que la distancia medida en la tierra. Para los observadores en movimiento, la distancia a la estrella se reduce.
Uso de la contracción de longitud
La estrella Vega está aproximadamente a 25 años luz de la Tierra (medida por observadores en la Tierra).
- ¿Qué tan rápido debe viajar una nave espacial para llegar a Vega en 30 años, medido en la Tierra?
- ¿Qué tan rápido debe viajar una nave espacial para llegar a Vega en 30 años, medido en la nave espacial?
La distancia entre dos eventos, por ejemplo salir de la Tierra y llegar a Vega, depende de quien realice las mediciones. Dentro de cualquier sistema de referencia particular, los resultados familiares de la física clásica son válidos. Sin embargo, al comparar resultados entre observadores en diferentes sistemas de referencia, se necesita un método para relacionar las mediciones de un observador con otro.
La fórmula para la contracción de longitud es
donde
L0 la longitud adecuada, la distancia entre dos eventos en el marco de referencia en el que ambos eventos están en reposo,
y L es la distancia entre los mismos dos eventos en un marco diferente, moviéndose a velocidad relativa v.
Por la parte a, la teoría de la relatividad es innecesaria. Tanto las medidas de distancia como de tiempo se realizan desde el mismo marco de referencia. Por lo tanto, los resultados de la física clásica son válidos.
(Obsérvese el uso de la velocidad de la luz como unidad. En lugar de sustituir 3.0 x 108 m/s por c, simplemente deje c como una unidad de velocidad.)
Para la parte b, la distancia se mide en el marco de la Tierra mientras que el tiempo está en el marco de la nave espacial. Para resolver la parte b, debes convertir la distancia en el marco de la nave espacial o el tiempo en el marco de la Tierra. Se puede convertir la distancia en el marco de la nave espacial al darse cuenta de que la distancia a Vega medida en la Tierra es una longitud adecuada. Por lo tanto,