6.5: El Pozo Cuadrado Infinito 2D
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Doce electrones están atrapados en un pozo bidimensional de potencial infinito de longitud x 0.40 nm y ancho y 0.20 nm. Encuentra la energía cinética total del sistema.
Dado que las direcciones x e y en el espacio son independientes, la ecuación de Schrödinger se puede separar en una ecuación x y una ecuación y. Las soluciones a estas ecuaciones son idénticas al pozo cuadrado infinito unidimensional. Así, los estados energéticos permitidos de una partícula de masa m atrapada en un pozo de potencial infinito bidimensional pueden escribirse como:
\[ \begin{align} & E = n_x^2 \frac{(hc)^2}{8mc^2L_x^2} + n_y^2 \frac{(hc)^2}{8mc^2L_y^2} \\ \nonumber & E = \bigg ( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} \bigg) \frac{(hc)^2}{8mc^2} \end{align} \]
con función de onda:
\[ \Psi(x,y) = A\sin\bigg( \frac{n_x\pi x}{L_x} \bigg ) \sin \bigg( \frac{n_y \pi y}{L_y} \bigg) \]
Por lo tanto, los niveles de energía permitidos están dados por
\[\begin{align} & E = \bigg (\frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2}\bigg) \frac{(hc)^2}{8mc^2} \\ \nonumber & E = \bigg ( \frac{n_x^2}{4^2} + \frac{2^2}{L_y^2}\bigg) \frac{(1240 \text{ eV nm})^2}{8(5111000 \text{ eV})^2 (0.1 \text{ nm})^2} \\ \nonumber & E = \bigg( \frac{n_x^2}{16} + \frac{n_y^2}{4}\bigg) 37.6 \text{ eV} \end{align}\]
En lugar de tratar con fracciones, multiplicar y dividir por 16:
\[ E = (n_x^2 + 4n_y^2) 2.35 \text{ eV} \]
Para ayudar a calcular la energía cinética total del sistema, enumere los primeros estados de energía más bajos permitidos:
\ [\ begin {array} {c|c|c|c}\ text {Level} & n_x & n_y &\ text {E (2.35 eV)} &\ #\ text {electrones}\\
1 & 1 & 5 & 2\\ hline\\ 2 & 2 & 1 & 8 & 2\\ hline\\ 3 & 3 & 1 & 13 & 2\\ hline\\ 4 & 1 & 2 & 17 & 2\\ hline\\\ hline\\ 5 & 2 & 2 & 20 & 4\\ & 4 & 1 & &\\ hline\\\ 6 &3 &2 &25 &0\ end {array}\]
Los estados (nx, ny) = (2, 2) y (4, 1) se calientan degenerados porque dos funciones de onda completamente diferentes tienen la misma energía. El estado (2, 2) se ve así:
mientras que el estado (4, 1) se ve así:
Como se trata de diferentes funciones de onda, dos electrones (spin up y spin down) pueden ocupar cada estado. Así, cuatro electrones tienen la misma energía. Así, los doce electrones tendrán energía cinética total de
\[KE = [2(5) + 2(8) + 2(13) + 2(17) + 4(20)] 2.35 \text{ eV}= 390 \text{ eV} \]