6.8: La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

En este capítulo, investigamos soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Estas soluciones se ofrecen referidas como estados estacionarios porque su forma espacial no cambia con el tiempo, lo que lleva a probabilidades que son constantes en el tiempo. Sin embargo, no son “estacionarios” en el sentido de no tener dependencia del tiempo. Imagina una cuerda de guitarra vibrando en su modo fundamental. La “forma” de la cuerda es constante; simplemente vibra de un lado a otro a través del espacio. Para explorar la velocidad a la que la función de onda cuántica “vibra” necesitamos resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\delta^2}{\delta x^2}\Psi (x,t) + U(x) \Psi (x,t) = i\hbar \frac{\delta}{\delta t} \Psi (x,t)\]
Tenga en cuenta que la función de onda es ahora una función tanto del espacio como del tiempo, y las derivadas en la ecuación son derivadas parciales. También tenga en cuenta que la función de energía potencial, U, es constante con respecto al tiempo.

Tratemos de resolver esta ecuación diferencial parcial mediante la separación de variables. Para ello, asumiremos que la solución toma la forma:

\[ \Psi (x,t) = \psi (x) T(t) \]

Sustituyendo esto en la ecuación diferencial produce:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}T(t)\frac{d^2}{dx^2}\psi (x) + U(x) \psi (x) T(t) = i\hbar \psi(x) \frac{d}{dt} T(t)\]

Dividir ambos lados por la función de onda da:

\[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}}{\psi (x)} + U(x) = i\hbar \frac{\frac{dT(t)}{dt}}{T(t)}\]

Dado que el lado izquierdo es solo una función de x y el lado derecho es solo una función de t, solo pueden ser iguales si ambos lados son iguales a un valor constante. Si llamamos a esa constante E,

\[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2}}{\psi (x)} + U(x) = E = i\hbar \frac{\frac{dT(t)}{dt}}{T(t)}\]

el lado izquierdo se convierte en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y el lado derecho se convierte en:

\[ i\hbar \frac{dT(t)}{dt} = ET(t)\]

\[ \frac{dT(t)}{dt} = -i\omega T(t) \text{ with } \omega = \frac{E}{\hbar}\]

Esta ecuación tiene la solución

\[ T(t) = Ae^{-i \omega t}\]

Aunque quizás no estés familiarizado con argumentos imaginarios en la función exponencial, los matemáticos te dirán que es una forma realmente genial de escribir de forma compacta las funciones seno y coseno:

\[T(t) = Ae^{-i \omega t} = A\big[ \cos(\omega t) - i \sin(\omega t)\big] \]

Entonces, ¿qué significa esto?

Los senos y los cosenos son funciones familiares que se utilizan para describir las oscilaciones, por lo que esto significa que la función de onda simplemente oscila a una frecuencia angular () proporcional a la energía. A diferencia de una cuerda de guitarra, sin embargo, esta oscilación no es a través del espacio físico, sino a través de algún espacio mucho más abstracto en el que el cuadrado de la amplitud de oscilación está relacionado con la probabilidad. Además, este espacio no puede representarse adecuadamente sin utilizar números imaginarios.

Puede que le preocupe que la naturaleza imaginaria de la función de onda se colará de alguna manera en la probabilidad de medir alguna cantidad física. No deberías estarlo. Aunque hemos declarado numerosas veces que las probabilidades dependen del cuadrado de la función de onda, en realidad dependen del producto de la función ondulada y su complejo conjugado. Así, el efecto de la parte temporal de la función ondaen todas las probabilidades viene dado por:

\[ \begin{array}{rcl} \text{P}rob(t) &=& T\* (t)T(t) \\ \text{P}rob(t) &=& (Ae^{+\omega t})(Ae^{-i \omega t}) \\ \text{P}rob(t) &=& A^2e^0 \\ \text{P}rob(t) &=& A^2 \end{array}\]

De hecho, si establecemos A = 1, la parte temporal de la función de onda no tendrá ningún efecto sobre las probabilidades calculadas anteriormente en este capítulo. Así, mientras la función de energía potencial sea constante en el tiempo, la ecuación de Schrödinger es separable y todo nuestro trabajo que estudia la ecuación independiente del tiempo es válido, siempre y cuando recordemos que estas soluciones en realidad están oscilando en el tiempo según la descripción dada anteriormente.