7.A: Decaimiento Alfa (Proyecto)

El proceso radiactivo conocido como desintegración alfa implica la tunelización de una partícula alfa (un estado unido de dos protones y dos neutrones) a través de la barrera de Coulomb para escapar del potencial nuclear.

En esta actividad, construirás una hoja de cálculo que calcula la probabilidad de tunelización para la partícula alfa y, utilizando esta probabilidad, calcula la vida media del núcleo radiactivo.

I. Construyendo la Hoja de Cálculo

Construir una hoja de cálculo que tenga la siguiente forma general. (La plantilla AlphaDecay está disponible en la carpeta del curso PHY 262.)

Alpha Decay
tu nombre:
tu nombre: energía

alfa = MeV T =
A = f =
Z = =
semivida = s profundidad
nuclear = MeV radio
nuclear = fm radio de
salida = fm

Posición Integrando potencial
(fm) (MeV)

La hoja de cálculo debería permitirle ingresar el número de masa (A) y el número atómico (Z) de un núcleo radiactivo, la energía cinética de la partícula alfa emitida, y luego calcular la vida media para la transición.

Una de las varias aproximaciones que harás es imaginar la partícula alfa como una partícula puntual moviéndose en el pozo potencial creado por el resto del núcleo. Dado que la partícula alfa consta de 4 nucleones (dos de los cuales son protones), el número de masa efectiva del resto del núcleo es (A — 4) y la carga efectiva del resto del núcleo es (Z — 2).

Para los núcleos pesados, la profundidad del potencial nuclear (Unuclear) es aproximadamente

\[U_{Nuclear} = -50\text{ MeV}\]

Además, el radio del potencial nuclear (R) es
\[R = (1.2\text{ fm})(A-4)^{1/3}\]

La energía potencial eléctrica entre la partícula alfa y el resto del núcleo (Uculomb) viene dada por

\[U_{Coulomb} = qV\]

\[U_{Coulomb} = (2e)\bigg(\frac{k((Z-2)e)}{r}\bigg)\]
\[U_{Coulomb} = \frac{2(Z-2)ke^2}{r}\]

(Tenga en cuenta que en unidades “nucleares”, ke2 = 1.44 MeV fm.)

Por lo tanto, el radio de salida (REXit) se puede determinar equiparando la energía alfa (EAlpha) con la energía eléctrica
\[E_{Alpha} = U_{Coulomb}\]

\[E_{Alpha} = \frac{2(Z-2)ke^2}{R_{Exit}}\]

\[R_{Exit} = \frac{2(Z-2)ke^2}{E_{Alpha}}\]

Usando estas definiciones, complete las columnas Posición y Potencial de la hoja de cálculo para 500 puntos igualmente espaciados entre el radio nuclear y el radio de salida.

A. Esquema de aproximación de túneles

La probabilidad de hacer un túnel a través de una barrera de potencial cuadrado de altura U y ancho x viene dada por:

\[T \cong e^{-x/\delta}\]
donde
\[ \delta = \frac{\hbar c}{\sqrt{8mc^2 (U-E)}}\]

Si la barrera no es cuadrada, podemos aproximarla mediante una serie de barreras extremadamente delgadas que son aproximadamente cuadradas. En el límite de las barreras infinitesimalmente delgadas, esto se convierte

\[T \cong e^{-\int dx/\delta}\]

\[T \cong exp\bigg(-\frac{\sqrt{8mc^2}}{\hbar c}\int \sqrt{U-E}dx\bigg)\]

Así, para encontrar la probabilidad de que la partícula alfa atraviese la barrera, se debe calcular, en cada uno de los 500 puntos igualmente espaciados entre el radio nuclear y el radio de salida, el valor del integrando,

\[\sqrt{U-E}(\Delta x)\]

La suma de estas contribuciones puede entonces ser utilizada para encontrar T. (Obsérvese que la energía restante de la partícula alfa es 3728 MeV.)

El número de colisiones por segundo que produce la partícula alfa con la “pared” nuclear, f, se puede determinar a partir de la velocidad de la partícula alfa dentro del núcleo y el tamaño del núcleo. La tasa de decaimiento,, es la probabilidad de decaimiento por segundo, y se puede determinar a partir de T y f. Finalmente, la vida media se dirige relacionada con. Las relaciones específicas se dejan para que usted las determine.

II. Uso de la hoja de cálculo

1. Calcular la vida media para\(_{92}^{222}U\) emitir una partícula alfa de energía 9.50 MeV y registrarla a continuación. (No te preocupes si no obtienes exactamente la respuesta que se muestra en la tabla de datos. Debido a las aproximaciones que hemos hecho, tu respuesta debería ser un par de cientos de veces mayor que el valor medido experimentalmente). Imprime la primera página de tu hoja de cálculo y adjúntela al final de esta actividad.

2. Aunque su valor para la vida media es mayor que el valor medido, su hoja de cálculo aún se puede usar para explorar cómo la vida media depende de la energía alfa. Para cada uno de los isótopos de uranio pares-A enumerados en la tabla de datos, determine la vida media teórica usando su hoja de cálculo. Registre estos resultados en una columna adecuadamente etiquetada en la tabla de datos.

3. Para comparar la dependencia teórica entre la vida media y la energía alfa con la dependencia medida experimentalmente, cree una gráfica del log de la semivida vs. la energía alfa. Mostrar tanto los datos teóricos como los experimentales en esta gráfica. Imprime esta gráfica y adjúntela al final de la actividad.

4. ¿Su hoja de cálculo refleja con precisión la dependencia de la vida media de la energía alfa? Explique claramente por qué o por qué no.

5. Explicar claramente por qué una reducción en la energía alfa por un factor de aproximadamente dos (9.50 MeV a 4.27 MeV) puede resultar en un cambio en la vida media por un factor de aproximadamente 1023 (!).