2.E: Fuerzas (Ejercicios)

2.1 La velocidad terminal es la velocidad máxima (constante) que alcanza un objeto que cae. En este problema, utilizamos la Ecuación (2.2.6) para la fuerza de arrastre.

1. Utilice el análisis dimensional para relacionar la velocidad terminal de un objeto que cae con los diversos parámetros relevantes.
2. Estimar la velocidad terminal de un parapente (Figura 2.3.1c).
3. Utilice el concepto de velocidad terminal para predecir si un ratón (sin paracaídas) es probable que sobreviva a una caída de una torre alta.

2.2 Cuando cocinas arroz, algunos de los granos secos siempre se adhieren a la taza medidora. Una forma común de sacarlos es voltear la taza medidora boca abajo y golpear el fondo (ahora arriba) con la mano para que los granos se salgan [32].

1. Explique por qué la fricción estática es irrelevante aquí.
2. Explique por qué la gravedad es insignificante.
3. Explica por qué funciona golpear la copa, y por qué su éxito depende de golpear la copa lo suficientemente fuerte.

2.3 Se lanza una pelota a velocidad v desde cero altura sobre terreno nivelado. Queremos encontrar el ángulo\(\theta\) en el que se debe lanzar para que se maximice el área bajo la trayectoria.

1. Croquis de la trayectoria del balón.
2. Utilice el análisis dimensional para relacionar el área con la velocidad inicial v y la aceleración gravitacional g.
3. Anote las coordenadas x e y de la bola en función del tiempo.
4. Encuentra el tiempo total que la pelota está en el aire.
5. El área bajo la trayectoria viene dada por\(A= \int y \mathrm d x\). Hacer una transformación variable para expresar esta integral como una integración a lo largo del tiempo.
6. Evaluar la integral. Su respuesta debe ser una función de la velocidad inicial v y el ángulo\(\theta\).
7. De tu respuesta en (f), encuentra el ángulo que maximiza el área, y el valor de esa área máxima. Verifique que su respuesta sea consistente con su respuesta en (b).

2.4 Si se une una masa m a un resorte dado, su periodo de oscilación es T. Si dos de esos resortes están conectados extremo a extremo, y se adjunta la misma masa m, encuentra el nuevo periodo\(T^\prime\), en términos del periodo antiguo T.

2.5 Dos bloques, de masa m y 2m, están conectados por una cuerda sin masa y se deslizan por un plano inclinado en ángulo\(\theta\). El coeficiente de fricción cinética entre el bloque más ligero y el plano es\(\mu\), y el entre el bloque más pesado y el plano es 2\(\mu\). El bloque más ligero conduce.

1. Encuentra la magnitud de la aceleración de los bloques.
2. Encuentra la tensión en la cuerda tensa.

2.6 Una embarcación de 1000 kg viaja a 100\({km} \over h\) cuando su motor está apagado. La magnitud\(F_d\) de la fuerza de arrastre entre la embarcación y el agua es proporcional a la velocidad v de la embarcación, con un coeficiente de arrastre\(\zeta=70 {{N \cdot s} \over m}\). Encuentra el tiempo que tarda el barco en desacelerar a 45\({km} \over h\).

2.7 Dos partículas en una línea son mutuamente atraídas por una fuerza f=-Ar, donde a es una constante y r la distancia de separación. En el tiempo t=0, la partícula A de masa m se localiza en el origen, y la partícula B de masa\(m \over 4\) se localiza a r=5.0 cm.

1. Si las partículas están en reposo en t=0, ¿a qué valor de r chocan?
2. ¿Cuál es la velocidad relativa de las dos partículas en el momento en que ocurre la colisión?

2.8 En las carreras de resistencia, los autos especialmente diseñados maximizan la fricción con la carretera para lograr la máxima aceleración. Considere un corredor de arrastre (o 'dragster') como se muestra en la Figura 2.E.1, para el cual el centro de masa está cerca de las ruedas traseras.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un drag racer o dragster [8], CC BY-SA 3.0.

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del dragster en vista lateral. Dibuja las ruedas como círculos y aproxima la forma del cuerpo del dragster como un triángulo con una línea horizontal entre las ruedas, una línea vertical que sube desde el eje trasero y una línea diagonal que conecta la parte superior con las ruedas delanteras. NB: ¡considere cuidadosamente la dirección de la fuerza de fricción!
2. ¿En cuál de las ruedas es la fuerza de fricción más grande?
3. La fuerza de fricción se maximiza si las ruedas simplemente no se deslizan (porque, como de costumbre, el coeficiente de fricción cinética es menor que el de la fricción estática). Encuentre la máxima fuerza de fricción posible en las ruedas traseras.
4. Encuentra la aceleración máxima posible del dragster. (e) Para un coeficiente de fricción (estática) de 1.0 (un valor bastante realista para caucho y hormigón) y una pista de 500 m, encontrar la velocidad máxima que un corredor de arrastre puede alcanzar al final de la pista al partir del reposo.

2.9 Los bloques A, B y C se colocan como se muestra en la figura, y se conectan por cuerdas de masa insignificante. Tanto A como B pesan 20.0 N cada uno, y el coeficiente de fricción cinética entre cada bloque y la superficie es 0.3. El ángulo de la pendiente\(\theta\) es igual\(42.0 ^\circ\). Los discos en las poleas son de masa insignificante. Una vez liberados los bloques, el bloque C desciende con velocidad constante.

1. Encuentra la tensión en la cuerda que conecta los bloques A y B.
2. ¿Cuál es el peso del bloque C?
3. Si se cortara la cuerda que conecta los bloques A y B, ¿cuál sería la aceleración de C?

2.10 La siguiente figura muestra un diseño común de balancín actual. Además de una viga con dos asientos, este balancín también contiene dos muelles idénticos que conectan la viga con el suelo. La distancia entre el pivote y cada uno de los muelles es de 30.0 cm, la distancia entre el pivote y cada uno de los asientos es de 1.50 m.

1. Un niño de 4 años que pesa 20.0 kg se sienta en uno de los asientos, lo que hace que baje 20.0 cm. Dibuja un diagrama de cuerpo libre del balancín con el niño, en el que incluyas todas las fuerzas relevantes (a escala).
2. Utilice su diagrama y los datos proporcionados para calcular la constante de resorte de los dos resortes presentes en el balancín.

2.11 Dos canicas de idéntica masa m y radio r se dejan caer en un contenedor cilíndrico con radio 3r, como se muestra en la figura. Encuentra la fuerza ejercida por las canicas sobre los puntos A, B y C, y la fuerza que las canicas ejercen unas sobre otras.

Figura 2.E.2. Supongamos que tiene una caja con una base cuadrada que tiene exactamente cinco naranjas de ancho. Apila 25 naranjas en la caja, luego pones otras 16 encima en los agujeros, y luego agregas una segunda capa de 25 naranjas, sostenidas en su lugar por los lados de la caja. Encuentra la fuerza total en los lados de la caja en esta configuración. Supongamos que todas las naranjas son esferas con un diámetro de 8.0 cm y una masa de 250 g.

Figura\(\PageIndex{2}\): Fruto apilado. a) Mandarinas apiladas en un puesto de frutas [9]. b) Sección transversal de naranjas apiladas en una caja.

2.13 Los objetos con densidades menores que la del agua flotan, e incluso los objetos que tienen densidades más altas son 'más ligeros' en el agua. La fuerza responsable de esto se conoce como la fuerza de flotabilidad, que es igual pero opuesta a la fuerza gravitacional sobre el agua desplazada:\(F_{\text { buoyancy }}=\rho_{w} g V_{w}\), dónde\(\rho_w\) está la densidad del agua y\(V_w\) el volumen desplazado. En las partes (a) y (b), consideramos un bloque de madera con densidad\(\rho \lt \rho_w\) que flota en el agua.

1. ¿Qué fracción del bloque de madera se sumerge al flotar?
2. Empujas hacia abajo el bloque algo más a mano, luego sueltas. El bloque entonces oscila sobre la superficie del agua. Explique por qué, y calcule la frecuencia de la oscilación.
3. Sacas el trozo de madera, y ahora flotas un trozo de hielo en un cubo de agua. Encima del hielo, colocas una pequeña piedra. Cuando todo ha dejado de moverse, se marca el nivel del agua. Entonces esperas a que el hielo se haya derretido, y la piedra haya caído al fondo del cubo. ¿Qué ha pasado con el nivel del agua? Explica tu respuesta (puedes hacerlo ya sea cualitativamente a través de un argumento o cuantitativamente a través de un cálculo).
4. Los patos de goma también flotan, pero, a pesar de que tienen un fondo plano, generalmente no permanecen erguidos en el agua. Explique por qué.
5. Se deja caer una bola de 5.0 kg con un radio de 10 cm y un coeficiente\(c_d\) de arrastre de 0.20 en agua (viscosidad\(1.002 mPa \cdot s\)). Esta bola tiene una densidad mayor que la del agua, por lo que se hunde. Después de un tiempo, alcanza una velocidad constante, conocida como su velocidad terminal. ¿Cuál es el valor de esta velocidad terminal?
6. Cuando la bola en (e) ha alcanzado la velocidad terminal, ¿cuál es el valor de su número de Reynolds (ver Problema 1.3)?

2.14 Una barra uniforme de masa M y longitud L=1.00 m tiene un peso de masa m colgando de un extremo. El palo y el peso cuelgan en equilibrio en una escala de fuerza en un punto x=20.0 cm del extremo del palo. La fuerza medida es igual a 3.00 N. Encuentra tanto la masa M del palo como m del peso.

2.15 Una varilla uniforme con una longitud de 4.25 m y una masa de 47.0 kg se fija a una pared con una bisagra en un extremo. La varilla se mantiene en posición horizontal mediante un cable unido a su otro extremo. El alambre forma un ángulo\(30.0^\circ\) con la horizontal y se atornilla a la pared directamente encima de la bisagra. Si el cable puede soportar una tensión máxima de 1250 N antes de romperse, ¿a qué distancia de la pared puede sentarse una persona de 75.0 kg sin romper el cable?

2.16 Una barra de madera de densidad uniforme pero de grosor variable cuelga suspendida de dos cuerdas de masa insignificante. Las cuerdas hacen ángulos\(\theta_1\) y\(\theta_2\) con la horizontal, como se muestra. La barra tiene masa total m y longitud L. Encuentra la distancia x entre el centro de masa de la barra y su extremo (más grueso).

2.17 Una rueda de bicicleta de radio R y masa M está en reposo contra un escalón de altura\(3R \over 4\), como se muestra en la figura. Encuentre la fuerza horizontal mínima F que debe aplicarse al eje para hacer que la rueda comience a elevarse sobre el escalón.

2.18 Un bloque de masa M se presiona contra una pared vertical, con una fuerza F aplicada en ángulo\(\theta\) con respecto a la horizontal (\(-{\pi \over 2} \lt \theta \lt {\pi \over 2}\)), como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción del bloque y la pared es\(\mu\). Comenzamos con el caso\(\theta = 0\), es decir, la fuerza es perpendicular a la pared.

1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas.
2. Si el bloque va a permanecer estacionario, la fuerza neta sobre él debe ser cero. Anote las ecuaciones para el equilibrio de fuerzas (es decir, la suma de todas las fuerzas es cero, o las fuerzas en una dirección son iguales a las fuerzas en la dirección opuesta) para las direcciones x e y.
3. A partir de las dos ecuaciones que encontraste en (b), resuelve por la fuerza F necesaria para mantener el libro en su lugar.
4. Ahora repita los pasos que diste en (a) - (c) para una fuerza bajo un ángulo dado\(\theta\), y encuentra la fuerza requerida F.
5. ¿Para qué ángulo\(\theta\) es esta fuerza mínima F la más pequeña? ¿Cuál es el valor mínimo correspondiente de F?
6. ¿Cuál es el valor limitante de\(\theta\), por debajo del cual no es posible mantener el bloqueo arriba (independientemente de la magnitud de la fuerza)?

2.19 Una piedra esférica de masa m=0.250 kg y radio R=5.0 cm se lanza verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de\(v_0 =15.0 {m \over s}\). A medida que se mueve hacia arriba, experimenta arrastre desde el aire según lo aproximado por Stokes drag\(F=6 \pi \eta R v\), donde está la viscosidad\(\eta\) del aire\(1.002 mPa \cdot s\).

1. ¿Qué fuerzas están actuando sobre la piedra mientras ésta se mueve hacia arriba?
2. Usando la segunda ley de movimiento de Newton, escribe una ecuación de movimiento para la piedra (esta es una ecuación diferencial). Ten cuidado con las señales. Pista: La segunda ley de movimiento de Newton relaciona la fuerza y la aceleración, y la fuerza de arrastre es en términos de velocidad. ¿Cuál es la relación entre ambos? Simplifica la ecuación introduciendo el tiempo característico\(\tau={m \over 6 \pi \eta R}\).
3. Encuentre una solución particular\(v_p(t)\) de su ecuación diferencial no homogénea de (19b).
4. Encuentra la solución\(v_h(t)\) de la versión homogénea de tu ecuación diferencial.
5. Usa los resultados de (19c) y (19d) y la condición inicial para encontrar la solución general v (t) de tu ecuación diferencial.
6. Desde (19e), encuentra el momento en que la piedra alcanza su altura máxima.
7. A partir de v (t), encuentra h (t) para la piedra (altura en función del tiempo). (h) Usando tus respuestas a (19f) y (19g), encuentra la altura máxima que alcanza la piedra.