02. Herramientas de análisis
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Alambres largos y paralelos
Encuentra el campo magnético en el punto indicado. Los cables largos y paralelos están separados por una distancia 4a.
El campo magnético en este punto será la suma vectorial del campo magnético del cable izquierdo (B L) y el campo magnético del cable derecho (B R).
Para el cable izquierdo, he indicado la dirección del vector tangente. Recuerda, con el pulgar apuntando en la dirección de la corriente (fuera de la página), la dirección en la que se rizan los dedos de tu mano derecha es la dirección del vector tangente (en sentido contrario a las agujas del reloj).
pic
Por definición, el vector tangente es perpendicular al vector radial. Debes saber cómo especificar el vector de unidad radial del capítulo sobre campo eléctrico; para especificar el vector de unidad tangente, hay que construir un vector perpendicular al vector radial.
Para ello, simplemente voltee los componentes x e y del vector radial y agregue los signos algebraicos apropiados. (Pídele a tu profesor de matemáticas que demuestre que esto siempre resulta en un vector perpendicular al vector original.) Usando este truco, el campo magnético del cable izquierdo es:
pic
Para el cable derecho tu pulgar debe apuntar hacia la página, haciendo que tus dedos de la derecha se doblen en sentido horario.
pic
pic
Sumando estos dos aportes juntos rendimientos
pic
Distribución de corriente más general
Encuentra el campo magnético en el origen. El alambre forma un círculo de radio R.
PIC
Encontrar el campo magnético a partir de un cable portador de corriente implica varios pasos distintos. Hasta que se sienta muy cómodo configurando y evaluando integrales de campo magnético, le sugiero que camine sistemáticamente por estos pasos.
- Identificar y etiquetar cuidadosamente la ubicación del elemento diferencial en un diagrama de la situación.
- Identificar y etiquetar cuidadosamente la ubicación del punto de interés en un diagrama de la situación.
- Escribe una expresión para (pic), el elemento diferencial vectorial.
- Escribir una expresión para r, la distancia entre el elemento diferencial y el punto de interés.
- Escribe una expresión para (r hat), el vector unitario que representa la dirección desde el elemento hasta el punto de interés.
- Inserte sus expresiones en la integral para el campo magnético.
- Escoja cuidadosamente los límites de la integración.
- Evaluar la integral.
Demostraré cada uno de estos pasos para el escenario bajo investigación.
- Identificar y etiquetar cuidadosamente la ubicación del elemento diferencial en un diagrama de la situación.
El elemento diferencial es una pequeña pieza (infinitesimal) del cable portador de corriente. La ubicación de este elemento diferencial debe ser arbitraria, lo que significa que no se encuentra en una ubicación “especial” como la parte superior o inferior del bucle. Su ubicación debe estar representada por una variable, donde esta variable es la variable de integración y determina los límites de la integral.
Para este ejemplo, seleccione el elemento diferencial que se ubicará en un ángulo "q" en sentido antihorario desde el eje x. (Posteriormente, seleccionará los límites de integración para pasar de 0 a 2 p para permitir que este elemento arbitrario “cubra” todo el bucle).
pic
2. Identificar y etiquetar cuidadosamente la ubicación del punto de interés en un diagrama de la situación.
El punto de interés es el centro del bucle de alambre.
pic
3. Escribe una expresión para (pic), el elemento diferencial vectorial.
El elemento diferencial en la integral para el campo magnético es un vector, lo que significa que tiene tanto una magnitud (su longitud) como una dirección. La dirección del elemento diferencial es la dirección en la que la corriente fluye a través del elemento. Por lo tanto, necesitamos una expresión para el vector ilustrado a la derecha (y muy magnificado a continuación).
La longitud del elemento diferencial es Rd q, ya que el elemento forma un arco sobre un círculo de radio R. Su dirección se puede determinar señalando que forma un ángulo de q con respecto al eje y, y se dirige en la dirección -x y +y- dirección. Esto da como resultado:
pic
4. Escribir una expresión para r, la distancia entre el elemento diferencial y el punto de interés.
La distancia entre el elemento diferencial y el punto de interés es solo el radio del bucle;
pic
5. Escribe una expresión para, el vector unitario que representa la dirección desde el elemento hasta el punto de interés.
Dado que este vector apunta desde el elemento hasta el punto de interés, se dirige en la dirección -x y en la dirección -y. Esto da como resultado:
pic
pic
6. Inserte sus expresiones en la integral para el campo magnético.
pic
7. Escoja cuidadosamente los límites de la integración.
Los límites de integración están determinados por el rango sobre el cual se debe “mover” el elemento diferencial para cubrir todo el objeto. En este caso, el elemento debe moverse alrededor del bucle circular:
pic
8. Evaluar la integral.
pic
El campo magnético en el centro de cualquier bucle portador de corriente de radio R viene dado por la expresión anterior.