7.3: Colisiones

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Conservación de Energía y Momentum

En una colisión inelástica la energía cinética total después de la colisión no es igual a la energía cinética total antes de la colisión.

objetivos de aprendizaje

Evaluar la conservación del impulso total en una colisión inelástica

En este punto ampliaremos nuestra discusión de colisiones inelásticas en una dimensión a colisiones inelásticas en múltiples dimensiones. Todavía es cierto que la energía cinética total después de la colisión no es igual a la energía cinética total antes de la colisión. Si bien las colisiones inelásticas pueden no conservar la energía cinética total, sí conservan el impulso total.

Consideraremos un problema de ejemplo en el que una masa (\(\mathrm{m_1}\)) se desliza sobre una superficie sin fricción hacia otra masa inicialmente estacionaria (\(\mathrm{m_2}\)). Se descuidará la resistencia al aire. Se conocen las siguientes cosas:

\[\begin{align} \mathrm{m_1} & \mathrm{=0.250kg,} \\ \mathrm{m_2} & \mathrm{=0.400kg,} \\ \mathrm{v_1} & \mathrm{=2.00m/s,} \\ \mathrm{v_1′}& \mathrm{=1.50m/s,} \\ \mathrm{v_2}& \mathrm{=0m/s,} \\ \mathrm{θ_1′} & \mathrm{=45.0∘,} \end{align}\]

donde\(\mathrm{v_1}\) es la velocidad inicial de la primera masa,\(\mathrm{v_1′}\) es la velocidad final de la primera masa,\(\mathrm{v_2}\) es la velocidad inicial de la segunda masa, y\(\mathrm{θ_1′}\) es el ángulo entre el vector de velocidad de la primera masa y el eje x.

El objeto es calcular la magnitud y dirección de la velocidad de la segunda masa. Después de esto, calcularemos si esta colisión fue inelástica o no.

Dado que no hay fuerzas netas en el trabajo (superficie sin fricción y resistencia al aire insignificante), debe haber conservación del momento total para las dos masas. El momento es igual al producto de la masa y la velocidad. La masa inicialmente estacionaria no aporta impulso inicial. Los componentes de las velocidades a lo largo del eje x tienen la forma\(\mathrm{v⋅\cos θ}\), donde θ es el ángulo entre el vector de velocidad de la masa de interés y el eje x.

Expresando estas cosas matemáticamente:

\[\mathrm{m_1v_1=m_1v_1′ \cdot \cos (θ_1)+m_2v‘_2 \cdot \cos (θ_2). (Eq. 2)}\]

Los componentes de las velocidades a lo largo del eje y tienen la forma\(\mathrm{v \cdot \sin θ}\), donde θ es el ángulo entre el vector de velocidad de la masa de interés y el eje x. Al aplicar la conservación del impulso en la dirección y encontramos:

\[\mathrm{0=m_1v_1′ \cdot \sin (θ_1)+m_2v‘_2 \cdot \sin (θ_2). (Eq. 3)}\]

Si dividimos la Ecuación 3 por la Ecuación 2, encontraremos:

\[\mathrm{ \tan θ_2=\dfrac{v_1′ \cdot \sin θ_1}{v_1′ \cos θθ_1−v_1} (Eq. 4) }\]

La Eq. 4 puede entonces resolverse para encontrar\(\mathrm{θ_2}\) aprox. 312º.

Ahora usemos la Eq. 3 para resolver para\(\mathrm{v′_2}\). Reordenando la Ec. 3, encontramos:

\[\mathrm{v_2′=\dfrac{−m_1v_1′ \cdot \sin θ_1}{ m_2 \cdot \sin θ_2.}}\]

Después de enchufar nuestros valores conocidos, nos encontramos con eso\(\mathrm{v_2′=0.886m/s}\).

Ahora podemos calcular la energía cinética inicial y final del sistema para ver si es igual.

\[\begin{align} \mathrm{Initial \; Kinetic \; Energy} & \mathrm{ =\frac{1}{2}m_1 \cdot v_1^2+\frac{1}{2}m_2 \cdot v_2^2=0.5J.} \\ \mathrm{Final \; Kinetic \; Energy} & \mathrm{= \frac{1}{2}m_1 \cdot v_1′^2+\frac{1}{2}m_2 \cdot v_2′^2≈0.43J.} \end{align}\]

Como estos valores no son los mismos sabemos que se trató de una colisión inelástica.

Ejemplo de colisión: Esto ilustra el problema de ejemplo en el que una masa choca con otra masa que inicialmente es estacionaria.

Colisiones de Mirada

La colisión de mirada es una colisión que tiene lugar bajo un ángulo pequeño, siendo el cuerpo incidente casi paralelo a la superficie.

objetivos de aprendizaje

Identificar las condiciones necesarias para una “colisión de mirada”

Una colisión es la interacción de corta duración entre dos cuerpos o más de dos cuerpos provocando simultáneamente un cambio en el movimiento de los cuerpos involucrados debido a las fuerzas internas que actuaron entre ellos durante este. Las colisiones involucran fuerzas (hay un cambio en la velocidad). La magnitud de la diferencia de velocidad en el impacto se llama velocidad de cierre. Todas las colisiones conservan el impulso. Lo que distingue a los diferentes tipos de colisiones es si también conservan energía cinética. Línea de impacto — Es la línea que es normal común para las superficies que están más cercanas o en contacto durante el impacto. Esta es la línea a lo largo de la cual la fuerza interna de colisión actúa durante el impacto y el coeficiente de restitución de Newton se define solo a lo largo de esta línea.

Cuando se trata de un cuerpo incidente que es casi paralelo a una superficie, a veces es más útil referirse al ángulo entre el cuerpo y la superficie, más que al que existe entre el cuerpo y la superficie normal (ver), es decir 90° menos el ángulo de incidencia. Este pequeño ángulo se llama ángulo de mirada. Colisión en ángulo de mirada se llama “colisión de mirada”.

imagen

Colisión: El objeto se desvía después de la colisión con la superficie. Los ángulos entre el cuerpo y la superficie normal sonindicados como α y β. Los ángulos entre el cuerpo y la superficie son\(\mathrm{90 – α}\) y\(\mathrm{90 – β}\).

Las colisiones pueden ser elásticas, lo que significa que conservan tanto el impulso como la energía cinética, o inelásticas, lo que significa que conservan el impulso pero no la energía cinética. Una colisión inelástica a veces también se llama colisión plástica.

Una colisión “perfectamente inelástica” (también llamada colisión “perfectamente plástica”) es un caso limitante de colisión inelástica en la que los dos cuerpos se pegan juntos después del impacto.

El grado en que una colisión es elástica o inelástica se cuantifica por el coeficiente de restitución, un valor que generalmente oscila entre cero y uno. Una colisión perfectamente elástica tiene un coeficiente de restitución de uno; una colisión perfectamente inelástica tiene un coeficiente de restitución de cero.

Colisiones elásticas en una dimensión

Una colisión elástica es una colisión entre dos o más cuerpos en los que se conserva la energía cinética.

objetivos de aprendizaje

Evaluar la relación entre las ecuaciones de colisión para derivar elasticidad

Una colisión elástica es una colisión entre dos o más cuerpos en la que la energía cinética total de los cuerpos antes de la colisión es igual a la energía cinética total de los cuerpos después de la colisión. Una colisión elástica no ocurrirá si la energía cinética se convierte en otras formas de energía. Es importante entender cómo funcionan las colisiones elásticas, porque los átomos suelen sufrir colisiones esencialmente elásticas cuando chocan. Por otro lado, las moléculas no sufren colisiones elásticas cuando chocan. En este átomo revisaremos caso de colisión entre dos cuerpos.

La matemática de una colisión elástica se demuestra mejor a través de un ejemplo. Considera una primera partícula con masa\(\mathrm{m_1}\) y velocidad\(\mathrm{v_{1i}}\) y una segunda partícula con masa\(\mathrm{m_2}\) y velocidad\(\mathrm{v_{2i}}\). Si estas dos partículas chocan, debe haber conservación del momento antes y después de la colisión. Si sabemos que se trata de una colisión elástica, debe haber conservación de la energía cinética por definición. Por lo tanto, las velocidades de las partículas 1 y 2 después de la colisión (\(\mathrm{v_{1f}}\)y\(\mathrm{v_{2f}}\) respectivamente) estarán relacionadas con las velocidades iniciales por:

\(\mathrm{\frac{1}{2}m_1 \cdot v_{1i}^2+\frac{1}{2} m_2 \cdot v_{2i}^2= \frac{1}{2}m_1 \cdot v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2 \cdot v_{2f}^2}\)(debido a la conservación de la energía cinética)

\(\mathrm{m_1 \cdot v_{1i}+m_2 \cdot v_{2i}=m_1 \cdot v_{1f}+m_2 \cdot v_{2f}}\)(debido a la conservación del ímpetu).

Como tenemos dos ecuaciones, somos capaces de resolver para dos variables desconocidas cualesquiera. En nuestro caso, resolveremos para las velocidades finales de las dos partículas.

Al agrupar términos similares y cancelar los términos ½, podemos reescribir nuestra ecuación de conservación de energía cinética como:

\[\mathrm{m_1 \cdot (v_{1i}^2−v_{1f}^2)=m_2 \cdot (v_{2f}^2−v_{2i}^2). (Eq.1)}\]

Al agrupar términos similares a partir de nuestra ecuación de conservación del impulso podemos encontrar:

\[\mathrm{m_1 \cdot (v_{1i}−v_{1f})=m_2 \cdot (v_{2f}−v_{2i}). (Eq. 2)}\]

Si luego dividimos la Ecuación 1 por la Ecuación 2 y realizamos algunas cancelaciones encontraremos:

\[\mathrm{v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}. (Eq. 3)}\]

Podemos resolver por\(\mathrm{v_{1f}}\) como:

\[\mathrm{v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}−v_{1i}. (Eq. 4)}\]

En este punto vemos que\(\mathrm{v_{2f}}\) sigue siendo una variable desconocida. Así que podemos arreglar esto enchufando la Ecuación 4 en nuestra ecuación inicial de conservación del impulso. Nuestra ecuación de conservación del impulso con la Ec. 4 sustituida en se ve así:

\[\mathrm{m_1 \cdot v_{1i}+m_2 \cdot v_{2i}=m_1 \cdot (v_{2f}+v_{2i}−v_{1i})+m_2 \cdot v_{2f}. (Eq.5)}\]

Después de hacer un poco de álgebra en la Ec. 5 encontramos:

\[\mathrm{v_{2f}=\dfrac{2 \cdot m_1}{(m_2+m_1)} v_{1i}+\dfrac{(m_2−m_1)}{(m_2+m_1)}v_{2i}. (Eq.6)}\]

En este punto hemos resuelto con éxito la velocidad final de la segunda partícula. Todavía tenemos que resolver la velocidad de la primera partícula, así que hagámoslo taponando la Eq. 6 en la Ec. 4.

\[\mathrm{v_{1f}=[\dfrac{2 \cdot m_1}{(m_2+m_1)}v_{1i}+\dfrac{(m_2−m_1)}{(m_2+m_1)}v_{2i}]+v_{2i}−v_{1i}. (Eq. 7)}\]

Después de realizar alguna manipulación algebraica de la Ec. 7, finalmente encontramos:

\[\mathrm{v_{1f}=\dfrac{(m_1−m_2)}{(m_2+m_1)} v_{1i}+\dfrac{2 \cdot m_2}{(m_2+m_1)} v_{2i}. (Eq. 8)}\]

Colisión elástica de dos masas desiguales: En esta animación, dos masas desiguales chocan y retraen.

Colisiones elásticas en múltiples dimensiones

Para resolver un problema de colisión elástica bidimensional, descomponga los componentes de velocidad de las masas a lo largo de ejes perpendiculares.

objetivos de aprendizaje

Construir una ecuación para colisión elástica

Visión general

Como se indicó anteriormente, hay conservación de la energía cinética total antes y después de una colisión elástica. Si se produce una colisión elástica en dos dimensiones, las masas colisionantes pueden viajar de lado a lado después de la colisión (no solo a lo largo de la misma línea que en una colisión unidimensional). El enfoque general para resolver un problema de colisión elástica bidimensional es elegir un sistema de coordenadas en el que los componentes de velocidad de las masas puedan descomponerse a lo largo de ejes perpendiculares.

Colisiones en múltiples dimensiones: Una breve introducción a la resolución de problemas de colisiones en dos dimensiones utilizando la ley de conservación del impulso.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

En este ejemplo, consideramos solo masas puntuales. Se trata de partículas sin estructura que no pueden girar ni girar. Consideraremos un caso en el que no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema, es decir, que se conserva el impulso. Consideraremos una situación en la que una partícula está inicialmente en reposo. Esta situación se ilustra en.

imagen

Ilustración de Colisión Elástica en Dos Dimensiones: En esta ilustración, vemos las configuraciones inicial y final de dos masas que sufren una colisión elástica en dos dimensiones.

Al definir el eje x para que esté a lo largo de la dirección de la partícula entrante, nos ahorramos tiempo al romper ese vector de velocidad en sus componentes x e y. Ahora consideremos la conservación del impulso en la dirección x:

\[\mathrm{p_{1x}+p_{2x}=p_{1x}′+p_{2x}′ (Eq. 1)}\]

En la Ecuación 1, el momento inicial de la partícula entrante está representado por\(\mathrm{p_{1x}}\)_, el momento inicial de la partícula estacionaria está representado por\(\mathrm{p_{2x}}\)_, el momento final de la partícula entrante está representado por\(\mathrm{p_{1x}'}\)_.y el momento final de la partícula inicialmente estacionaria está representado por\(\mathrm{p_{2x}'}\)_.

Podemos ampliar la ecuación 1 tomando en cuenta que el impulso es igual al producto de la masa y la velocidad. También, sabemos que\(\mathrm{p_{2x} = 0}\) debido a que la velocidad inicial de la partícula estacionaria es 0.

Los componentes de las velocidades a lo largo del eje x tienen la forma\(\mathrm{v \cdot \cos θ}\), donde θ es el ángulo entre el vector de velocidad de la partícula de interés y el eje x.

Por lo tanto:

\[\mathrm{m_1v_1=m_1v_1′ \cdot \cos (θ_1)+m_2v'_2 \cdot \cos (θ_2) (Eq. 2)}\]

Los componentes de las velocidades a lo largo del eje y tienen la forma\(\mathrm{v \cdot \sin θ}\), donde θ es el ángulo entre el vector de velocidad de la partícula de interés (denotado en las siguientes ecuaciones por el subíndice 1 o 2) y el eje x. Podemos aplicar la conservación del impulso en la dirección y de manera similar al rendimiento:

\[\mathrm{0=m_1v_1' \cdot \sin (θ_1)+m_2v_2' \cdot \sin (θ_2) (Eq. 3)}\]

Al encontrar la Ec. 3, se tomó en consideración que la partícula entrante no tenía componente de velocidad a lo largo del eje y.

Resolviendo dos incógnitas

Ahora hemos llegado a un punto donde tenemos dos ecuaciones, esto significa que podemos resolver por dos incógnitas que queramos. También sabemos que debido a que la colisión es elástica debe haber conservación de la energía cinética antes y después de la colisión. Esto significa que también podemos escribir la Ecuación 4, que nos da tres ecuaciones para resolver para tres incógnitas:

\[\mathrm{\dfrac{1}{2}m_1 \cdot v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2 \cdot v_2^2=\dfrac{1}{2}m_1 \cdot v_1′^2+ \dfrac{1}{2}m_2 \cdot v_2′^2}\]

El enfoque general para encontrar las ecuaciones definitorias para un problema de colisión elástica n-dimensional es aplicar la conservación del momento en cada una de las n- dimensiones. Se puede generar una ecuación adicional utilizando la conservación de la energía cinética.

Colisiones inelásticas en una dimensión

Las colisiones pueden clasificarse como colisiones inelásticas o elásticas en función de cómo se conserva la energía en la colisión.

objetivos de aprendizaje

Distinguir ejemplos de colisión inelástica de colisiones elásticas

Visión general

En una colisión inelástica la energía cinética total después de la colisión no es igual a la energía cinética total antes de la colisión. Esto contrasta con una colisión elástica en la que se aplica la conservación de la energía cinética total. Si bien las colisiones inelásticas pueden no conservar la energía cinética total, sí conservan el impulso total.

Colisiones

Si dos objetos chocan, hay muchas maneras en que la energía cinética puede transformarse en otras formas de energía. Por ejemplo, en la colisión de cuerpos macroscópicos, cierta energía cinética se convierte en energía vibratoria de los átomos constituyentes. Esto provoca un efecto de calentamiento y da como resultado la deformación de los cuerpos. Otro ejemplo en el que la energía cinética se transforma en otra forma de energía es cuando las moléculas de un gas o líquido chocan. Cuando esto sucede, la energía cinética a menudo se intercambia entre el movimiento traslacional de las moléculas y sus grados internos de libertad.

Una colisión perfectamente inelástica ocurre cuando se pierde la cantidad máxima de energía cinética en un sistema. En tal colisión, las partículas colisionantes se pegan entre sí. La energía cinética se utiliza en la energía de unión de los dos cuerpos.

Ejemplo de bloque deslizante

Consideremos un ejemplo de un sistema de bloques deslizantes de dos cuerpos. El primer bloque se desliza en el segundo (bloque inicialmente estacionario). En esta colisión perfectamente inelástica, el primer bloque se une completamente al segundo bloque como se muestra. Suponemos que la superficie sobre la que se deslizan los bloques no tiene fricción. También asumimos que no hay resistencia al aire. Si la superficie tuviera fricción o si hubiera resistencia al aire, se tendría que dar cuenta del impulso de los cuerpos que serían transferidos a la superficie y/o al aire.

imagen

Colisión inelástica: En esta animación, una masa choca con otra masa inicialmente estacionaria en una colisión perfectamente inelástica.

Escribiendo sobre la ecuación para la conservación del impulso, uno encuentra:

\[\mathrm{m_au_a+m_bu_b=(m_a+m_b)v}\]

donde m _a es la masa del bloque entrante, u _a es la velocidad del bloque entrante, m _b es la masa del bloque inicialmente estacionario, u _b es la velocidad del bloque inicialmente estacionario (0 m/s), y v es la velocidad final del sistema de dos cuerpos. Resolviendo para la velocidad final,

\[\mathrm{v=\dfrac{m_au_a+m_bu_b}{m_a+m_b}.}\]

Teniendo en cuenta que los bloques tienen la misma masa y que uno de los bloques es inicialmente estacionario, la expresión para la velocidad final del sistema puede definirse como:

\[\mathrm{v=\dfrac{u_a}{2}.}\]

Colisiones inelásticas en múltiples dimensiones

Si bien las colisiones inelásticas pueden no conservar la energía cinética total, sí conservan el impulso total.

objetivos de aprendizaje

Relacionar las ecuaciones de múltiples dimensiones de colisión inelástica con las colisiones de una dimensión que aprendiste anteriormente

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Ejemplos de colisiones

Consideraremos un problema ejemplar, ilustrado en, en el que una masa (m1m1) se desliza sobre una superficie sin fricción hacia otra masa inicialmente estacionaria (m2m2). Se descuidará la resistencia al aire. Se conocen las siguientes cantidades:

imagen

Ejemplo de colisión: Esto ilustra el problema de ejemplo en el que una masa choca con otra masa que inicialmente es estacionaria.

donde v1v1 es la velocidad inicial de la primera masa, v'1v1' es la velocidad final de la primera masa, v2v2es la velocidad inicial de la segunda masa, y θ'1θ1' es el ángulo entre el vector de velocidad de la primera masa y el eje x.

El objeto es calcular la magnitud y dirección de la velocidad de la segunda masa. Después de esto, calcularemos si esta colisión fue inelástica o no.

Dado que no hay fuerzas netas en el trabajo (superficie sin fricción y resistencia al aire insignificante), debe haber conservación del momento total para las dos masas. El momento es igual al producto de la masa y la velocidad. La masa estacionaria (inicialmente) no aporta impulso inicial. Los componentes de las velocidades a lo largo del eje x tienen la forma vcosθvcosθ, donde θ es el ángulo entre el vector de velocidad de la masa de interés y el eje x.