1.6: Viajes interestelares — Temas cinemáticos (Proyecto)
- Page ID
- 126062
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Imagina que te gustaría visitar Vega, una estrella cercana a aproximadamente 25 años luz de la tierra, para luego regresar a la tierra para contárselo a tus amigos. A primera vista, parecería que la Teoría Especial de la Relatividad requiere que este sea un viaje muy largo. Dado que ningún objeto material puede viajar más rápido que la luz, parecería requerir más de 50 años para hacer el viaje de ida y vuelta. ¡Entonces recuerdas la dilatación del tiempo! Si viajaste lo suficientemente rápido, podrías hacer el viaje de ida y vuelta en mucho menos de 50 años (por supuesto, tus pobres amigos aún habrían envejecido 50+ años). No obstante, como verás en esta y en una siguiente investigación, otros problemas potencialmente abrumadores pueden hacer que tu viaje a Vega sea increíblemente improbable.
I. Consideraciones cinemáticas
A. Vega en un año, en marco de nave espacial
Supongamos que te gustaría poder llegar a Vega en un año, según se mide en tu reloj.
1. Ignorando las aceleraciones al inicio y al final de tu viaje, ¿qué tan rápido debes viajar (en unidades de c) para llegar a Vega (25 c año de la tierra) en 1.0 año?
B. Tiempo necesario para acelerar, en marco de nave espacial
En la parte A, descuidamos el tiempo que tomaría alcanzar la velocidad de crucero. Esto podría ser una preocupación importante. El cuerpo humano no puede soportar periodos prolongados de aceleración mayores a 9.8 m/s2, o 1 g Imagina la sensación de montar una montaña rusa alrededor de una curva pronunciada. Esto es aproximadamente una aceleración de 2g. ¿Podrías soportar esa sensación durante los días, semanas o meses requeridos para alcanzar una velocidad muy alta? Una aceleración de 2g es como una persona de 150 lb caminando todo el día y la noche cargando a otra persona de 150 lb en la espalda. Esto no se puede tolerar por mucho tiempo, por lo que limitaremos nuestra aceleración a 1 g.
1. Con una aceleración de 1 g, medida en la nave espacial, ¿cuánto tiempo tardará (en días medidos en la nave) alcanzar la velocidad de crucero calculada en A?
Debió haber descubierto que tardaría aproximadamente un año solo en alcanzar la velocidad de crucero. ¡Tanto por la idea de llegar a Vega en un año! ¡Acabas de alcanzar la velocidad de crucero! Y no olvides que necesitarías un año adicional solo para bajar la velocidad y aterrizar o incluso dar la vuelta.
C. Distancia necesaria para acelerar, en marco de nave espacial A
pesar de que tarda casi un año en acelerar a velocidad de crucero, estarías cubriendo algunos de los 25 c año a Vega.
1. Calcula la distancia recorrida, en años luz en el marco de la nave espacial, mientras la nave espacial está acelerando.
La respuesta anterior sería la lectura del odómetro en la nave espacial cuando ha alcanzado la velocidad de crucero. Sin embargo, no está claro cuál es la distancia total a Vega en este marco, porque la distancia se está contrayendo continuamente por diferentes cantidades a medida que la nave espacial acelera.
Por lo tanto, un número más útil sería la distancia recorrida por la nave espacial en el marco de la Tierra. Este número podría entonces ser comparado con el 25 c año a Vega.
D. Distancia necesaria para acelerar, en el marco de la Tierra
Este cálculo es mucho más difícil que los anteriores. Si el barco viajó a velocidad constante, la distancia recorrida en el marco de la tierra es proporcional a la distancia recorrida en el marco de la nave:
dearth = dship
Sin embargo, cambia a medida que la nave acelera. Para manejar un cambio, tendremos que realizar una integral sobre el viaje del barco.
Primero, la distancia recorrida por el barco, en el marco del barco, puede escribirse:
Tenga en cuenta que si evaluara esta integral, obtendría el resultado familiar por la distancia recorrida desde el descanso. La observación clave es que la distancia recorrida medida en la tierra sigue siendo simplemente producto de y la distancia recorrida por la nave, solo recordando que como no es constante, está dentro de la integral.
Insertar el término “a (1/a)” en la integral.
Tenga en cuenta que “a” se puede escribir “dv/dt”.
Dado que la aceleración de la nave se asume constante, “(1/a)” puede salir de la integral, y señalar que los dt “cancelan”.
1. Evaluar la integral, desde el reposo hasta la velocidad final vc. Simplifique el resultado pero aún no conecte los valores numéricos.
2. Utilizando la velocidad de crucero determinada en A, calcula la distancia en años luz que la nave espacial recorre mientras acelera, en el marco de la tierra.
Debió haber encontrado que la nave ha viajado menos de un año luz durante la aceleración, y por supuesto, necesitaría comenzar a disminuir la velocidad de un año luz, según se mide en la tierra, antes de llegar a Vega.
E. Tiempo total de viaje, en marco de nave espacial
El tiempo total para viajar a Vega incluye el tiempo necesario para acelerar, el tiempo necesario para desacelerar y el tiempo necesario para recorrer a velocidad constante entre estas dos partes del viaje.
1. Calcular el tiempo total de viaje, en años en el marco de la nave espacial, a Vega.
2. Para resumir este proceso en el marco de la nave espacial, complete la siguiente tabla de movimientos:
¡
Blast-off del Marco del Barco!
t1 = 0 año
r1* = 0 c-año
v1* = 0 c
a12 = Alcanza la velocidad de crucero
t2 =
r2 =
v2 =
a23 = Comienza a ralentizar
t3 =
r3 =
v3 =
a34 = Llega a Vega
t4 =
r4 =
v4 =
* Por supuesto, la posición (r) y la velocidad (v) de la nave en el marco del barco son siempre cero. Utilice estas filas para tabular la lectura del odómetro del barco y la velocidad con la que Vega se acerca al barco.
F. Tiempo total de viaje, en el marco de la Tierra
Así como necesitábamos hacer una integral para encontrar la distancia de aceleración en el marco terrestre (ya que la distancia recorrida por la nave se contrae en una cantidad variable), necesitamos hacer una integral para determinar el tiempo de aceleración en el marco de la tierra desde el tiempo se dilata en una cantidad variable.
Si el barco viajó a velocidad constante, el tiempo medido en el marco de la tierra es proporcional al tiempo medido en el marco de la nave:
tearth = tship
Sin embargo, cambia a medida que la nave acelera. Para manejar un cambio, tenemos que realizar una integral sobre el viaje del barco. Así,
Dado que el barco comienza en reposo, v = at, y
1. Evaluar la integral desde el descanso hasta el momento en que se alcanza la velocidad de crucero en el marco del barco, tc.
2. Para resumir este proceso en el marco de la Tierra, complete la siguiente tabla de movimiento:
¡Armazón
de la Tierra!
t1 = 0 año
r1 = 0 c-año
v1 = 0 c
a12 = XXX Alcanza velocidad de crucero
t2 =
r2 =
v2 =
a23 = Comienza a ralentizar
t3 =
r3 =
v3 =
a34 = XXX Llega a Vega
t4 =
r4 =
v4 =