6.9: Las actividades de la ecuación de Schrödinger

Una bola de 1.0 kg se lanza directamente hacia arriba a 10 m/s y el punto cero de energía potencial gravitacional se ubica en la posición en la que la bola sale de la mano del lanzador. Todas las alturas se miden en relación con el punto cero. A continuación se muestra una gráfica de la energía potencial gravitacional (U = mgh) vs altura. Contesta las siguientes preguntas.

a. Dibuja una línea en la gráfica que represente la energía total de la pelota. Usando la gráfica, determinar la altura máxima alcanzada por el balón.

b. Utilizando la gráfica, determinar la energía cinética de la bola cuando se encuentra a la mitad de su altura máxima.

c. ¿Qué pasaría con la energía cinética de la pelota si estuviera a 1 m por encima de su altura máxima? ¿Qué implicaría esto sobre la velocidad de la pelota en esta ubicación?

d. ¿La pelota pasa más tiempo, menos tiempo o la misma cantidad de tiempo en el intervalo de posición entre 3 m y 4 m o en el intervalo de posición entre 4 m y 5 m? ¿Por qué?

e. Si se realiza una determinación de la posición de la pelota en un tiempo aleatorio, ¿es más probable, menos probable o igualmente probable que encuentre la pelota en el intervalo de posición entre 3 m y 4 m o en el intervalo de posición entre 4 m y 5 m? ¿Por qué?
Un carro de 2.0 kg oscila sobre una superficie horizontal sin fricción unida a un muelle k = 50 N/m. El carro pasa a través de la longitud de equilibrio del resorte (s = 0 m) a una velocidad de 10 m/s. A continuación se muestra una gráfica de energía potencial elástica (U = ½ ks2) vs. deformación (s) elástica (s). Contesta las siguientes preguntas.

a. Dibuja una línea en la gráfica que represente la energía total del carro. Usando la gráfica, determinar el alargamiento máximo del resorte.

b. Utilizando la gráfica, determinar la energía cinética del carro cuando el resorte está a la mitad de su alargamiento máximo.

c. ¿Qué pasaría con la energía cinética del carro si fuera 1m más allá del alargamiento máximo del resorte? ¿Qué implicaría esto sobre la velocidad del carro en esta ubicación?

d. ¿El carro pasa más tiempo, menos tiempo o la misma cantidad de tiempo en el intervalo de posición entre 0 m y 1 m o en el intervalo de posición entre 1 m y 2 m? ¿Por qué?

e. Si se realiza una determinación de la posición del carro en un tiempo aleatorio, ¿es más probable, menos probable o igualmente probable encontrar el carro en el intervalo de posición entre 0 m y 1 m o en el intervalo de posición entre 1 m y 2 m? ¿Por qué?

A continuación se muestra una gráfica de energía potencial (U) vs. posición para una región del espacio ocupada por una sola partícula macroscópica. No hay fuerzas que actúen sobre la partícula en esta región del espacio aparte de la fuerza que da origen a la energía potencial. La energía total de la partícula también se indica en la gráfica. Las letras A a F marcan seis posiciones dentro de esta región del espacio.

a. Clasificar la energía potencial de la partícula en estas posiciones.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

b. Clasificar la energía cinética de la partícula en estas posiciones.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

c. Si se realiza una determinación de la posición de la partícula en un tiempo aleatorio, clasificar la probabilidad de encontrar la partícula en las inmediaciones de estas posiciones.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

A continuación se muestra una gráfica de energía potencial (U) vs. posición para una región del espacio ocupada por una sola partícula macroscópica. No hay fuerzas que actúen sobre la partícula en esta región del espacio aparte de la fuerza que da origen a la energía potencial. La energía total de la partícula también se indica en la gráfica. Las letras A a F marcan seis posiciones dentro de esta región del espacio.

a. Clasificar la energía potencial de la partícula en estas posiciones. Si la partícula nunca está en una posición déjala fuera del ranking.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

b. Clasificar la energía cinética de la partícula en estas posiciones. Si la partícula nunca está en una posición déjala fuera del ranking.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

c. Si se realiza una determinación de la posición de la partícula en un tiempo aleatorio, clasificar la probabilidad de encontrar la partícula en las inmediaciones de estas posiciones.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

Para cada una de las funciones de energía potencial a continuación, esboce cuidadosamente la función de onda correspondiente al nivel de energía indicado.

a.

b.

c.


d.

Para cada una de las funciones de energía potencial a continuación, esboce cuidadosamente la función de onda correspondiente al nivel de energía indicado.

a.

b.

c.


d.

Para cada una de las funciones de energía potencial a continuación, esboce cuidadosamente la continuación de la función de onda a medida que pasa por la barrera o pozo.

a.

b.

c.


d.

Un átomo hipotético tiene los cuatro niveles de energía electrónica que se muestran a continuación.

a. ¿Cuántas líneas espectrales pueden ser emitidas por las transiciones entre estos cuatro niveles de energía?

b. La transición del nivel ____ al nivel ____ emite el fotón de longitud de onda más larga.

c. La transición del nivel ____ al nivel ____ implica la absorción del fotón de energía más grande.

d. Si la energía del nivel n = 3 se redujera de alguna manera, ¿cuántas de las seis líneas espectrales cambiarían la energía?

e. Si la energía del nivel n = 3 se redujera de alguna manera, ¿qué transición (es) electrónica (s) cambiaría (n) a energía mayor?

f. ¿En qué nivel (s) es el electrón más probable que se detecte en las inmediaciones de x = 0?

g. ¿En qué nivel (s) pasa el electrón más tiempo fuera del átomo?

g. ¿En qué nivel (s) es más probable que se detecte el electrón dentro de la mitad derecha del átomo?

Un protón está atrapado en un pozo de potencial infinito de longitud 1.0 x 10-15 m. Encuentra los tres fotones de longitud de onda más largos emitidos por el protón a medida que cambia los niveles de energía en el pozo.

Análisis matemático

Un electrón queda atrapado en un pozo de potencial infinito de longitud 1.0 x 10-10 m. Encuentra los tres fotones de longitud de onda más largos emitidos por el electrón a medida que cambia los niveles de energía en el pozo.

Análisis matemático

Imagina ocho neutrones atrapados en un núcleo atómico. Modelar el núcleo como un pozo potencial infinito de longitud 5.0 x 10-15 m.
a. Encuentra la energía cinética total de los ocho neutrones.
b. Si cuatro de los neutrones cambiaron a protones, calcule la nueva energía cinética total. Ignorar la diferencia de masa entre protones y neutrones.

Análisis matemático

Imagina ocho neutrones y cinco protones atrapados en un núcleo atómico. Modelar el núcleo como un pozo potencial infinito de longitud 5.0 x 10-15 m.
a. Encuentra la energía cinética total de los nucleones.
b. Si los neutrones y protones pueden cambiar libremente entre sí, ¿qué pasará?
c. Calcular la energía cinética total mínima de los nucleones. Ignorar la diferencia de masa entre protones y neutrones.

Análisis matemático

Un fotón queda atrapado en un pozo potencial infinito de longitud L. Encuentra las energías permitidas para el fotón. (Pista: No se puede usar la ecuación de Schrödinger para resolver este problema.)

Análisis matemático

Ocasionalmente puede sentirse atrapado en un salón de clases. Si es así, es posible que no pueda estar completamente estacionario. Asumiendo un aula de 10 m de ancho, y un estudiante de 65 kg, estime su energía y velocidad mínimas.

Análisis matemático

Un electrón queda atrapado en un pozo potencial infinito de longitud 1.0 x 10-10 m.
a. Según la física clásica (es decir, sentido común), ¿cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre en el quinto medio (de 0.4 x 10-10 m a 0.6 x 10-10 m) del pozo?
b. En su estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre en el quinto medio del pozo?
c. En su estado n=2, ¿cuál es la probabilidad de que el electrón se encuentre en el quinto medio del pozo?
d. Con base en la forma de la función ondulada, explicar por qué (b) es mayor que (a), y (a) es mayor que (c)? (Si no lo son, ¡hiciste el problema incorrectamente!)

Análisis matemático

Un neutrón queda atrapado en un pozo potencial infinito de longitud 4.0 x 10-15 m.
a. Según la física clásica (es decir, sentido común), ¿cuál es la probabilidad de que el neutrón se encuentre en el cuarto izquierdo (de 0.0 x 10-15 m a 1.0 x 10-15 m) del pozo?
b. En su estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de que el neutrón se encuentre en el cuarto izquierdo del pozo?
c. En su estado n=2, ¿cuál es la probabilidad de que el neutrón se encuentre en el cuarto izquierdo del pozo?
d. Con base en la forma de las funciones de onda, ¿sus respuestas para a, b y c tienen el tamaño relativo correcto?

Análisis matemático

Una partícula queda atrapada en un pozo de potencial infinito unidimensional de longitud L.
a. Encuentra los valores de expectativa de la posición de la partícula y el momento en el primer estado excitado de este pozo. Compare estos resultados con los resultados para el estado base.
b. Encontrar la incertidumbre en la posición de la partícula y el impulso en el primer estado excitado de este pozo. Compare estos resultados con los resultados para el estado base.
c. Demostrar que las incertidumbres en estos valores no violan el principio de incertidumbre.

Análisis matemático

Una partícula queda atrapada en un pozo de potencial infinito unidimensional de longitud L.
a. Encontrar el valor de expectativa de la posición de la partícula en función del nivel de energía, n.
b. Encontrar la incertidumbre en la posición de la partícula en función del nivel de energía, n.
c. En el límite de n muy grande, ¿cuál es la incertidumbre en la posición de la partícula? (En la física clásica, este valor sería 0.289L.)

Análisis matemático

Una partícula está atrapada en un pozo de potencial infinito unidimensional de longitud L.
a. Encuentre el valor de expectativa de la energía cinética de la partícula en el estado fundamental de este pozo. (Pista: La energía cinética se puede expresar como p2/2m. Esto debería permitirle construir un operador para la energía cinética).
b. Encontrar la incertidumbre en la energía cinética de la partícula en el estado fundamental de este pozo.
c. Explique cuidadosamente lo que implica su respuesta para (b) sobre el tiempo que la partícula puede permanecer en el estado fundamental.

Análisis matemático

Clásicamente, una partícula atrapada en un pozo de potencial infinito unidimensional de longitud L tendría la misma probabilidad de ser detectada en cualquier parte del pozo. Así, su función de onda “clásica” sería:

donde C es una constante.
a. encontrar el valor de C estableciendo la probabilidad total de encontrar la partícula en el pozo igual a 1.
b. Encontrar el valor de expectativa de la posición de la partícula.
c. Encontrar la incertidumbre en la posición de la partícula.

Análisis matemático

Una partícula atrapada en un pozo de potencial parabólico unidimensional centrado en x = 0 tiene una función de onda en estado fundamental dada por:

Tenga en cuenta que este tipo de pozo se extiende de x = -∞ a x = +∞.
a. Encuentra A.
b. Encuentra los valores de expectativa de la posición y el impulso de la partícula en el estado fundamental de este pozo.
c. Encontrar la incertidumbre en la posición de la partícula y el impulso en el estado fundamental de este pozo.
d. Demostrar que las incertidumbres en estos valores no violan el principio de incertidumbre.

Análisis matemático

Una partícula de masa m está atrapada en un pozo potencial infinito de longitud x L y ancho y 3L. Para cada uno de los pares de números cuánticos a continuación, indique las ubicaciones (distintas de los límites) donde la probabilidad de detectar la partícula es cero.
a. (nx, ny) = (1, 1)
b. (nx, ny) = (3, 1)
c. (nx, ny) = (2, 3)

Análisis matemático

Una partícula de masa m está atrapada en un pozo potencial infinito de x-length L, y-width L y z-height 2L. Para cada uno de los tripletes de números cuánticos a continuación, indique las ubicaciones (distintas de los límites) donde la probabilidad de detectar la partícula es cero.
a. (nx, ny, nz) = (1, 1, 1)
b. (nx, ny, nz) = (2, 2, 1)
c. (nx, ny, nz) = (1, 2, 2)

Análisis matemático

Una partícula de masa m queda atrapada en un pozo potencial infinito de longitud x L y anchura Y L. Determinar los 5 niveles de energía más bajos y enumerarlos a continuación.

Análisis matemático

Nivel nx ny E ()
1 1 1

Una partícula de masa m está atrapada en un pozo potencial infinito de longitud x 3L y ancho y 2L. Determine los 5 niveles de energía más bajos y enumérelos a continuación.

Análisis matemático

Nivel nx ny E ()
1 1 1

Ocho neutrones y cinco protones quedan atrapados en un pozo potencial infinito de longitud x 4.0 x 10-15 m y ancho y 4.0 x 10-15 m. Ignorar la diferencia de masa entre protones y neutrones.
a. Determine los 5 niveles de energía más bajos y enumérelos a continuación.
b. Encontrar la energía cinética total de las 13 partículas.
c. ¿La energía total disminuiría si un neutrón se convirtiera en protón? Si es así, ¿por cuánto?

Análisis matemático

Nivel nx ny E () # neutrones # protones
1 1 1 2 2









Ocho protones y once neutrones quedan atrapados en un pozo potencial infinito de longitud x 4.0 x 10-15 m y ancho y 2.0 x 10-15 m. Ignorar la diferencia de masa entre protones y neutrones.
a. Determine los 5 niveles de energía más bajos y enumérelos a continuación.
b. Encontrar la energía cinética total de las 19 partículas.
c. ¿La energía total disminuiría si un neutrón se convirtiera en protón? Si es así, ¿por cuánto?

Análisis matemático

Nivel nx ny E () # neutrones # protones
1 1 1 2 2

Una partícula de masa m está atrapada en un pozo potencial infinito de x-length L, y-width L y z-height L. Determinar los 5 niveles de energía más bajos y enumerarlos a continuación.

Análisis matemático

Nivel nx ny nz E ()
1 1 1 1

Una partícula de masa m está atrapada en un pozo potencial infinito de x-length L, y-width L y z-height 2L. Determine los 5 niveles de energía más bajos y enumérelos a continuación.

Análisis matemático

Nivel nx ny nz E ()
1 1 1 1

Una partícula de masa m está atrapada en un pozo potencial infinito de x-length L, y-width 2L y z-height 2L. Determine los 5 niveles de energía más bajos y enumérelos a continuación.

Análisis matemático

Nivel nx ny nz E ()
1 1 1 1

Encuentre los niveles de energía permitidos para un protón atrapado en un pozo de potencial semi-infinito de ancho 3.0 fm y profundidad 40 MeV. Compara estos valores con los obtenidos asumiendo que el pozo es infinitamente profundo.

Análisis matemático

Encuentre los niveles de energía permitidos para un electrón atrapado en un pozo de potencial semi-infinito de ancho 1.0 nm y profundidad 5.0 eV. Compara estos valores con los obtenidos asumiendo que el pozo es infinitamente profundo.

Análisis matemático

Encuentre los niveles de energía permitidos para un neutrón atrapado en un pozo de potencial semi-infinito de ancho 7.0 fm y profundidad 50 MeV. Compara estos valores con los obtenidos asumiendo que el pozo es infinitamente profundo.

Análisis matemático

Un protón es incidente sobre una barrera de potencial rectangular de altura 50 MeV y ancho 5 fm. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que el protón atraviese la barrera para cada una de las energías cinéticas incidentes a continuación?
a. 20 MeV
b. 30 MeV
c. 40 MeV
d. 45 MeV

Análisis matemático

a. Estimar la probabilidad de tunelización para un incidente de protón de 18 MeV en un pozo de potencial simétrico con altura de barrera 20 MeV, ancho de barrera 3 fm, profundidad de pozo -50 MeV y ancho de pozo 15 fm.
b. Si el protón realiza túneles satisfactoriamente en el pozo, estime la vida útil del estado resultante.

Análisis matemático

a. Estimar la probabilidad de tunelización para una partícula alfa de 5 MeV incidente en un pozo de potencial simétrico con altura de barrera 40 MeV, ancho de barrera 8 fm, profundidad de pozo -50 MeV y ancho de pozo 15 fm.
b. Si el protón realiza túneles satisfactoriamente en el pozo, estime la vida útil del estado resultante.

Análisis matemático

a. Estimar la probabilidad de tunelización para un incidente de protón de 1.0 MeV en un pozo de potencial simétrico con altura de barrera 1.5 MeV, ancho de barrera 1 fm, profundidad de pozo -10 MeV y ancho de pozo 3.0 fm.
b. Si el protón realiza túneles satisfactoriamente en el pozo, estime la vida útil del estado resultante.

Análisis matemático

En una bujía, se necesita una diferencia de potencial de aproximadamente 20,000 V para que una chispa salte el espacio de 1.5 mm. Modelando esto como una barrera de potencial rectangular de altura 20 keV y ancho 1.5 mm:
a. Estimar la probabilidad de un túnel de electrones a través de la brecha de bujía cuando la diferencia de potencial a través de la brecha es de solo 10,000 V. Con base en esta respuesta, ¿debería preocuparse por la mecánica automotriz? ¿Mecánica?
b. ¿En qué diferencia de potencial la tunelización proporcionaría una probabilidad de una chispa prematura entre mil millones?

Análisis matemático

En un transistor una regla general es “60 mV por década”, lo que significa que un cambio de voltaje de 60 mV debería provocar un aumento (o disminución) de diez veces en la corriente. En un transistor de tunelización podemos imaginar una barrera de potencial rectangular de ancho 10 nm con una altura que puede ser ajustada por la tensión aplicada. ¿Qué barrera de altura se necesita para que un cambio de 60 mV (60MeV de energía) provoque un cambio de diez veces en la corriente?

Análisis matemático

En un microscopio de túnel de barrido (STM), se coloca una punta metálica delgada muy cerca de una muestra en estudio. Aunque no se hace contacto eléctrico entre la punta y la muestra, los electrones de la punta pueden hacer un túnel a través del espacio vacío hasta la muestra, lo que resulta en una corriente eléctrica. Dado que esta corriente depende exponencialmente de la separación entre la punta y la muestra, son posibles mediciones increíblemente precisas de las características de la superficie.

Al aproximar la barrera potencial entre punta y muestra para ser una barrera rectangular con altura igual a una función típica de trabajo metálico (4.0 eV), se encuentra el cambio en la separación entre punta y muestra que resultará en un cambio de 10% en la corriente de tunelización. Este cambio en la separación es aproximadamente la resolución del STM.

Análisis matemático

En una molécula de amoníaco (NH3), es igualmente probable que el átomo de nitrógeno esté “por encima” o “debajo” del plano formado por los tres átomos de hidrógeno. De hecho, el átomo de nitrógeno realiza túneles de ida y vuelta entre estas dos orientaciones equivalentes a una frecuencia increíblemente estable. La frecuencia estable de inversión de amoníaco se utilizó como estándar para la primera generación de relojes atómicos.

Aproximando la barrera potencial entre las orientaciones arriba y abajo como una barrera rectangular con altura U = 0.26 eV, y ancho L = 0.038 nm, se encuentra la frecuencia con la que el nitrógeno oscila entre estos dos estados. La energía del átomo de nitrógeno en cualquiera de los pozos es E = 0.25 eV.


Análisis matemático