1.3: Transformación de Lorentz
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Las relaciones de dilatación de tiempo y contracción de longitud en realidad tienen una aplicabilidad muy limitada. Para utilizar la relación de dilatación temporal, uno de los dos observadores debe medir un tiempo adecuado, donde los dos eventos ocurren exactamente en el mismo punto espacial. Para utilizar la relación de contracción de longitud, uno de los dos observadores debe medir una longitud adecuada, donde los dos eventos deben estar en reposo con respecto al observador. ¿Qué pasa si quieres comparar medidas concernientes a eventos más generales? Para ello se requiere la Transformación Lorentz, que permite transformar las coordenadas espacio-tiempo de un evento en un sistema de referencia inercial a cualquier otro sistema de referencia inercial.
Para derivar la transformación de Lorentz, imagine dos sistemas de referencia inerciales, etiquetados\(O\) and \(O’\). Let the origins of \(O\) and \(O’\) overlap at time zero, and allow \(O’\) to move with speed \(u\) relative to \(O\). (Therefore, at a later time \(t\), the origins are separated by a distance \(ut\)). Call the direction of motion the x-direction.
Figura\(\PageIndex{1}\):
Ahora imagina un evento que ocurre en algún lugar del espacio-tiempo. Este evento se encuentra en la posición\(x\) relative to the \(O\) system, and position \(x’\) relative to the \(O’\) system. How are these two locations related?
Puede que tengas la tentación de afirmar que
\[x = x' + ut\]
sin embargo, esto no puede ser correcto porque\(x\) and \(x’\) are measured in different reference systems. However, imagine that the event is the tip of a meterstick, fixed in O’, striking some object. Since \(x’\) is now a proper length in \(O’\), it will appear contacted in \(O\) by the gamma factor. Therefore, the correct relationship between \(x\) and \(x’\) is
\[ x = \dfrac{x'}{\gamma} + ut\]
reorganizar los rendimientos
\[ x' = \gamma (x-ut)\]
Dado que no hay movimiento relativo en el\(y\) and \(z\) directions, these positions are the same in both coordinate systems
\[ y' = y\]
\[ z' = z\]
Esto completa la parte espacial de la transformación de Lorentz, pero ¿y la parte temporal? Para determinar cómo\(t\) and \(t’\) are related, now imagine that the event under investigation is the result of a light pulse, emitted from the origin when the two origins overlapped at time zero, striking some detector. Since the speed of light is the same in both systems, the distance measured in each system must be equal to the product of \(c\) and the elapsed time
\[ x' = \gamma (x-ut)\]
\[ ct' = \gamma \left(ct - u \dfrac{x}{c} \right)\]
\[ t' = \gamma \left( t - u \dfrac{x}{c^2} \right)\]
Usando la Transformación Lorentz
Dentro de una nave espacial haciendo zoom más allá de la tierra\(0.5c\), disparo un láser (en la misma dirección que el movimiento de la nave) y dejo que golpee un espejo 10 m frente al láser.
- ¿Cuál es el tiempo transcurrido medido en la tierra entre encender el láser y la luz que golpea el espejo?
- ¿Hasta dónde ha viajado la luz antes de chocar contra el espejo, medida en la tierra?
Dado que ni los observadores terrestres ni los observadores de la nave miden un tiempo adecuado o una longitud adecuada entre los dos eventos (encender el láser y el láser golpeando el espejo), se necesita un método más general para relacionar las mediciones de diferentes observadores. Este método general de relacionar mediciones es la Transformación de Lorentz. La Transformación Lorentz relaciona las coordenadas de un evento espacio-tiempo,\((x, y, z, t)\), measured in one frame to the coordinates of the same event in a frame moving with relative velocity \(u\), \((x’, y’, z’, t’)\) as follows:
\[ x' = \gamma (x-ut) \nonumber \]
\[ y' = y \nonumber\]
\[ z' = z \nonumber\]
\[ t' = \gamma \left( t - \dfrac{ux}{c^2} \right) \nonumber\]
Estas ecuaciones están escritas en una forma que permite fácilmente la determinación de las coordenadas cebadas a partir de las no cebadas. Si la situación requiere la inversa de esta tarea, las ecuaciones pueden invertirse fácilmente (cambiando el signo de u y volteando la notación cebada y no imprimada) para rendir
\[ x = \gamma (x'-ut') \]
\[ y = y' \]
\[ z = z' \]
\[ t = \gamma \left( t' - \dfrac{ux'}{c^2} \right) \]
Deje que los dos sistemas de coordenadas se superpongan en el primer evento (se dispara el láser). Así, la posición y el tiempo de disparo del láser es cero en ambos sistemas de coordenadas. Ahora debemos encontrar la posición y hora del segundo evento (el láser golpea el espejo). Esto es relativamente fácil de determinar en el marco de la nave espacial (el marco cebado):
\[x' = 10\,m\]
\[ t' = \dfrac{10\,m}{c} \approx 3.33 \times 10^{-8} s\]
Dado que conocemos la ubicación espacio-tiempo del evento en el marco cebado, la Transformación de Lorentz nos permite transformar esta información en el marco de la tierra. Con\(u = 0.5c\) (\(\gamma=1.155\)),
\[ \begin{align} t &= \gamma \left(t' + \dfrac{ux'}{c^2} \right) \\[5pt] &= 1.155 \left( \left(\dfrac{10}{c} \right) + \dfrac{(0.5c)(10)}{c^2} \right) \\[5pt] &= \dfrac{17.3\,m}{c} = 5.7 \times 10^{-8} s \end{align}\]
y para la dirección x
\[\begin{align} x &= \gamma (x' + ut') \\[5pt] &= 1.155 \left(10 + (0.5c) \left(\dfrac{10}{c} \right) \right) \\[5pt] &= 17.3 \,m\end{align}\]
La luz viaja\(17.3\, m\) and take s\(5.78 \times 10^{-8}\, s\) para golpear el espejo en el marco de la tierra.