9.E: Ondas (Ejercicios)

9.1 Ondas sonoras en un manantial. En la Sección 9.2, encontramos que la velocidad de una onda en una cuerda viene dada por\(v = T / \mu\), con\(T\) la tensión en la cuerda y\(\mu\) su densidad de masa (Ecuación 9.2.7).

1. Un resorte de masa m y constante de resorte k tiene una longitud no estirada\(L_0\). Encuentra una expresión para la velocidad de las olas transversales en esta primavera cuando se ha estirado a una longitud\(L\).
2. Se mide la velocidad de las olas transversales en un resorte ideal bajo estiramiento. Encuentras que a cierta longitud\(L_1\) tiene un valor\(v\), y en longitud\(2L_1\) la onda tiene valor\(3v\). Encuentra una expresión para la longitud sin estirar del resorte en términos de\(L_1\).
3. Un cable uniforme cuelga verticalmente bajo su propio peso. Demostrar que la velocidad de las olas en el cable viene dada por\(v = \sqrt{zg}\), donde\(z\) esta la distancia desde la parte inferior del cable. Se puede suponer que el estiramiento del cable es lo suficientemente pequeño como para que su densidad de masa pueda tomarse para ser uniforme.
4. Demostrar que el tiempo que tarda una onda en propagar el cable en (1c) es\(t=2 \sqrt{\frac{L}{g}}\), con\(L\) la longitud del cable.

9.2 En aguas profundas, la velocidad de las olas superficiales depende de su longitud de onda:

\[v=\sqrt{\frac{\lambda g}{2 \pi}} \label{9.22}\]

1. Además de las imágenes satelitales, las tormentas en alta mar también se pueden detectar observando las olas en la playa. La ecuación\ ref {9.22} nos dice que las olas de mayor longitud de onda viajarán más rápido, por lo que la llegada de tales olas, si su amplitud es alta, es un presentimiento de la posible llegada de una tormenta (siendo la fricción entre el viento y el agua la fuente de las olas). Así, una tormenta típica puede detectarse a una distancia de 500 km, y viajar a 50 km/h, supongamos que las olas detectadas tienen crestas separadas 200 m. Estimar el intervalo de tiempo entre la detección de estas olas y la llegada de la tormenta (en el caso de que la tormenta se mueva recto hacia la playa).
2. En aguas poco profundas, la velocidad de las olas superficiales se vuelve (en primer orden) independiente de la longitud de onda, pero escala con la profundidad del agua en su lugar\[v=\sqrt{g d}\]. Al lado de las tormentas, una posible fuente de olas superficiales en el océano son los sismos submarinos. Si bien las tormentas suelen ser más peligrosas en el mar, las olas generadas por los sismos son más peligrosas en tierra, ya que pueden resultar en tsunamis: enormes restos de olas que transportan mucha energía. En mar abierto, la amplitud de las olas que crearán el tsunami puede ser modesta, del orden de 1 m. ¿Qué pasará con la velocidad, amplitud y longitud de onda de esta ola cuando se acerque a la tierra?

9.3 Debido a que la ecuación de onda es lineal, cualquier combinación lineal de soluciones vuelve a ser una solución; esto se conoce como el principio de superposición, ver Sección 9.4. Consideraremos varios ejemplos de superposición en este problema. Primero, considere las dos ondas viajeras sinusoidales unidimensionales\(u_{\pm}(x, t)=A \sin (k x \pm \omega t)\)

1. ¿Qué ola viaja en qué dirección?
2. Encuentra una expresión para la onda combinada,\(u(x, t)=u_{+}(x, t)+u_{-}(x, t)\). Puedes usar eso\(\sin(\alpha) + \sin (\beta)=2 \sin ((\alpha+\beta) / 2) \cos ((\alpha-\beta) / 2)\).
3. La onda combinada es una onda estacionaria, ¿cómo se puede decir?
4. Encuentra las posiciones en las que\(u(x,t) = 0\) para todos\(t\). Estos son conocidos como los nodos de la onda estacionaria.
5. Encuentra las posiciones en las que\(u(x,t)\) alcanza su valor máximo. Estos son conocidos como los antinodos de la onda estacionaria.

A continuación, considere dos ondas sinusoidales que tienen la misma frecuencia angular\(\omega\)\(k\), número de onda y amplitud\(A\), pero difieren en fase:\[u_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \quad \text { and } \quad u_{2}(x, t)=A \cos (k x-\omega t+\phi)\]

1. Mostrar que la superposición de estas dos ondas es también una onda armónica simple (es decir, sinusoidal), y determinar su amplitud en función de la diferencia de fase\(\phi\).

Finalmente considere dos fuentes de sonido que tengan frecuencias ligeramente diferentes. Si escuchas estos, notarás que el sonido aumenta y disminuye de intensidad periódicamente: exhibe un patrón de latido, debido a la interferencia de las dos ondas en el tiempo. En caso de que las dos fuentes puedan describirse como emitiendo sonido de acuerdo con armónicos simples con amplitudes idénticas, sus ondas en su posición pueden ser descritas por\(u_{1}(t)=A \cos \left(\omega_{1} t\right) \text { and } u_{2}(t)=A \cos \left(\omega_{2} t\right)\).

1. Encuentra una expresión para la onda resultante que estás escuchando.
2. ¿Cuál es la frecuencia de los latidos que estás escuchando? NB: debido a que el oído humano no es sensible a la fase, sólo a la amplitud o intensidad del sonido, sólo se escucha el valor absoluto de la envolvente. ¿Qué efecto tiene esto en la frecuencia observada?
3. Pones un poco de agua en una botella de refresco de vidrio, y la pones junto a un diapasón de 440 Hz. Cuando golpeas ambos, escuchas una frecuencia de latido de 4 Hz. Después de agregar un poco de agua a la botella de refresco, la frecuencia de batido ha aumentado a 5 Hz. ¿Cuáles son las frecuencias inicial y final de la botella?

9.4 Uno de tus amigos se encuentra en medio de una piscina rectangular\(10.0 \times 6.0\) m, con sus manos a 1.0 metros de distancia en dirección paralela al borde largo de la piscina. Produce olas superficiales en el agua de la piscina al oscilar sus manos. Al borde, encuentras que en el punto más cercano a tu amigo, el agua es áspera, entonces si te mueves hacia un lado, se vuelve tranquila, áspera otra vez, y otra vez tranquila. Ese punto, donde el agua se calla por segunda vez, se encuentra a 1.0 m de tu punto de partida (frente a tu amigo).

1. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas superficiales en la piscina?
2. ¿A qué distancia se calla el agua por primera vez?
3. Y ¿a qué distancia encuentras agua áspera por tercera vez (contando el punto inicial)?

9.5 El efecto Doppler es el desplazamiento en la frecuencia observada de una onda debido a un observador en movimiento o a una fuente móvil, como se discute en la Sección 9.7. Consideraremos una onda sonora emitida por alguna fuente ruidosa y observada por usted.

1. Si estás parado y la fuente se mueve hacia ti, ¿la frecuencia que escuchas será mayor o menor que la frecuencia emitida por la fuente?
2. Si te mueves hacia una fuente estacionaria, ¿la frecuencia que escuchas será mayor o menor que la frecuencia emitida por la fuente?
3. La frecuencia observada\(f_{obs}\) depende de la frecuencia real emitida por la fuente\(f_{source}\) (obviamente), la velocidad de la fuente\(v_{source}\), la velocidad del observador\(v_{obs}\) y la velocidad del sonido\(v_{sound}\). Lleva al observador a estar estacionario. ¿Qué pasa si la fuente también es estacionaria? ¿Y si la fuente se mueve a la velocidad del sonido?
4. Basado en tus respuestas a los ítems anteriores, adivina una forma funcional para los llaveros en función de\(f_{source}\),\(v_{source}\), y\(v_{sound}\).