03. Herramientas de análisis 2
- Page ID
- 132688
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\){{Template.dropdown {path:” /Spiral_physics/II_-_electricidad_y_magnetismo/modelo_07_-_campos magnéticos "}}
Ley de Ampere
El cable largo de núcleo hueco de abajo tiene un radio interno a, un radio exterior b y una corriente i distribuidos uniformemente a través de su área. La corriente fluye en la dirección +z. Encuentra el campo magnético en todos los puntos del espacio.
pic
Para ciertas situaciones, típicamente aquellas con simetría cilíndrica, la Ley de Ampere permite calcular el campo magnético con relativa facilidad. La Ley de Ampere, matemáticamente, establece:
pic
Vamos a describir lo que esto significa en inglés. El lado izquierdo de la ecuación involucra el producto de punto vectorial entre el campo magnético y una longitud infinitesimalmente pequeña que es una pieza de una trayectoria cerrada más grande (denominada bucle amperiano). Este producto punteado determina la cantidad de campo magnético que es paralelo a esta pieza muy pequeña de una trayectoria cerrada más grande. La integral simplemente nos dice que sumemos todas estas contribuciones alrededor de todo el camino cerrado.
La esencia de la Ley de Ampere es que esta integral es exactamente igual a la cantidad total de corriente eléctrica que fluye dentro del bucle de amperios, multiplicada por la constante m 0.
Algo contrario intuitivamente, la clave para aplicar la Ley de Ampere es elegir un bucle de amperiano tal que nunca tengas que hacer realmente la integral en el lado izquierdo de la ecuación! (¿Esto suena familiar?) Para tratar de ayudarte a entender de lo que estoy hablando, pasemos por la solución del problema anterior. La siguiente secuencia de pasos le ayudará a comprender el proceso de aplicación de la ley de Ampere:
- Elija el bucle de amperios apropiado.
- Dibuje cuidadosamente el bucle de amperios hiptetico en el lugar de interés.
- Dibuje cuidadosamente el campo magnético en todos los puntos del bucle de amperios.
- Escribe una expresión para la longitud de la trayectoria paralela al campo magnético.
- Escribir un expressioln para i encerrado, la corriente dentro del bucle amperiano.
- Aplicar la Ley de Ampere y determinar el campo magnético en todos los puntos de este hipotético bucle.
Hay regiones distintas que investigaremos:
- la región dentro del “agujero” en el cable (r < a),
- la región dentro del material real del alambre (a < r < b),
- y la región fuera del cable (r > b).
Empecemos fuera del cable.
Fuera del cable: r > b
1. Elija el bucle de amperios apropiado.
La clave para usar la Ley de Ampere es tratar de explotar la simetría del alambre portador de corriente. Dado que los cables suelen tener una sección transversal circular, los bucles circulares de amperios son la norma.
2. Dibuje cuidadosamente el hipotético bucle de amperios en la ubicación de interés.
Ya que estamos tratando de determinar el campo magnético para todos los puntos fuera del cable, dibuje una superficie circular de amperios con radio r. El valor de r es variable, y puede tomar cualquier valor mayor que b, el radio del cable real. Recuerda, el bucle amperiano es hipotético; es un “objeto” matemático que solo existe para ayudarte a resolver el problema. Trate de no confundirlo con el cable real del radio b.
pic
3. Dibuje cuidadosamente el campo magnético en todos los puntos del bucle de amperios.
Aunque no tengo idea de cuál es la magnitud del campo magnético en ningún punto de mi bucle de amperios, la simetría de la situación me dice que la dirección del campo magnético debe ser ya sea en sentido horario o antihorario. Si la corriente fluye fuera de la página, el campo se dirigirá en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del bucle de amperios.
pic
Además, aunque no conozco la magnitud del campo, sí sé que la magnitud es la misma en cada punto de mi bucle.
4. Escribe una expresión para la longitud de la trayectoria paralela al campo magnético.
El lado izquierdo de la ley de Ampere nos obliga a evaluar una integral alrededor de nuestro bucle de amperios. La integral requiere que encontremos el producto punto entre el campo magnético y el elemento de línea diferencial, e integrar este producto puntual alrededor de todo el bucle. Mencioné anteriormente que nunca deberías tener que hacer realmente esta integral (asumiendo que elegiste el bucle amperiano “correcto”). Entonces, ¿por qué no tenemos que hacer esta integral?
El producto de punto vectorial se puede reescribir como:
pic
donde está el ángulo entre el campo magnético y el elemento de línea diferencial del bucle de amperios. Atravesando nuestro bucle de amperios en sentido antihorario conduce al diagrama a la derecha
pic
Observe que el vector de campo magnético y el vector que representa el elemento diferencial son paralelos en cada punto del bucle de amperios. Esto simplifica el lado izquierdo de la ley de Ampere:
pic
Ahora tenga en cuenta que la magnitud del campo magnético es la misma en cada punto del bucle de amperios ya que cada punto está a la misma distancia de la distribución de corriente. Así, el campo magnético es constante y puede llevarse fuera de la integral, dejando una integral bastante fácil de evaluar.
pic
Observe que todo el lado izquierdo de la Ley de Ampere se reduce al producto de la magnitud del campo magnético y la longitud del bucle de amperios, asumiendo que el bucle es paralelo a este campo. Así, debido a nuestra sabia elección del bucle de amperios, todo lo que realmente necesitamos calcular es la longitud del bucle paralelo al campo magnético. Para un bucle circular:
pic
5. Aplicar la Ley de Ampere y determinar el campo magnético en todos los puntos de este hipotético bucle.
Dado que el bucle de amperios está fuera del cable real, toda la corriente que fluye a través del cable está encerrada por el bucle de amperios. Por lo tanto,
pic
6. Aplicar la Ley de Ampere y determinar el campo magnético en todos los puntos de este hipotético bucle.
pic
Por lo tanto, el campo magnético fuera del cable de núcleo hueco se ve exactamente igual que el campo magnético fuera de un cable portador de corriente “normal”.
Ahora tenemos que repetir este análisis para las otras dos regiones.
Dentro del cable: a < r < b
1. Elija el bucle de amperios apropiado.
De nuevo elige un bucle circular de amperios.
2. Dibuje cuidadosamente el hipotético bucle de amperios en la ubicación de interés.
Dado que estamos tratando de determinar el campo magnético dentro del cable real, el radio de nuestro bucle de amperios es mayor que a pero menor que b.
pic
3. Dibuje cuidadosamente el campo magnético en todos los puntos del bucle de amperios.
Como antes, la magnitud del campo magnético debe ser constante en todos los puntos del bucle de amperios y dirigirse en sentido antihorario.
pic
4. Escribe una expresión para la longitud de la trayectoria paralela al campo magnético.
La longitud paralela al campo magnético es nuevamente la longitud del bucle circular de amperios:
pic
5. Escribir una expresión para i encerrado, la corriente dentro del bucle amperiano.
Dado que el bucle de amperios está dentro del cable, no toda la corriente en el cable está encerrada por el bucle. La cantidad encerrada se puede expresar como el producto de una densidad de corriente (J) y el área de sección transversal encerrada. Primero, dado que la corriente se distribuye uniformemente por todo el cable, puedo definir la densidad de corriente como:
pic
Entonces, la corriente encerrada por el bucle de amperianos es el producto de la densidad de corriente y el área encerrada por el bucle:
pic
6. Aplicar la Ley de Ampere y determinar el campo magnético en todos los puntos de este hipotético bucle.
pic
Por lo tanto, el campo magnético dentro del cable de núcleo hueco en realidad aumenta al aumentar r, ya que a medida que r aumenta, cada vez hay más corriente disponible para producir el campo magnético.
Dentro del “agujero”: r < a
Ya que debemos elegir nuestro bucle amperiano para tener un radio menor que a, se ubica dentro del centro hueco del alambre. Dado que no hay corriente encerrada por este bucle, el campo magnético en esta región debe ser cero.
pic