4.2: Movimiento en tres dimensiones

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El gran reto fue ampliar nuestra descripción del movimiento de una dimensión a dos. Agregar una tercera dimensión termina siendo trivial ahora que sabemos usar vectores. En tres dimensiones, describimos la posición de un punto usando tres coordenadas, por lo que todos los vectores simplemente tienen tres componentes independientes, pero son tratados exactamente de la misma manera que en el caso bidimensional. La posición de un objeto se describe ahora por tres funciones independientes,\(x(t)\),\(y(t)\),\(z(t)\), que componen los tres componentes de un vector de posición\(\vec r(t)\):

\[\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z\end{aligned}\]

El vector de velocidad ahora tiene tres componentes y se define de manera análoga al caso 2D:

\[\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \nonumber \end{aligned}\]

y la aceleración se define de manera similar:

\[\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \nonumber \end{aligned}\]

En particular, si un objeto tiene una aceleración constante,\(\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z\), y comenzó en\(t=0\) con una posición\(\vec r_0\) y velocidad\(\vec v_0\), entonces su vector de velocidad viene dado por:

\[\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\\end{aligned}\]

y el vector de posición viene dado por:

\[\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac{1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac{1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\\end{aligned}\]

donde de nuevo, vemos cómo escribir una sola ecuación vectorial (e.g.\(\vec v(t) = \vec v_0+\vec at\)) es realmente solo una manera de escribir las tres ecuaciones independientes que son verdaderas para cada componente.