2.3: Realización de mediciones
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Habiendo introducido algunas herramientas para el aspecto de modelado de la física, ahora abordamos el otro lado de la física, a saber, realizar experimentos. Dado que el objetivo de desarrollar teorías y modelos es describir el mundo real, necesitamos entender cómo hacer mediciones significativas que prueben nuestras teorías y modelos.
Supongamos que deseamos probar la teoría de Chloe sobre la caída de objetos del Capítulo 1:
\[t = k \sqrt{x}\]
que establece que el tiempo,\(t\), para que cualquier objeto caiga una distancia,\(x\), cerca de la superficie de la Tierra viene dado por la relación anterior. La teoría asume que la constante de Chloe\(k\),, es la misma para cualquier objeto que caiga a cualquier distancia sobre la superficie de la Tierra.
Una forma posible de probar la teoría de Chloe sobre la caída de objetos es medir diferentes alturas de caída\(k\) para ver si siempre obtenemos el mismo valor. Los resultados de dicho experimento se presentan en la Tabla 2.3.1, donde se midió el tiempo\(t\),, para que una bola de boliche cayera distancias de\(x\) entre\(1\)\(5\) m y m. La tabla también muestra los valores calculados\(\sqrt{x}\) y el valor correspondiente de\(k = t/ \sqrt{x}\):
x\([m]\) | t\([s]\) | \(\sqrt{x}\:[m^{\frac{1}{2}}]\) | k\([sm^{-\frac{1}{2}}]\) |
---|---|---|---|
\ ([m]\) ">\(1.00\) | \ ([s]\) ">\(0.33\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.00\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.33\) |
\ ([m]\) ">\(2.00\) | \ ([s]\) ">\(0.74\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.41\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.52\) |
\ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.67\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.39\) |
\ ([m]\) ">\(4.00\) | \ ([s]\) ">\(1.07\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(2.00\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.54\) |
\ ([m]\) ">\(5.00\) | \ ([s]\) ">\(1.10\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(2.24\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.49\) |
Al mirar la Tabla 2.3.1, es claro que cada altura de caída daba un valor diferente de\(k\), por lo que al valor nominal, diríamos que la teoría de Chloe es incorrecta, ya que no parece haber un valor de\(k\) que se aplique a todas las situaciones. No obstante, seríamos incorrectos al hacerlo a menos que entendiéramos la precisión de las medidas que hicimos. Supongamos que repetimos la medición varias veces a una altura de caída fija de\(x = 3\) m, y obtuvimos los valores en el Cuadro 2.3.2.
x\([m]\) | t\([s]\) | \(\sqrt{x}\:[m^{\frac{1}{2}}]\) | k\([sm^{-\frac{1}{2}}]\) |
---|---|---|---|
\ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(1.01\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.58\) |
\ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.76\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.44\) |
\ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.64\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.37\) |
\ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.73\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.42\) |
\ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.66\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ frac {1} {2}}]\) ">\(0.38\) |
Este sencillo ejemplo resalta el aspecto crítico de realizar cualquier medición: es imposible hacer una medición con infinita precisión. Los valores de la Tabla 2.3.2 muestran que si repetimos exactamente el mismo experimento, es probable que midamos valores diferentes para una sola cantidad. En este caso, para una altura de caída fija,\(x = 3\) m, obtuvimos una dispersión en valores del tiempo de caída\(t\),, entre aproximadamente\(0.6\)\(1.0\) s y s. ¿Significa esto que no tiene remedio hacer ciencia, ya que nunca podremos repetir mediciones? ¡Agrademente, no! Sin embargo, requiere que abordemos la imprecisión inherente de las mediciones de manera formal.
Incertidumbres de medición
Los valores del Cuadro 2.3.2 muestran que para una configuración experimental fija (una altura de caída de\(3\) m), es probable que midamos un spread en los valores de una cantidad (el tiempo para caer). Podemos cuantificar esta “incertidumbre” en el valor del tiempo medido citando el valor medido de\(t\) proporcionando un “valor central” y una “incertidumbre”:
\(t = (0.76 ± 0.15)\)s
donde\(0.76\) s se llama el “valor central” y\(0.15\) s la “incertidumbre” o el “error'. Tenga en cuenta que usamos la palabra error como sinónimo de incertidumbre, no de “error”. Cuando presentamos un número con incertidumbre, queremos decir que estamos “bastante seguros” de que el verdadero valor está en el rango que citamos. En este caso, el rango que citamos es que t está entre\(0.61\) s y\(0.91\) s (dado por\(0.76\text{ s} - 0.15\text{ s}\) y\(0.76\text{ s} + 0.15\text{ s})\). Cuando decimos que estamos “bastante seguros” de que el valor está dentro del rango citado, generalmente queremos decir que hay un\(68\)% de probabilidad de que esto sea cierto y permitimos la posibilidad de que el valor verdadero esté realmente fuera del rango que citamos. El valor de\(68\)% proviene de la estadística y de la distribución normal.
Pensamientos de Emma: “Precisión”, “Precisión” e “Incertidumbre” - ¿cuál es la diferencia?
¿Alguna vez ha comenzado a escribir un informe de laboratorio y se ha preguntado si debe describir o no su medición en términos de “precisión” o “precisión”? ¿Qué hay de describir el error en tu experimento como una medida de “precisión” o “incertidumbre”?
¡No estás solo! La precisión, la precisión y la incertidumbre se relacionan con el error, pero tienen diferentes significados. Para aclarar estos términos, creo que es útil estudiarlos lado a lado.
- La precisión se refiere a lo cerca que están sus medidas entre sí cuando repite una medición varias veces. Si los valores obtenidos son cercanos entre sí, sus mediciones son precisas. Por ejemplo, digamos que estabas midiendo la altura de rebote de una básquetbol, caída desde una altura fija. Después de realizar la medición varias veces, encuentra que las alturas de rebote medidas son muy cercanas en valor entre sí. Entonces podrías reportar que “Después de repetir nuestra medición varias veces, los valores que obtuvimos estaban muy unidos entre sí. ¡Nuestras medidas fueron precisas!”. Por supuesto, hay que especificar a qué se refiere con “cerrar” (quizás en términos de las divisiones en la regla que utilizó para medir la altura de rebote).
- La precisión mide la concordancia entre un valor medido y su valor verdadero. Si el valor medido es cercano al valor verdadero, su valor medido es exacto. Por ejemplo, digamos que desarrollaste un modelo para la distancia cubierta por una roca arrojada con un tirachinas. Si encuentras que el valor medido está cerca del valor predicho, dirías que tu modelo es exacto, “Nuestro valor de modelo estuvo muy cerca del valor que medimos, nuestro modelo fue exacto”. Nuevamente, hay que especificar a qué se refiere con “cerrar”, generalmente en términos de la incertidumbre sobre su valor medido.
- La incertidumbre es una estimación de la cantidad que una medición diferirá de un valor verdadero. En la ciencia, nuestro objetivo es disminuir la incertidumbre en nuestras mediciones, para que podamos probar modelos y teorías con más precisión. Digamos que estás midiendo el número de rotaciones de una peonza durante cierto periodo de tiempo. Tus medidas están muy juntas, pero tienen un rango fijo de valores. Este sería un ejemplo donde podrías calcular la incertidumbre en tus mediciones. Sería sensato decir “Después de múltiples mediciones, hemos encontrado que nuestros valores son similares y nuestra incertidumbre captura el rango de valores que medimos”.
Determinar el valor central y la incertidumbre
La parte difícil a la hora de realizar una medición es decidir cómo asignar un valor central y una incertidumbre. Por ejemplo, ¿cómo se nos ocurrió\(t = (0.76 ± 0.15)\) s a partir de los valores de la Tabla 2.3.2?
Determinar la incertidumbre y el valor central en una medición se simplifica enormemente cuando se puede repetir la misma medición varias veces, como hicimos en la Tabla 2.3.2. Con mediciones repetibles, una elección razonable para el valor central y la incertidumbre es utilizar la media y la desviación estándar de las mediciones, respectivamente.
Si tenemos\(N\) medidas de alguna cantidad\(t, \{t_{1}, t_{2}, t_{3}, . . . t_{N}\}\), entonces la media\(\overline{t}\), y la desviación estándar,\(σ_{t}\), se definen como:
\[\overline{t}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{i=N} t_{1}=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{N}}{N}\]
\[\sigma_{t}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_{i}-\overline{t})^{2}=\frac{(t_{1}-\overline{t})^{2}+(t_{2}-\overline{t})^{2}+(t_{3}-\overline{t})^{2}+...+(t_{N}-\overline{t})^{2}}{N-1} \]
\[\sigma_{t}=\sqrt{\sigma_{t}^{2}}\]
La media es solo el promedio aritmético de los valores, y la desviación estándar,\(σ_{t}\), requiere uno para calcular primero la media, luego la varianza (\(σ_{t}^{2}\), el cuadrado de la desviación estándar). También hay que señalar que para la varianza, dividimos por\(N − 1\) en lugar de\(N\). La desviación estándar y la varianza son cantidades que provienen de la estadística y son una buena medida de cuán dispersos\(t\) están los valores de sobre su media, y por lo tanto son una buena medida de la incertidumbre.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Calcular la media y desviación estándar de los valores para\(k\) del Cuadro 2.3.2.
Solución:
Para calcular la desviación estándar, primero necesitamos calcular la media de los\(N = 5\) valores de\(k\):\(\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38\}\). La media viene dada por:
\(\overline{k}=\frac{0.58+0.44+0.37+0.42+0.38}{5}=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Ahora podemos calcular la varianza usando la media:
\(\begin{array}{c}\sigma_{k}^{2}=\frac{1}{4}[(0.58-0.44)^{2}+(0.44-0.44)^{2}+(0.37-0.44)^{2}+(0.42-0.44)^{2}+(0.38-0.44)^{2}]=7.3\times 10^{-3}\text{s}^{2}\end{array}\)
y la desviación estándar viene dada por la raíz cuadrada de la varianza:
\(\sigma_{k}=\sqrt{0.0073}=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Usando la media y la desviación estándar, citaríamos nuestro valor de\(k\) como:
\(k = (0.44 ± 0.09) \text{s m}^{−\frac{1}{2}}\)
Cualquier valor que medimos siempre tendrá una incertidumbre. En el caso de que podamos repetir fácilmente la medición, debemos hacerlo para evaluar qué tan reproducible es, y la desviación estándar de esos valores suele ser una buena primera estimación de la incertidumbre en un valor 1. En ocasiones, las mediciones no se pueden reproducir fácilmente; en ese caso, sigue siendo importante determinar una incertidumbre razonable, pero en este caso, por lo general hay que estimarla. El Cuadro 2.3.3 muestra algunos tipos comunes de mediciones y cómo determinar las incertidumbres en esas mediciones.
Tipo de medición | Cómo determinar el valor central y la incertidumbre |
---|---|
Mediciones repetidas | Media y desviación estándar |
Medición única con una escala graduada (por ejemplo, regla, báscula digital, medidor analógico) | Valor más cercano y la mitad de la división más pequeña |
Cantidad contada | Valor contado y raíz cuadrada del valor |
Por ejemplo, citaríamos que la longitud del objeto gris en la Figura\(\PageIndex{1}\) sea\(L = (2.80 ± 0.05)\) cm con base en las reglas de la Tabla 2.3.4, ya que\(2.8\) cm es el valor más cercano en la regla que coincide con la longitud del objeto y\(0.5\) mm es la mitad de la división más pequeña de la regla. Usar la mitad de la división más pequeña de la regla significa que nuestro rango de incertidumbre cubre una división completa. Tenga en cuenta que generalmente es mejor reproducir una medición para evaluar la incertidumbre en lugar de usar la mitad de la división más pequeña, aunque la mitad de la división más pequeña debería ser el límite inferior de la incertidumbre. Es decir, al repetir las mediciones y obtener la desviación estándar, se debe ver si la incertidumbre es mayor que la mitad de la de la división más pequeña, no menor.
La incertidumbre relativa en un valor medido se da dividiendo la incertidumbre por el valor central, y expresando el resultado como un porcentaje. Por ejemplo, la incertidumbre relativa en\(t = (0.76 ± 0.15)\) s viene dada por\(0.15/0.76 = 20\)%. La incertidumbre relativa da una idea de la precisión con la que se determinó un valor. Por lo general, un valor por encima de\(10\)% significa que no fue una medición muy precisa, y generalmente consideraríamos que un valor menor a\(1\)% corresponde a una medición bastante precisa.
Fuentes aleatorias y sistemáticas de error/incertidumbre
Es importante señalar que existen dos posibles fuentes de incertidumbre en una medición. El primero se llama “estadístico” o “aleatorio” y ocurre porque es imposible reproducir exactamente una medición. Por ejemplo, cada vez que pones una regla para medir algo, podrías cambiarla ligeramente de una manera u otra, lo que afectará tu medición. La propiedad importante de las fuentes aleatorias de incertidumbre es que si reproduces la medición muchas veces, éstas tenderán a cancelarse y la media generalmente se puede determinar a alta precisión con suficientes mediciones.
La otra fuente de incertidumbre se llama “sistemática”. Las incertidumbres sistemáticas son mucho más difíciles de detectar y estimar. Un ejemplo sería tratar de medir algo con una báscula que no estuviera debidamente alquitranada (donde no se fijó el peso 0). Puede terminar con errores aleatorios muy pequeños al medir los pesos del objeto (medidas muy repetibles), pero le resultaría difícil notar que todos sus pesos estaban compensados en cierta cantidad a menos que tuviera acceso a una segunda escala. Algunos ejemplos comunes de incertidumbres sistemáticas son: equipos calibrados incorrectamente, error de paralaje al medir la distancia, tiempos de reacción al medir el tiempo, efectos de la temperatura en los materiales, etc.
Como recordatorio, queremos enfatizar la diferencia entre “error” y “error” en el contexto de hacer mediciones. La “incertidumbre” o “error” en una medición proviene del hecho de que es imposible medir nada con una precisión infinita. Un “error” también afecta una medición, pero es prevenible. Si ocurre un “error” en la física, el experimento generalmente se vuelve a hacer y los datos anteriores se descartan. El término “error humano” nunca debe usarse en un reporte de laboratorio ya que implica que se cometió un error. En cambio, si piensas que has medido el tiempo de manera imprecisa, por ejemplo, refiérase al tiempo de reacción humana, no al “error humano”.
El cuadro 2.3.4 muestra ejemplos de fuentes de error que los estudiantes suelen llamar “error humano” pero que en cambio deberían describirse con mayor precisión.
Situación | Fuente de error |
---|---|
Mientras tomaba medidas, su línea de visión no era completamente paralela al dispositivo de medición. | Esto es un error de paralaje, un tipo de error sistemático. |
Usted realizó cálculos incorrectamente. | ¡Error! Rehacer los cálculos. |
Una corriente de viento en el laboratorio alteró ligeramente la dirección de tu bola rodando por una pendiente. | Se trata de un efecto/error ambiental - podría ser aleatorio o sistemático, dependiendo de si siempre tuvo el mismo efecto. |
Tu mano se deslizó mientras sostenía la regla - ¡el objeto se midió para que fuera el doble de su tamaño original! | ¡Error! Rehacer este experimento y descartar los datos. |
Al cronometrar un experimento, no presionas el botón “STOP” exactamente cuando el experimento se detiene. | Error de tiempo de reacción - generalmente un error sistemático (el tiempo se mide usalmente más largo de lo que es). |
Propagación de incertidumbres
Volviendo a los datos del Cuadro 2.3.2, encontramos que para una altura de caída conocida de\(x = 3\) m, se midieron diferentes valores del tiempo de caída, que encontramos que fueron\(t = (0.76 ± 0.15)\) s (usando la media y la desviación estándar). También calculamos un valor de\(k\) correspondiente a cada valor de\(t\), y se encontró\(k = (0.44 ± 0.09) \text{s m}^{−\frac{1}{2}}\) (Ejemplo 2.3.1).
Supongamos que no tuvimos acceso a los valores individuales de t, sino solo al valor de t = (0.76 ± 0.15) s con incertidumbre. ¿Cómo calculamos un valor para k con incertidumbre? Para responder a esta pregunta, necesitamos saber cómo “propagar” las incertidumbres en un valor medido a la incertidumbre en un valor derivado del valor medido. Presentamos brevemente diferentes métodos para propagar incertidumbres, antes de abogar por el uso de computadoras para hacer los cálculos por usted.
1. Estimar usando incertidumbres relativas
La incertidumbre relativa en una medición nos da una idea de la precisión con la que se determinó un valor. Cualquier cantidad que dependa de esa medición debe tener una precisión similar; es decir, esperamos que la incertidumbre relativa en\(k\) sea similar a la de\(t\). Porque\(t\), vimos que la incertidumbre relativa fue aproximadamente\(20\)%. Si tomamos el valor central\(k\) de como el valor central de\(t\) dividido por\(\sqrt{x}\), encontramos:
\(k=\frac{(0.76\text{ s}}{\sqrt{(3\:\text{m})}}=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Como esperamos que la incertidumbre relativa en\(k\) sea aproximadamente\(20\)%, entonces la incertidumbre absoluta viene dada por:
\(\sigma_{k}=(0.2)k=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
que se aproxima al valor obtenido al promediar los cinco valores de\(k\) la Tabla 2.3.2.
2. El método Min-Max
Una forma pedagógica de determinar\(k\) y su incertidumbre es utilizar el “método Min-Max”. Ya que\(k = t/\sqrt{x}\),\(k\) será el más grande cuando t es el más grande, y el más pequeño cuando\(t\) es el más pequeño. Podemos así determinar los valores “mínimo” y “máximo” de\(k\) correspondientes al valor mínimo de\(t\),\(t ^{\text{min}} = 0.61\) s y el valor máximo de\(t, t^{\text{max}} = 0.91\) s:
\(\begin{aligned} k^{min}&=\frac{t^{min}}{\sqrt{x}}=\frac{0.61}{\sqrt{(3m)}}=0.35\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \\ k^{max}&=\frac{t^{max}}{\sqrt{x}}=\frac{0.91\:s}{\sqrt{(3m)}}=0.53\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
Esto nos da el rango de valores de\(k\) que corresponden al rango de valores de\(t\). Podemos elegir el medio del rango como el valor central\(k\) y la mitad del rango como la incertidumbre:
\(\begin{aligned} \overline{k}&=\frac{1}{2}(k^{min}+k^{max})=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \\ \sigma_{k}&=\frac{1}{2}(k^{max}-k^{min})=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \\ \therefore k &=(0.44\pm 0.09)\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
que, en este caso, da el mismo valor que el obtenido al promediar los valores individuales de\(k\). Si bien el método Min-Max es útil para ilustrar el concepto de propagación de incertidumbres, generalmente no lo usamos en la práctica ya que tiende a sobreestimar la incertidumbre.
3. El método derivado
En el ejemplo anterior, asumimos que el valor de\(x\) se conocía con precisión (y elegimos\(3\) m), lo que por supuesto no es realista. Supongamos que hemos medido\(x\) a dentro de\(1\) cm para que\(x = (3.00 ± 0.01)\) m. La tarea ahora es calcular\(k = \frac{t}{\sqrt{x}}\) cuándo ambos\(x\) y\(t\) tener incertidumbres.
El método derivado nos permite propagar la incertidumbre de manera general, siempre y cuando las incertidumbres relativas en todas las cantidades sean “pequeñas” (menores de\(10-20\)%). Si tenemos una función,\(F(x, y)\) que depende de múltiples variables con incertidumbres (e.g.\(x±σ_{x}, y ±σ_{y}\)), entonces el valor central y la incertidumbre en\(F(x, y)\) vienen dados por:
\[\overline{F}=F(\overline{x}, \overline{y})\]
\[\sigma_{F}=\sqrt{\left(\frac{∂F}{∂x}\sigma_{x} \right)^{2}+\left( \frac{∂F}{∂y}\sigma_{y} \right)^{2}}\]
Es decir, el valor central de la función\(F\) se encuentra evaluando la función en los valores centrales de\(x\) y\(y\). La incertidumbre en\(F\),\(σ_{F}\), se encuentra tomando la suma en cuadratura de las derivadas parciales de\(F\) evaluadas en los valores centrales de\(x\) y\(y\) multiplicada por las incertidumbres en las variables correspondientes de las que\(F\) depende. La incertidumbre contendrá un término en la suma por variable de la que\(F\) depende.
En el apéndice D, te mostraremos cómo calcular esto fácilmente con una computadora, así que no te preocupes por ponerte cómodo con derivados parciales (¡todavía!). Nótese que la derivada parcial\(\frac{∂F}{∂x}\),, es simplemente la derivada de\(F(x,y)\) relativa a\(x\) evaluada como si\(y\) fuera una constante. También, cuando decimos “sumar en cuadratura”, nos referimos a cuadrar las cantidades, agregarlas, y luego tomar la raíz cuadrada (igual que harías para calcular la hipotenusa de un triángulo de ángulo recto).
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Utilice el método derivado para evaluar\(k = \frac{t}{\sqrt{x}}\) para\(x = (3.00 ± 0.01)\) m y\(t = (0.76 ± 0.15)\) s.
Solución:
Aquí,\(k = k(x, t)\) es una función de ambos\(x\) y\(t\). El valor central se encuentra fácilmente usando los valores centrales para\(x\) y\(t\):
\(\overline{k}=\frac{t}{\sqrt{x}}=\frac{(0.76\text{ s})}{\sqrt{(3\text{ m})}}=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
A continuación, necesitamos determinar y evaluar la derivada parcial de\(k\) con respecto a\(t\) y\(x\):
\(\begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\text{ m})}}=0.58\text{m}^{-\frac{1}{2}} \\ \frac{\partial k}{\partial t}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}(0.76\text{ s})(3.00\text{ m})^{-\frac{3}{2}}=-0.073\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
Y finalmente, enchufamos esto en la suma de cuadratura para obtener la incertidumbre en\(k\):
\(\begin{aligned} \sigma_{k}&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_{x} \right)^{2}+\left( \frac{\partial k}{\partial t}\sigma_{t} \right)^{2}} \\ &=\sqrt{\left((0.073\text{sm}^{-\frac{3}{2}})(0.01\text{m}) \right)^{2}+\left((0.58\text{m}^{-\frac{1}{2}})(0.15\text{s}) \right)^{2}} \\ &=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
Entonces encontramos que:
\(k = (0.44 ± 0.09) \text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
lo cual es consistente con lo que encontramos con los otros dos métodos.
Discusión:
Deberíamos preguntarnos si el valor que encontramos es razonable, ya que también incluimos una incertidumbre en\(x\) y esperaríamos una incertidumbre mayor que en los cálculos anteriores donde solo teníamos una incertidumbre en\(t\). La razón por la que la incertidumbre en se\(k\) ha mantenido igual es que la incertidumbre relativa en\(x\) es muy pequeña,\(\frac{0.01}{3.00} ∼ 0.3\)%, por lo que aporta muy poco en comparación con el\(20\)% de incertidumbre de\(t\).
El método derivado conduce a algunos atajos simples al propagar las incertidumbres para operaciones simples, como se muestra en la Tabla 2.4.1. Algunas reglas a tener en cuenta:
- Las incertidumbres deben combinarse en cuadratura
- Para sumar y restar, sumar las incertidumbres absolutas en cuadratura
- Para multiplicación y división, sumar las incertidumbres relativas en cuadratura
Operación para obtener\(z\) | Incertidumbre en\(x\) |
---|---|
\ (z\) ">\(z=x+y\) (adición) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\) |
\ (z\) ">\(z=x-y\) (resta) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\) |
\ (z\) ">\(z=xy\) (multiplicación) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=xy\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\) |
\ (z\) ">\(z=\frac{x}{y}\) (división) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\frac{x}{y}\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\) |
\ (z\) ">\(z=f(x)\) (una función de\(1\) variable) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\left| \frac{df}{dx}\sigma_{x} \right|\) |
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Hemos medido que una llama puede cubrir una distancia de\((20.0 ± 0.5)\) m en\((4.0 ± 0.5)\) s. ¿Cuál es la velocidad (con incertidumbre) de la llama?
- Contestar
Uso de gráficos para visualizar y analizar datos
El cuadro 2.3.6 a continuación reproduce nuestras medidas de cuánto tiempo tardó\((t)\) un objeto en caer una cierta distancia,\(x\). La teoría de la gravedad de Chloe predijo que los datos deberían ser descritos por el siguiente modelo:
\(t=k\sqrt{x}\)
donde\(k\) fue una constante indeterminada de proporcionalidad.
\(x\)\([\text{m}]\) | \(t\)\([\text{s}]\) | \(\sqrt{x}\:[\text{m}^{\frac{1}{2}}]\) | \(k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) |
---|---|---|---|
\ (x\)\([\text{m}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(1.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.33\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ text {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)” style="vertical-align: middle; ">\(1.00\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.33\) |
\ (x\)\([\text{m}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(2.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.74\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ text {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)” style="vertical-align: middle; ">\(1.41\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.52\) |
\ (x\)\([\text{m}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(3.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.67\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ text {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)” style="vertical-align: middle; ">\(1.73\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.39\) |
\ (x\)\([\text{m}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(4.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(1.07\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ text {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)” style="vertical-align: middle; ">\(2.00\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.54\) |
\ (x\)\([\text{m}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(5.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="vertical-align: middle;" >\(1.10\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ text {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)” style="vertical-align: middle; ">\(2.24\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="vertical-align: middle;" >\(0.49\) |
La forma más fácil de visualizar y analizar estos datos es trazarlos en una gráfica. En particular, si trazamos (gráfico)\(t\) versus\(\sqrt{x}\), esperamos que los puntos caigan en una línea recta que pasa por cero, con una pendiente de\(k\) (si los datos son descritos por la Teoría de Chloe). En el Apéndice D, te mostramos cómo puedes trazar fácilmente estos datos usando el lenguaje de programación Python así como encontrar la pendiente y el desplazamiento de la línea que mejor se ajuste a los datos, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).
Al trazar datos y ajustarlos a una línea (u otra función), es importante asegurarse de que los valores tengan al menos una incertidumbre en la cantidad que se está trazando en el\(y\) eje. En este caso, hemos asumido que todas las mediciones del tiempo tienen una incertidumbre de\(0.15\) s y que las mediciones de la distancia no tienen (o despreciables) incertidumbres.
Ya que esperamos que la pendiente de los datos sea\(k\), encontrar la línea de mejor ajuste nos proporciona un método para determinar\(k\) usando todos los puntos de datos. En este caso, nos encontramos con eso\(k = (0.61 ± 0.13) \text{sm}^{−\frac{1}{2}}\). Realizar un ajuste lineal de los datos es la mejor manera de determinar una constante de proporcionalidad entre las mediciones. Tenga en cuenta que esperamos que la intercepción sea igual a cero según nuestro modelo, pero la línea de mejor ajuste tiene una intercepción de\((−0.24 ± 0.22)\) s, que está ligeramente por debajo, pero consistente, con cero. A partir de estos datos, concluimos que nuestras mediciones son consistentes con la Teoría de Chloe. Nuevamente, recordemos que nunca podremos confirmar una teoría, sólo podemos excluirla; en este caso, no podemos excluir la Teoría de Chloe.
Informes de valores medidos
Ahora que sabes atribuir una incertidumbre a una cantidad medida y luego propagar esa incertidumbre a una cantidad derivada, estás listo para presentar tu medida al mundo. Para llevar a cabo una “buena ciencia”, sus mediciones deben ser reproducibles, claramente presentadas y descritas con precisión. Aquí hay reglas generales a seguir al informar un número medido:
- Indicar las unidades, preferiblemente unidades SI (use unidades SI derivadas, como newtons, cuando corresponda).
- Incluya una descripción de cómo se determinó la incertidumbre (si se trata de una medición directa, ¿cómo eligió la incertidumbre? Si se trata de una cantidad derivada, ¿cómo propagó la incertidumbre?).
- No mostrar más de\(2\) “dígitos significativos” 4 en la incertidumbre y formatear el valor central al mismo decimal que la incertidumbre.
- Utilice la notación científica cuando sea apropiado (generalmente números mayores\(1000\) o menores que\(0.01\)).
- Factorizar la potencia\(10\) del valor central y la incertidumbre (por ejemplo,\((10123 ± 310)\) m se presentaría mejor como\((10.12 ± 0.31) × 10^{3}\) m o\((101.2 ± 3.1) × 10^{2}\) m).
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Alguien ha medido la altura promedio de las mesas en el laboratorio para ser\(1.0535\) m con una desviación estándar de\(0.0525\) m. ¿Cuál es la mejor manera de presentar esta medida?
- \((1.0535 ± 0.0525)\)m
- \((1.054 ± 0.053)\)m
- \((105.4 ± 5.3) × 10^{−2}\)m
- \((105.35 ± 5.25)\)cm
- Contestar
Comparando modelo y medida-discutiendo un resultado
Para avanzar en la ciencia, hacemos mediciones y las comparamos con una teoría o modelo de predicción. Por lo tanto, necesitamos una manera precisa y consistente de comparar las mediciones entre sí y con predicciones. Supongamos que hemos medido un valor para la constante de Chloe\(k = (0.44 ± 0.09)\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\). Por supuesto, la teoría de Chloe no predice un valor para\(k\), sólo que el tiempo de caída es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia caída. La Teoría Universal de la Gravedad de Isaac Newton sí predice un valor para\(k\) de\(0.45\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) con incertidumbre insignificante. En este caso, dado que el valor modelo (teórico) cae fácilmente dentro del rango dado por nuestra incertidumbre, diríamos que nuestra medición es consistente (o compatible) con la predicción teórica.
Supongamos que, en cambio, habíamos medido\(k = (0.55 ± 0.08)\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) para que el valor más bajo compatible con nuestra medición,\(k = 0.55\text{sm}^{-\frac{1}{2}} − 0.08\text{sm}^{-\frac{1}{2}} = 0.47\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\), no sea compatible con la predicción de Newton. ¿Concluiríamos que nuestra medición invalida la teoría de Newton? La respuesta es: depende... De qué “depende” siempre se debe discutir cada vez que presente una medición (incluso si sucedió que su medición es compatible con una predicción -tal vez eso fue una casualidad). A continuación, enumeramos algunos puntos comunes que deben abordarse al presentar una medición que lo guiará a decidir si su medición es consistente con una predicción:
- ¿Cómo se determinó y/o propagó la incertidumbre? ¿Fue esto razonable?
- ¿Existen efectos sistemáticos que no se tuvieron en cuenta a la hora de determinar la incertidumbre? (ej., tiempo de reacción, paralaje, algo difícil de reproducir).
- ¿Son razonables las incertidumbres relativas basadas en la precisión que razonablemente esperarías?
- ¿Qué suposiciones se hicieron al calcular su valor medido?
- ¿Qué supuestos se hicieron para determinar la predicción del modelo?
En lo anterior, nuestro valor de\(k = (0.55 ± 0.08)\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) es el resultado de propagar la incertidumbre en la\(t\) que se encontró utilizando la desviación estándar de los valores de\(t\). Por lo tanto, es concebible que el verdadero valor de\(t\), y por lo tanto de\(k\), esté fuera del rango que citamos. Dado que nuestro valor de\(k\) sigue siendo bastante cercano al valor teórico, no pretenderíamos haber invalidado la teoría de Newton con esta medición. Nuestra incertidumbre en\(k\) es\(σ_{k} = 0.08\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\), y la diferencia entre nuestro valor medido y el teórico es solo\(1.25σ_{k}\), muy cerca del valor de la incertidumbre.
De manera similar, discutiríamos si dos mediciones diferentes, cada una con una incertidumbre, son compatibles. Si los rangos dados por las incertidumbres en dos valores se superponen, entonces son claramente consistentes y compatibles. Si, por otro lado, los rangos no se superponen, podrían ser inconsistentes o la discrepancia podría ser en su lugar el resultado de cómo se determinaron las incertidumbres y las mediciones aún podrían considerarse consistentes.
Notas al pie
1. En la práctica, la desviación estándar es una estimación excesivamente conservadora del error y utilizaríamos el error en la media, que es la desviación estándar dividida por la raíz cuadrada del número de mediciones.
2. Los dígitos significativos son aquellos que excluyen los ceros a la izquierda y al final.