20.8: Problemas y soluciones de la muestra

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Un circuito RC simple como se muestra en la Figura$\PageIndex{1}$ contiene un condensador cargado de capacitancia desconocida$C$,, en serie con una resistencia,$R=2\Omega$. Cuando se carga, la diferencia de potencial entre los terminales del condensador es$9\text{V}$.

En el momento$t=0\text{s}$, el interruptor,$S$, está cerrado, permitiendo que el condensador se descargue a través de la resistencia. Luego se mide la corriente para que esté$I = 0.05\text{A}$ en$t = 5\text{s}$ después de abrir el interruptor.

1. ¿Cuál es la capacitancia del condensador?
2. ¿A qué carga aguantó el condensador$t = 2\text{s}$?

Figura$\PageIndex{1}$: Un circuito simple con una resistencia y un condensador.

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a. En este caso, el condensador se está descargando en función del tiempo. En el momento$t=0$, el voltaje a través del condensador es$\Delta V=9\text{V}$. Podemos modelar este circuito de descarga de manera similar a como modelamos el circuito de carga.

Comenzamos con la regla de unión de Kirchhoff, que conduce a una ecuación diferencial para la carga almacenada en el condensador$Q(t)$,, en función del tiempo: $$\begin{aligned} \Delta V - IR &=0\\ \frac{Q}{C} - IR &=0\\ \frac{Q}{C} - \frac{dQ}{dt}R &=0\\ \therefore \frac{dQ}{dt} = -\frac{1}{RC}Q\end{aligned}$$ Esta ecuación diferencial es sencilla de resolver, ya que dice que la derivada de$Q(t)$ es igual a un constante multiplicada por$Q(t)$. Así,$Q(t)$, debe ser una función exponencial: $$\begin{aligned} Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}$$ donde,$Q_0$, es la carga (desconocida) en el condensador a$t=0$. Se puede verificar fácilmente que tomar la derivada de esta ecuación dará como resultado que la ecuación diferencial sea satisfecha.

La corriente,$I(t)$, en función del tiempo viene dada por: $$\begin{aligned} I &=\frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q=\frac{Q_0}{RC} e^{-\frac{t}{RC}}=I_0e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}$$ donde$I_0=\frac{Q_0}{RC}$ esta la corriente en$t=0$.

También sabemos que la corriente a través de la resistencia at$t=0$ viene dada por la Ley de Ohm, ya que, en ese momento, el voltaje,$\frac{Q_0}{C}=9\text{V}$: $$\begin{aligned} I_0=\frac{Q_0}{RC}=\frac{(9\text{V})}{(2\Omega)}=4.5\text{A}\end{aligned}$$

Entonces sabemos que la corriente, en el tiempo$t=5\text{s}$, es igual a$I(5)=0.05\text{A}$, lo que nos permite determinar la capacitancia: $$\begin{aligned} I(5)&=I_0e^{-\frac{t}{RC}}\\ \ln\left( \frac{I(5)}{I_0} \right)&=-\frac{t}{RC}\\ \therefore C&=\frac{t}{R \ln\left( \frac{I_0}{I(5)} \right)}=\frac{(5\text{s})}{(2\Omega)\ln\left( \frac{(4.5\text{A})}{(0.05\text{A})} \right)}=0.56\text{F}\end{aligned}$$

b. para encontrar la carga almacenada en el condensador en$t = 2\text{s}$, podemos usar la función$Q(t)$ que determinamos antes: $$\begin{aligned} Q(t=2\text{s})=Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}$$ donde podemos determinar,$Q_0$, ahora que conocemos la capacitancia. $Q_0$es la carga en el condensador en el momento$t=0$, cuando el voltaje a través del condensador es$9\text{V}$: $$\begin{aligned} Q_0=C\Delta V = (0.56\text{F})(9\text{V})=5.0\text{C}\end{aligned}$$ At$t = 2\text{s}$, la carga en el condensador es así: $$\begin{aligned} Q(t = 2\text{s})=(5.0\text{C})e^{-\frac{(2\text{s})}{(2\Omega)(0.56\text{F})}}=0.84\text{C}\end{aligned}$$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Un voltímetro con una resistencia de$R_V = 20\text{k}\Omega$ está unido a un circuito con una batería de voltaje desconocido y dos resistencias con una resistencia de$R = 2.5\text{k}\Omega$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$. El voltímetro lee que la caída de voltaje sobre una de las resistencias es$\Delta V_{vm} =5.647\text{V}$. ¿Cuál es la caída de voltaje$V_R$,, sobre cada resistor cuando se retira el voltímetro del circuito?

Figura$\PageIndex{2}$: Un circuito con una batería de voltaje desconocido.

Contestar

Para conocer el voltaje a través de una de las resistencias, necesitamos determinar el voltaje que está a través de la batería. Una vez que hayamos determinado el voltaje a través de la batería, el voltaje a través de una de las resistencias solo será la mitad de ese a través de la batería, ya que las dos resistencias tienen la misma resistencia.

Podemos modelar el circuito con el voltímetro en su lugar, ya que conocemos el voltaje a través de la combinación paralela del voltímetro y la resistencia (ese voltaje que es leído por el voltímetro). Podemos combinar el voltímetro y una de las resistencias en una resistencia equivalente,$R_{eff}$: $$\begin{aligned} R_{eff} &= \frac{1}{R_V^{-1}+R^{-1}}\\ R_{eff} &= \frac{1}{(20\text{k}\Omega)^{-1}+(2.5\text{k}\Omega)^{-1}}\\ R_{eff} &= 2.22\text{k}\Omega\\\end{aligned}$$ Ahora que tenemos la resistencia efectiva así como la caída de voltaje a través de esa resistencia efectiva, podemos resolver la corriente a través del circuito: $$\begin{aligned} I &= \frac{\Delta V_{vm}}{R_{eff}}\\ I &= \frac{5.647\text{V}}{2.22\text{k}\Omega}\\ I &= 2.541\text{mA}\\\end{aligned}$$ Ahora que tenemos la corriente a través del circuito, podemos determinar la caída de voltaje a través de la segunda resistencia. Al agregar esa caída de voltaje al voltaje conocido a través de la resistencia efectiva, podemos determinar el voltaje de la batería: $$\begin{aligned} \Delta V_{battery} &= I(R_{eff}+R)\\ \Delta V_{battery} &= (2.541\text{mA})(2.222\text{k}\Omega+2.5\text{k}\Omega)\\ \Delta V_{battery} &= 12\text{V}\\\end{aligned}$$ Así, sin voltímetro presente, el voltaje a través de cada resistencia es$6\text{V}$.