1.7: La paradoja de las cerraduras y las llaves (Proyecto)

Imagine una cerradura en forma de U que se abre solo cuando una llave en forma de T presiona un botón en la parte más profunda de la cerradura, como se ilustra a continuación:

Para evitar que la cerradura se abra fácilmente, la profundidad de la cerradura (\(L_o\), cuando está en reposo) es mayor que la longitud de la llave (K0, cuando está en reposo). Cerrajeros ingenuos que no estén familiarizados con la relatividad especial creerían, por lo tanto, que la cerradura no se puede abrir. Sin embargo, los cerrajeros educados argumentan que si la cerradura está en movimiento, en relación con la llave, la profundidad de la cerradura se encogerá permitiendo que la llave abra la cerradura. Desafortunadamente, otros cerrajeros educados argumentan que en la misma situación, en el marco de referencia de la cerradura, la llave estaría en movimiento, provocando que se encoja, con lo que no se abre la cerradura.

Esta situación es más complicada que la paradoja bastante mundana de la bóveda y el granero (o equivalentemente la paradoja del agricultor y el tractor). En esas situaciones, la “solución” a la paradoja implica comprender que el orden de dos eventos no es el mismo en ambos marcos. En esta situación, realmente no nos importa cuando la tecla presiona el botón (si lo hace), sino si sucede objetivamente o no. Para resolver esta paradoja, tendremos que abordar directamente los límites del tiempo de viaje de información.

I. El Marco de la Cerradura

Que la velocidad relativa entre la cerradura y la llave sea v, correspondiente a un factor Lorentz. Responde las siguientes preguntas en el marco de referencia de la cerradura.

1. Escribe una expresión para la longitud de la clave, K.

Supongamos que cuando la parte trasera de la llave golpea el borde frontal de la cerradura, la parte trasera de la llave se detiene instantáneamente. Si bien cualquier material real se deformaría y llegaría a descansar en un tiempo finito, ninguna ley fundamental de la física limita el valor inferior de este tiempo. No obstante, una ley fundamental de la física implica que el borde frontal de la llave continuará avanzando hasta que se le transmita la información de que el borde trasero ha detenido. El borde delantero no puede detenerse simultáneamente con el borde trasero. ¡La información de que el borde trasero se ha detenido puede transmitirse no más rápido que la velocidad de la luz!

2. Escribe una expresión para T, el tiempo que tarda un mensaje en enviarse desde el borde posterior de la llave hasta su borde frontal. Supongamos que el mensaje se envía a la máxima velocidad, c. (Sugerencia: Tenga en cuenta que la punta de la llave se aleja de esta señal de propagación.)

3. Escribe una expresión para la distancia que recorre la punta (K) después de que se haya detenido la parte trasera.

4. Escribe una expresión para la longitud de la clave cuando la punta frontal finalmente se detenga, K*. Si K* es mayor o igual que la longitud restante del bloqueo, L0, se presionará el botón.

5. Mostrar que K* es mayor que K0. Esto significa que la longitud de la llave es mayor que su longitud adecuada cuando finalmente deja de moverse. Por lo tanto, durante el proceso de detención, ¡la llave sobrepasará su longitud adecuada antes de volver a asentarse a su longitud adecuada!

II. El Marco Clave

Responde las siguientes preguntas en el marco de referencia de la clave.

1. Escribe una expresión para la profundidad de la cerradura, L.

De nuevo supongamos que cuando la parte frontal de la cerradura golpea la parte trasera de la llave, la parte frontal de la cerradura se detiene instantáneamente. Sin embargo, la parte trasera de la cerradura (y de ahí el botón) continuará avanzando hasta que se le transmita la información de que el borde frontal se ha detenido.

2. Escribe una expresión para T, el tiempo que tarda un mensaje en enviarse desde el borde frontal de la cerradura hasta la ubicación del botón. Supongamos que el mensaje se envía a la máxima velocidad, c. (Sugerencia: Tenga en cuenta que el botón se está moviendo hacia esta señal de propagación.)

3. Escribe una expresión para la distancia que recorre el botón (L) después de que se haya detenido la parte trasera.

4. Escribe una expresión para la profundidad de la cerradura cuando el botón finalmente se detiene, L*. Si L* es menor o igual a la longitud restante de la tecla, K0, se presionará el botón.

5. Mostrar que L* es menor que L. Esto significa que la profundidad de la cerradura es menor que su longitud contraída Lorentz cuando finalmente deja de moverse. Por lo tanto, durante el proceso de detención, ¡la cerradura se sobrecontraerá antes de volver a expandirse de nuevo a su longitud adecuada!

III. ¿Resultados consistentes?

1. Mostrar que la condición necesaria para activar el botón en el marco de la cerradura (K* = L0, de I. 4.) es exactamente la misma que la condición necesaria para activar el botón en el marco de la llave (L* = K0, de II. 4.)

IV. Un ejemplo numérico

Dejar L0 = 0.10 m, K0 = 0.09 m, y v = 0.5 c.

1. Ignorando la sobrecontracción de la cerradura, muestra que en el marco de la llave se pulsa el botón.

2. Ignorando la sobreexpansión de la llave, muestra que en el marco de la cerradura no se golpearía el botón.

3. Incluyendo la sobreexpansión de la llave, ¿cuánto tiempo dura la llave cuando finalmente se detiene? ¿Esto es suficiente para contactar con el botón?