26.6: Problemas y soluciones de la muestra

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentras que el número de clientes en tu tienda en función del tiempo viene dado por:\[\begin{aligned} N(t) = a+bt-ct^2\end{aligned}\] dónde\(a\),\(b\) y\(c\) son constantes. ¿A qué hora su tienda tiene más clientes y cuál será el número de clientes? (Dar la respuesta en términos de\(a\),\(b\) y\(c\)).

Contestar: Necesitamos encontrar el valor\(t\) para el cual la función\(N(t)\) es máxima. Esto ocurrirá cuando su derivado con respecto a\(t\) sea cero:\[\begin{aligned} \frac{dN}{dt} &= b-2ct =0\\ \therefore t &= \frac{b}{2c}\end{aligned}\] En ese momento, el número de clientes será:\[\begin{aligned} N\left( t=\frac{b}{2c} \right) &=a+bt-ct^2\\ &=a+\frac{b^2}{2c} - \frac{b^2}{4c} = a+\frac{3b^2}{4c}\end{aligned}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Se mide la velocidad,\(v(t)\), of an accelerating train as function of time, \(t\), to be given by: \[\begin{aligned} v(t)=at+bt^2\end{aligned}\] donde\(a\) y\(b\) son constantes. ¿A qué distancia se mueve el tren entre\(t=t_0\) y\(t=t_1\)?

Contestar: Se nos da la velocidad del tren en función del tiempo, que es la velocidad de cambio de su posición:\[\begin{aligned} v(t)=\frac{dx}{dt}\end{aligned}\] Necesitamos encontrar cómo su posición,\(x(t)\), cambia con el tiempo, dada la velocidad. En otras palabras, necesitamos encontrar la anti-derivada de\(v(t)\) para obtener la función para la posición en función del tiempo,\(x(t)\):\[\begin{aligned} x(t) &= \int v(t) dt = \int (at+bt^2) dt\\ &=\frac{1}{2}at^2 + \frac{1}{3}bt^3 + C\end{aligned}\] donde\(C\) es una constante arbitraria. La distancia recorrida,\(\Delta x\), entre el tiempo\(t_0\) y el tiempo\(t_1\) es simplemente la diferencia de posición en esos dos momentos:\[\begin{aligned} \Delta x &= x(t_1) - x(t_0)\\ &=\frac{1}{2}at_1^2 + \frac{1}{3}bt_1^3 + C - \frac{1}{2}at_0^2 + \frac{1}{3}bt_0^3 - C\\ &=\frac{1}{2}a(t_1^2-t_0^2) + \frac{1}{3}b(t_1^3-t_0^3)\end{aligned}\]