6.1: La ecuación de onda
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La evolución de la función de onda se describe mediante una ecuación diferencial parcial (PDE) llamada ecuación de onda dependiente del tiempo:\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}, \;\;\; v \in\mathbb{R}^+.\] El parámetro\(v\), que tomamos como una constante real positiva, se llama la velocidad de onda, por razones que en breve quedar claro.
En ocasiones, reorganizamos la ecuación de onda en la siguiente forma, que consiste en un operador diferencial lineal que actúa sobre\(f(x,t)\):\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \; f(x,t) = 0.\] Esta forma de escribir la ecuación de onda enfatiza que es una PDE lineal, lo que significa que cualquier superposición lineal de soluciones es igualmente una solución.