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8.3: Estabilidad

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    objetivos de aprendizaje

    • Explicar la relación entre cómo se define el centro de masa y el equilibrio estático

    Para que un objeto esté en equilibrio estático, esperamos que permanezca en el mismo estado indefinidamente. Si empieza a acelerar alejándose de su posición actual, difícilmente estaría en equilibrio. Para cuantificar el equilibrio para un solo objeto, existen dos condiciones:

    1. La fuerza externa neta sobre el objeto es cero:\(\mathrm{∑_iF_i=F_{net}=0}\)
    2. El par externo neto, independientemente de la elección de origen, también es cero:\(\mathrm{∑_ir_i \times F_i=∑_iτ_i=τ_{net}=0}\)

    Esas dos condiciones se mantienen independientemente de si el objeto del que estamos hablando es una partícula de un solo punto, un cuerpo rígido o una colección de partículas discretas. Estar en equilibrio significa que no esperamos cambios en el momento lineal o en el momento angular. Tenga en cuenta que esto no significa que el sistema no se mueva ni gire; en cambio, simplemente significa que su movimiento no cambiará a medida que pase el tiempo.

    En un caso especial cuando las fuerzas externas están gobernadas por algún potencial (por ejemplo, potencial gravitacional) podemos obtener una idea de la naturaleza del equilibrio. A partir de la definición de un potencial lo sabemos\(\mathrm{F_{ext}=−\frac{dU(x)}{dx}|_{x_0}}\). Cuando la primera derivada es cero, podemos tomar la segunda derivada para encontrar si el equilibrio es estable o inestable. Explícitamente, si el potencial es cóncavo-hacia arriba a x 0\(\mathrm{\frac{d^2U(x)}{dx^2}|_{x_0}>0}\), entonces el sistema es estable; a la inversa, si el potencial es cóncavo-abajo, entonces el equilibrio es inestable. Si la segunda derivada es cero o no existe, entonces el equilibrio es neutro, ni estable ni inestable.

    Matemáticamente, podemos ver esto como una expansión de la serie Taylor sobre la fuerza ligeramente alejada del equilibrio,

    \(\mathrm{F(x_0+δx)=F(x_0)+\frac{dF(x)}{dx}∣_{x_0}δxF(x0+δx)=−\frac{dU(x)}{dx}∣_{x_0}+(−\frac{d^2U(x)}{dx^2}∣_{x_0})δx}\),

    y cuando inicialmente está en equilibrio,

    \(\mathrm{F(x_0)=0F(x_0)=0F(x_0+δx)=−\frac{dU(x)}{dx}∣_{x_{0}}+(−\frac{d^2U(x)}{dx^2}∣_{x_0})δxU(y)=mgy}\).

    Si la pelota está en la cima de la colina (donde el potencial es cóncavo-abajo) es posible que esté perfectamente equilibrada, y por lo tanto en equilibrio. Pero si se empuja ligeramente hacia un lado, entonces rodará cuesta abajo con velocidad creciente, y el equilibrio es inestable.

    imagen

    Equilibrio inestable: Una pelota en la cima de una colina inicialmente se puede equilibrar, pero si se mueve ligeramente hacia la izquierda o hacia la derecha, se empuja cada vez más lejos de la posición de equilibrio inicial. Este es un ejemplo de equilibrio inestable.

    Nuestra noción de “equilibrio” proviene directamente de la formulación del equilibrio. Que algo esté “equilibrado” significa que las fuerzas externas netas son cero. Por ejemplo, una moneda podría balancearse de pie sobre una mesa. Inicialmente la moneda no sentirá fuerza externa neta ni par; está en equilibrio. Pero si se empuja ligeramente hacia un lado, se volverá “desequilibrado”, experimentando tanto una fuerza como un par haciendo que caiga a la mesa. Podría haber sido inicialmente “equilibrado” y en equilibrio, pero era un equilibrio inestable, propenso a ser perturbado. Pero, ¿por qué toda esta plática de fuerzas externas, sin mención de fuerzas internas? El motivo es que todas las fuerzas internas deben sumar a cero. Esto se desprende directamente de la Tercera Ley de Newton,\(\mathrm{F_{12}=−F_{21}}\). Cada vez que consideramos una fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 dentro de un sistema, sabemos que posteriormente será cancelada por la fuerza correspondiente de la partícula 2 sobre la partícula 1. Podríamos incluir esas fuerzas en la suma, pero es innecesario y las fuerzas internas suelen ser más complicadas que las internas.

    Esta diferenciación entre fuerzas internas y externas es poderosa. También implica que se puede rastrear el movimiento del sistema como un todo (ignorando el movimiento dentro del sistema) a través de la fuerza externa neta que actúa sobre un centro de masa. Un centro de masa actúa como si tuviera toda la masa del sistema, ubicada en un punto, y solo siente fuerzas externas. Su posición se define como el promedio ponderado de todas las partículas en el sistema:\(\mathrm{\frac{R=∑_im_ir_i}{∑_im_i}}\) o si tenemos una densidad continua de masa\(\mathrm{ρ(r)}\),, entonces podemos integrar:\(\mathrm{R=\frac{∫Vρ(r)rdV}{∫Vρ(r)dV}}\). El poder del centro de masas es que esconde todos los detalles de lo que está sucediendo internamente. No siempre queremos perder la información de lo que está sucediendo internamente, pero es una herramienta útil para recordar, cuando se trata de una serie de interacciones complicadas.

    Puntos Clave

    • El equilibrio se define por no tener fuerzas netas ni pares.
    • La estabilidad de un equilibrio puede ser determinada por la segunda derivada del potencial.
    • Definir un centro de masa permite una manera sencilla de estudiar el comportamiento de un sistema u objeto en su conjunto.
    • El equilibrio estable requiere una fuerza restauradora. Esta fuerza restauradora se puede derivar por una expansión Taylor de la fuerza, F (x).

    Términos Clave

    • equilibrio estable: La respuesta [de un sistema en equilibrio estático] a una pequeña perturbación son fuerzas que tienden a restaurar el equilibrio.
    • centro de masa: El centro de masa (COM) es el punto único en el centro de una distribución de masa en el espacio que tiene la propiedad de que los vectores de posición ponderados relativos a este punto suman a cero.
    • equilibrio estático: el estado físico en el que todos los componentes de un sistema están en reposo y la fuerza neta es igual a cero en todo el sistema

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

    CC CONTENIDO LICENCIADO, ATRIBUCIÓN ESPECÍFICA

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