3.2: Sistema métrico Schwarzchild

En la Relatividad General, la métrica Minkowski del espacio plano no se puede utilizar para describir el espacio-tiempo. De hecho, la métrica depende (de manera muy complicada) de la distribución exacta de la masa y la energía en sus proximidades. Para una distribución perfectamente esférica de masa y energía, la métrica es

\[ (ds)^2 = \left( 1 - \dfrac{2GM}{c^2r} \right) (c\,dt)^2 - \dfrac{(dr)^2}{\left(1- \dfrac{2GM}{c^2r}\right)} - r^2 (d\phi)^2\]

Esta métrica se conoce como la métrica Schwarzchild, y describe la forma del espacio cerca de una masa esférica como (aproximadamente) la tierra o el sol, así como el espacio que rodea un agujero negro. Hay una serie de puntos sutiles que debes entender para usar esta métrica.

1. Esta es la métrica para una porción de espacio-tiempo que contiene el centro de masa. Dado que la masa es esférica, todos los cortes que atraviesan el centro de masa son idénticos. La métrica se expresa en coordenadas polares, (\(r\),\(\phi\)), con el centro de masa en el origen.
2. Observe que el componente tangencial de la métrica no cambia con respecto a la métrica Minkowski, lo que significa que no hay deformación en esa dirección. Sin embargo, tanto la porción temporal como la radial se deforman por constantes multiplicativas, por lo que las longitudes radiales y los intervalos de tiempo son diferentes en diferentes ubicaciones del espacio.
3. Observe que a medida que\(M\) va a cero, o\(r\) se vuelve muy grande, la métrica se acerca a la métrica Minkowski (espacio plano).
4. \(t\)es el tiempo de espacio plano, el tiempo medido en relojes muy alejados de la masa central, donde se supone que el espacio-tiempo es plano.
5. \(r\)es la circunferencia reducida. Hay varias formas de medir la distancia desde un objeto, como viajar físicamente hacia el objeto o hacer rebotar una señal en el objeto. Si tratabas de medir tu distancia desde un agujero negro de cualquiera de estas maneras, lo pasarías muy mal, porque ni tú (o tu señal) nunca volverías. Por lo tanto, necesitamos un método diferente para determinar la distancia radial. Para ello, nos imaginaremos envolviendo una cinta métrica alrededor del agujero negro, midiendo su circunferencia, y luego dividiendo la circunferencia por\(2\pi\). El número resultante se denomina circunferencia reducida y, en el espacio plano, en realidad equivaldría al valor de nuestra distancia radial. (No igualará la distancia radial “real” del agujero negro porque la distancia radial “real” es indefinida (¡e indefinible!).)
6. Observe que la métrica diverge (se vuelve infinita) en\(r_{horizon} = 2GM/c^2\). Por lo tanto, un solo paso radial en esta ubicación es infinitamente largo (¡y parece que una sola garrapata de reloj no tiene duración)! Este “radio” (en realidad circunferencia reducida pero vamos a ser descuidados y llamarlo radio a partir de ahora) se denomina radio Schwarzchild y forma el horizonte de eventos del agujero negro. En, o dentro de, este radio, los eventos están “más allá del horizonte”, lo que significa que son invisibles e imprevisibles desde radios mayores que el radio de Schwarzchild. Básicamente, una vez que pasas por el horizonte, ya no estás en contacto con el resto del universo. Siempre.

Uso de la Métrica Schwarzchild: Tiempo

¿Qué tan cerca de un agujero negro de 5 masas solares puedes acercarte antes de que el reloj de tu nave espacial difiera del tiempo medido en espacio-tiempo plano en no más del 1%?

Independientemente de dónde se encuentre en el espacio, si realiza sus mediciones sobre una región lo suficientemente pequeña de espacio-tiempo esa región del espacio-tiempo aparecerá localmente plana, al igual que una línea tangente recta se puede dibujar en cualquier punto de una curva suave. Por lo tanto, las mediciones de la nave se realizan utilizando una métrica estándar de Minkowski, mientras que el observador lejano debe usar la métrica Schwarzchild ya que el reloj de la nave espacial está lejos de su ubicación.

\[ (ds)^2_{ship} =(ds)^2_{far\,away}\]

\[ \underbrace{(c\,dt )^2 -\left( (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^3 \right)}_{\text{Minkowski metric}} = \underbrace{\left( 1 - \dfrac{2GM}{c^2r} \right) (c\,dt)^2 - \dfrac{(dr)^2}{\left(1- \dfrac{2GM}{c^2r}\right)} - r^2 (d\phi)^2}_{\text{Schwarzchild metric}}\]

Asumiremos que tu nave espacial está en reposo, en ambos marcos de referencia, así\(dx = dy = dz = dr = 0\) y\(d \phi = 0\).

\[ (c \,dt_{ship})^2 = \left( 1 - \dfrac{2GM}{c^2r} \right) (c\,dt_{far\,away})^2\]

\[ dt_{ship} = \sqrt{ 1 - \dfrac{2GM}{c^2r} } dt_{far\,away} \label{time}\]

La ecuación\ ref {time} juega un papel similar en la relatividad general que juega la relación de dilatación del tiempo en la relatividad especial. Se relaciona el intervalo de tiempo medido por un observador “especial” (uno en reposo en el espacio curvo) con las mediciones de tiempo de otro observador. Matemáticamente, incluso tiene una estructura similar, con el término “\(2GM/r\)” jugando el papel de “\(v^2\)” en la fórmula de dilatación del tiempo.

Continuando con la pregunta:

\[ \begin{align} \dfrac{dt_{ship}}{dt_{far\,away}} &= \sqrt{ 1 - \dfrac{2GM}{c^2r} } \\[5pt] (0.99)^2 &= 1 - \dfrac{(2)(6.67 \times 10^{-11})(10 \times 10^{30})}{(3.0 \times 10^{8})^2 r} \\[5pt] 0.9801 &= 1 - \dfrac{14,800}{r} \\[5pt] r &= 744,000\,m=744 \,km \end{align}\]

Dado que el horizonte de eventos está en

\[r_{horizon} = \dfrac{2GM}{c^2} = 15\, km\]

estás a unos 50 horizontes de eventos lejos del agujero negro.

Uso del sistema métrico Schwarzchild: Longitud

Dos astronautas están creando un campo de fútbol (métrico) cerca de un agujero negro de 10 masas solares. La circunferencia reducida entre los dos astronautas es de 100 m, y los astronautas se encuentran a lo largo de la misma línea radial. ¿Cuál es la separación radial entre los astronautas medida por el astronauta interno, si el astronauta interior está al doble del horizonte de eventos?

De nuevo, asumiremos que el espacio-tiempo que rodea inmediatamente al astronauta interno es localmente plano, lo que permite que el astronauta use la métrica Minkowski. Dado que la separación entre los astronautas se expresa en términos de circunferencia reducida, esto puede incorporarse a la métrica Schwarzchild. Así,

\[ \begin{align} (ds)^2_{inner\, astronaut} &=(ds)^2_{outer\, astronaut} \\[5pt] \underbrace{(c\,dt )^2 -\left( (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^3 \right)}_{\text{Minkowski metric}} &= \underbrace{\left( 1 - \dfrac{2GM}{c^2r} \right) (c\,dt)^2 - \dfrac{(dr)^2}{\left(1- \dfrac{2GM}{c^2r}\right)} - r^2 (d\phi)^2}_{\text{Schwarzchild metric}} \end{align}\]

Para medir la distancia entre dos puntos, se debe determinar la ubicación de los dos puntos al mismo tiempo, así que\(dt = 0\) en ambos sistemas de referencia. Adicionalmente, dado que los puntos se encuentran a lo largo de la misma línea radial,\(d \phi = 0\). Llamar a esta línea el eje x nos permite establecer\(dy = dz = 0\). Así,

\[ \begin{align} -(dx)^2 &= - \dfrac{(dr)^2}{\left(1- \dfrac{2GM}{c^2r}\right)} \\[5pt] dx &= \dfrac{dr}{ \sqrt { 1- \dfrac{2GM}{c^2r}}} \label{length} \end{align}\]

La ecuación\ ref {length} juega un papel similar en la relatividad general que juega la relación de contracción de longitud en la relatividad especial. Se relaciona el intervalo espacial medido por un observador “especial” (uno en reposo en el espacio curvo) con las mediciones espaciales de otro observador. Matemáticamente, incluso tiene una estructura similar, con el término “\(2GM/r\)” jugando el papel de “\(v^2\)” en la fórmula de contracción de longitud.

Sustituyendo\(r = 2r_{horizon} = 4GM/c^2\) y\(dr = 100 \,m\) en Ecuación\ ref {length} rendimientos

\[ \begin{align} dx_{astronout} &= \dfrac{100\,m}{ \sqrt { 1- \dfrac{1}{2}}} \\[5pt] &= 141.42\,m \end{align}\]

Así, aunque los dos astronautas solo difieren en 100 m en circunferencia reducida, la distancia entre los astronautas, medida por el astronauta interno, es de 141.42 m. Así, el espacio-tiempo se estira en un factor de 41% en comparación con el espacio-tiempo plano. Esto proporciona una medida de cuán “deformado” está el espacio-tiempo en esta ubicación.

¿Estás molesto con mi descuidado uso del cálculo en el ejemplo anterior? Deberías estarlo. Las métricas relacionan los cambios diferenciales en el tiempo\(dt\) y el espacio (y\(dr\)) y acabo de conectarme\(100\, m\) para\(dr\). ¿Son 100 m infinitesimalmente pequeños? Depende...

Más cuidadosamente, debo integrar la expresión para\(dx_{astronaut}\) entre los dos límites, de\(2r_{horizon}\) a\(2r_{horizon} + 100\, m\).

\[ x = \int_{2r_{horizon}}^{2r_{horizon} + 100\, m} \dfrac{dr}{ \sqrt { 1- \dfrac{2GM}{c^2r}}} \]

Esta integral es fea por dos razones: la variable está en el denominador de una fracción que está en el denominador de la expresión, y la integral tiene un montón de constantes. Es fácil deshacerse de las constantes usando la definición del horizonte de eventos,

\[ x = \int_{2r_h}^{2r_h + 100\, m} \dfrac{dr}{ \sqrt { 1- \dfrac{r_h}{r}}} \]

donde

\[r_h = \dfrac{2GM}{c^2}\]

Para resolver el problema más difícil, multiplica el numerador y el denominador por un factor hábilmente elegido:

\[ \begin{align} x_{astronaut} &= \int_{2r_h}^{2r_k+100 m} \dfrac{\bigg(\dfrac{r}{r_h}\bigg)^{1/2}dr}{\bigg(\dfrac{r}{r_h}\bigg)^{1/2}(1-\dfrac{r_h}{r})^{1/2}} \\[5pt] &= \int_{2r_h}^{2r_h +100m} \dfrac{\sqrt{\dfrac{r}{r_h}}dr}{\sqrt{\dfrac{r}{r_h}-1}} \label{eq100} \end{align}\]

A continuación, observe que la combinación de términos que aparece en la integral es adimensional, es decir, no tiene unidades. Siempre es una muy buena idea tratar de simplificar integrales complicadas en cuanto a factores adimensionales.

Realice una sustitución u donde u sea igual a este factor adimensional y simplifique:

con

\[ \begin{align*} u &= \dfrac{R}{r_h} \\[5pt] du &= \dfrac{1}{r_h}dr \end{align*}\]

con los límites de la integración

\[ \begin{align*} \text{lower limit}:u &= \dfrac{(2r_h)}{r_h}=2 \\[5pt] \text{upper limit}:u &= \dfrac{(2r_h+100m)}{r_h} = 2+\dfrac{100c^2}{2GM}=2.03385 \end{align*}\]

Entonces, la ecuación\ ref {eq100} se convierte en

\[ \begin{align} x_{astronaut} &= r_h\int_2^{2.03385}\sqrt{\dfrac{u}{u-1}}du \\[5pt] &=\dfrac{2GM}{c^2}\bigg[\sqrt{u(u-1)}+\ln(\sqrt{u}+\sqrt{u-1})\bigg]_2^{2.03385} \end{align}\]

Así, la distancia real entre los astronautas, medida por el astronauta interno, es de 140.83 m. Para este problema, 100 m es “lo suficientemente pequeño” para ser considerado infinitesimalmente pequeño, ya que la respuesta correcta difiere de la respuesta aproximada en menos de 1%. La respuesta correcta es menor que la respuesta aproximada porque la respuesta correcta toma en cuenta que el espacio se estira menos a medida que te mueves hacia el segundo astronauta, mientras que la respuesta aproximada se aproxima al estiramiento del espacio como constante entre los astronautas.

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