24.11: Problemas y soluciones de la muestra

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El Sol es alimentado por reacciones de fusión nuclear en las que, predominantemente, los átomos de hidrógeno se fusionan en átomos de helio. Dentro del Sol, el material, en su mayoría hidrógeno, está en forma de plasma, donde los electrones no están unidos a los núcleos de sus átomos. Efectivamente, se pueden modelar las reacciones de fusión solar ¹ como:\[\begin{aligned} 4p + 2e^- \to \alpha + 2\nu\end{aligned}\] donde los cuatro protones corresponden a los núcleos de cuatro átomos de hidrógeno,\(\alpha\) es el núcleo de un átomo de helio, con dos neutrones y dos protones, y los dos\(\nu\) son neutrinos, partículas con prácticamente cero masa. La reacción anterior es exotérmica, y libera energía, porque la masa total de partículas a la derecha es menor que la masa total de la izquierda. Dado que la masa de un protón es\(m_p=938.3\text{MeV/c}^{2}\), la masa de un electrón es\(m_e=0.511\text{MeV/c}^{2}\), y la masa de la partícula alfa es\(m_\alpha=3727.4\text{MeV/c}^{2}\), ¿cuánta energía (dentro y dentro) se libera en cada reacción de fusión?

Contestar

Para determinar la cantidad de energía liberada en cada reacción, necesitamos determinar la diferencia de masa entre los dos lados de la ecuación: En el\[\begin{aligned} 4p + 2e^- \to \alpha + 2\nu\end{aligned}\] lado izquierdo, la masa total es:\[\begin{aligned} M_{LHS}=4m_p+2m_e=4(938.3\text{MeV/c}^{2})+2(0.511\text{MeV/c}^{2})=3754.22\text{MeV/c}^{2}\end{aligned}\] mientras que en el lado derecho, la masa total es:\[\begin{aligned} M_{RHS}=m_\alpha=3727.4\text{MeV/c}^{2}\end{aligned}\] Así, la energía total liberada en cada reacción viene dada por:\[\begin{aligned} E &= c^2\Delta M = c^2(M_{LHS}-M_{RHS})=c^2((3754.22\text{MeV/c}^{2})-(3727.4\text{MeV/c}^{2}))\\ &=26.8\text{MeV}=4.29\times 10^{-12}\text{J}\end{aligned}\] donde mostramos la respuesta en ambos y. Si bien puede no parecer tanta energía por reacción, hay que tener en cuenta que hay reacciones de orden por segundo en el Sol, correspondientes a una potencia de salida de orden\(4\times 10^{26}\text{W}\), suficiente para mantenernos calientes en el verano.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Un protón es medido por un científico para tener una energía total de\(2.5\times 10^{3}\text{MeV}\).

1. ¿Cuál es la velocidad del protón?
2. ¿Hasta dónde viaja el protón (en el laboratorio) cuando\(1\text{s}\) pasa en el marco de referencia del científico?
3. ¿Hasta dónde viaja el protón (en el laboratorio) cuando\(1\text{s}\) pasa en el marco de referencia del protón?

Contestar

a. a partir de la energía total, podemos calcular el factor gamma, que nos dará la velocidad del protón (en el marco de referencia del científico):

\[\begin{aligned} E &= \gamma m_0 c^2\\ \frac{1}{\gamma} &= \frac{m_0c^2}{E}\\ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} &= \frac{m_0c^2}{E}\\ \frac{v^2}{c^2} &= 1 - \frac{m_0^2c^4}{E^2}\\ \therefore v &= \left(\sqrt{1-\frac{m_0c^4}{E^2}}\right) c\\ &= 0.92c\\ &=\left(\sqrt{1-\frac{(938.3\text{Mev/c}^{2})^{2}c^{4}}{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})^{2}}} \right)c \\ &=\left(\sqrt{1-\frac{(938.3\text{Mev})^{2}}{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})^{2}}} \right)c \\ &= 2.76\times 10^{8}\text{m/s}\\\end{aligned}\]

b. en el marco del laboratorio, cuando pase un segundo, el protón recorrerá una distancia:\[\begin{aligned} d = vt = (2.76\times 10^{8}\text{m/s})(1\text{s})=2.76\times 10^{8}\text{m}\end{aligned}\]

c. Para saber qué tan lejos viaja el protón en el laboratorio cuando pasa un segundo del tiempo adecuado en el marco de referencia del protón, necesitamos determinar cuánto tiempo pasó en el marco de referencia del laboratorio.

El factor gamma para el protón se puede obtener de la velocidad que determinamos en la parte a), o de la energía total directamente:\[\begin{aligned} \gamma = \frac{E}{m_0c^2}=\frac{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})}{(938.3\text{MeV/c}^{2})c^2}=\frac{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})}{(938.3\text{MeV})}=2.66\end{aligned}\] Así, cuando\(\Delta t=1\text{s}\) transcurre en el marco de referencia del protón, un tiempo dilatado,\(\Delta t'\), transcurre en el marco de referencia de laboratorio: \[\begin{aligned} \Delta t' = \gamma \Delta t = 2.66\text{s}\end{aligned}\]En el marco del laboratorio, el protón recorrerá una distancia:\[\begin{aligned} d = vt = (2.76\times 10^{8}\text{m/s})(2.66\text{s})=7.34\times 10^{8}\text{m}\end{aligned}\]

Notas al pie

1. En realidad, hay muchas más reacciones involucradas en pasar del hidrógeno al helio.