3.5: Caer en un Agujero Negro - Versión Fácil (Proyecto)

Considera caer los pies primero en un agujero negro de masa\(M\). Aunque puedas pensar que esta sería una experiencia bastante desagradable, la verdad puede sorprenderte. Seguro, estarás cada vez más estirado hasta que te destrocen cerca del final de tu viaje, pero durante la mayor parte de tu viaje te sientes bastante agradable. Estás flotando libremente por el espacio, disfrutando del paseo. Es sólo cuando estás tan cerca del agujero que tus pies sienten una “fuerza” mayor que tu cabeza que comienzas a estirarte en espaguetis y el dolor aumenta. Podemos aproximar la duración de este periodo doloroso (\(t_{ouch}\)) para ver si termina rápidamente o es una desaparición lenta y agonizante. Usaremos la física newtoniana para calcular\(t_{ouch}\). (Obtienes una respuesta muy similar al hacer este cálculo correctamente con Relatividad General.)

En la Teoría de la Gravitación de Newton,

\[ \dfrac{GM_{blackhole}m_{you}}{r^2} = m_{you}g\]

\[ \dfrac{GM_{blackhole}}{r^2} = g\]

Asumiremos que el dolor comienza cuando la diferencia entre la aceleración de tu cabeza y tus pies es aproximadamente el valor de\(g\) en la superficie terrestre (es decir, tu cabeza es “tirada” hacia arriba\(4.9\, m/s^2\) y tus pies son “tirados” hacia abajo en\(4.9\, m/s^2\)). Así, el dolor comienza cuando\(\Delta g = -9.8\, m/s^2\) y\(\Delta r \approx 2 m\), la distancia entre la cabeza y los pies.

1. Tomemos la derivada,\(dg/dr\), de la expresión para la aceleración gravitacional en la física newtoniana.

2. Sustituir los valores de\(\Delta g\) y\(\Delta r\) en para\(dg\)\(dr\) y y resolver para\(r_{pain}\), el radio en el que comienzas a sentirte “incómodo”, en función de M, la masa del agujero negro.

Los agujeros negros vienen en varios tamaños. Un agujero negro estelar típico (una estrella que se ha derrumbado para formar un agujero negro) puede tener una masa de 5 masas solares, mientras que un agujero negro galáctico (formado por millones de estrellas colapsando juntas) puede tener una masa de un millón de masas solares.

3. Encuentra el radio de dolor para un agujero negro de 5 masas solares.

4. ¿Está\(r_{pain}\) dentro o fuera del horizonte de eventos del agujero? (Si fuera del horizonte, otros pueden presenciarte gritando de agonía.)

5. Encuentra el radio de dolor para un agujero negro de masa\(10^6\) solar.

6. ¿Está\(r_{pain}\) dentro o fuera del horizonte de eventos del agujero? (Si dentro del horizonte, cuando comienzas a gritar en agonía ¡nadie te puede escuchar nunca!)

El tiempo que te sientas incómodo (y si incluso tienes tiempo para gritar) depende de cuánto tiempo te lleve llegar\(r =0\) (donde seguramente estarás muerto). Para encontrar este tiempo, necesitamos tu velocidad cuando llegues\(r_{pain}\).

7. Supongamos que caíste al agujero negro del descanso desde una gran distancia. Utilizando la conservación de energía en la física newtoniana, encuentra una expresión para tu velocidad cuando llegues\(r_{pain}\).

8. Calcula tu velocidad en\(r_{pain}\) para el agujero de 5 masas solares. Si esta velocidad es lenta en comparación con\(c\), la aproximación newtoniana es válida. ¿Es válida la aproximación?

9. Calcula tu velocidad en\(r_{pain}\) para el agujero de masa\(10^6\) solar. ¿La aproximación newtoniana es válida para un agujero negro galáctico?

Debes encontrar que la aproximación no es válida para un agujero negro muy grande. Por lo tanto, no podremos calcular el toque para este agujero. No obstante, créeme, no va a doler por mucho tiempo.

10. A pesar de que continuará acelerando a medida que caiga más en el agujero de 5 masas solares, encuentre el tiempo que tardaría en llegar al centro viajando a la velocidad calculada anteriormente. Esta es la cantidad máxima de tiempo por la que sufrirías. ¿Puedes aguantarte el dolor por tanto tiempo?