25.5: Resumen

Principales conclusiones

Los sistemas de coordenadas cartesianas se pueden definir usando un origen, y ejes mutuamente perpendiculares que especifican una dirección en la que cada coordenada correspondiente aumenta. La posición de un punto es descrita por las coordenadas del punto (una coordenada por eje). Los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos se pueden definir en relación con un sistema de coordenadas cartesianas y a veces facilitan la descripción de situaciones con simetría cilíndrica (acimutal) o esférica.

Los vectores pueden ser representados por flechas y son cantidades que tienen tanto una magnitud como una dirección, a diferencia de los “escalares”, que son simplemente números. Los vectores no están fijos en el espacio, por lo que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección, independientemente de dónde se dibujen. Colocamos una pequeña flecha encima de una variable,\(\vec d\), para indicar que se trata de un vector. Hay varias notaciones, equivalentes, para indicar los componentes de un vector:\[\begin{aligned} \vec d &= (d_x,d_y, d_z)\quad&\text{row vector}\\ &=\begin{pmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z\\ \end{pmatrix}\quad&\text{column vector}\\ &= d_x\hat x +d_y \hat y +d_z \hat z\quad&\text{using }\hat x,\;\hat y,\;\hat z\\ &=d_x\hat i +d_y \hat j+d_z \hat j \quad&\text{using }\hat i,\;\hat j,\;\hat k\end{aligned}\] Si multiplicamos (dividimos) un vector por un escalar, multiplicamos (dividimos) cada componente del vector individualmente por esa cantidad. Como resultado, la magnitud del vector también se multiplicará (dividirá) por esa cantidad:\[\begin{aligned} a\vec d = \begin{pmatrix} ad_x \\ ad_y \\ ad_z \\ \end{pmatrix}\end{aligned}\] En particular, podemos definir un vector unitario,\(\hat d\), para ser un vector de longitud 1 en la misma dirección que\(\vec d\), simplemente dividiendo\(\vec d\) por su magnitud, \(d\):\[\begin{aligned} \hat d = \frac{\vec d}{d}\end{aligned}\] donde la magnitud del vector,\(||\vec d|| = d\), expresada en coordenadas cartesianas, viene dada por:\[\begin{aligned} ||\vec d|| = d =\sqrt{d_x^2+d_y^2+d_z^2}\end{aligned}\] Podemos agregar dos vectores sumando independientemente los componentes individuales de los vectores:\[\begin{aligned} \vec c &= \vec a + \vec b\\ \therefore c_x &= a_x + b_x\\ \therefore c_y &= a_y + b_y\\ \therefore c_z &= a_z + b_z\end{aligned}\] Gráficamente, esto corresponde a sumar vectores “cabeza a cola”. Esto también resalta que una ecuación escrita usando vectores (como la primera línea anterior) realmente representa tres ecuaciones independientes, una para cada coordenada de los vectores (o dos en dos dimensiones). La resta de vectores se trata de la misma manera que la suma (pero usando signos menos cuando corresponda).

Se puede definir el producto escalar (o punto) entre dos vectores, como una cantidad escalar que se obtiene de los dos vectores:\[\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\end{aligned}\] El producto escalar también se relaciona con el ángulo,\(\theta\), entre los dos vectores cuando estos se colocan “cola a cola”:\[\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b = ab\cos\theta\end{aligned}\] En particular, el escalar producto entre dos vectores es cero si los dos vectores son perpendiculares entre sí (\(\cos\theta=0\)), y máximo cuando estos son paralelos entre sí.

El vector (o cruce) producto entre dos vectores es un vector que es mutuamente perpendicular a ambos vectores y se define como lo siguiente:\[\begin{aligned} \vec a \times \vec b =\begin{pmatrix} a_yb_z - a_z b_y\\ a_zb_x - a_x b_z\\ a_xb_y - a_y b_x\\ \end{pmatrix}\end{aligned}\] El producto vectorial solo puede definirse en tres dimensiones, ya que debe ser mutuamente perpendicular a los vectores. La magnitud del producto vectorial viene dada por:\[\begin{aligned} || \vec a \times \vec b || = ab\sin\theta\end{aligned}\] donde\(\theta\) está el ángulo entre los dos vectores cuando estos se colocan cola a cola. En particular, el producto vectorial entre dos vectores es cero si los dos vectores son paralelos entre sí (y máximo cuando estos son perpendiculares). La dirección del producto vectorial viene dada por la regla de la derecha para el producto cruzado.

Se puede usar un vector axial para describir una cantidad que está relacionada con la rotación. La dirección del vector axial es colineal con el eje de rotación, su magnitud viene dada por la magnitud de la cantidad rotacional (por ejemplo, velocidad angular), y su dirección se define usando la regla de la derecha para vectores axiales.