6.6: Movimiento central no circular
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Consideremos ahora el movimiento central en un plano que no es circular. En la Figura 6.10, se muestra el movimiento en espiral de una partícula en movimiento. En coordenadas polares, el punto clave es que la derivada de tiempo dr/dt de la función de posición r ya no es cero. La segunda derivadad2r/dt2 también puede ser o no cero. En el siguiente cálculo dejaremos caer todas las referencias explícitas a la dependencia temporal de las diversas cantidades. El vector de posición todavía está dado por la Ecuación (6.2.1), que repetiremos a continuación
→r=rˆr
Porquedr/dt≠0 cuando diferenciamos la Ecuación (6.5.9), necesitamos usar la regla del producto
→v=d→rdt=drdtˆr+rdˆrdt
Sustitución de la ecuación (6.2.4) en la ecuación (6.5.10)
→v=d→rdt=drdtˆr+rdθdtˆθ=vrˆr+vθˆθ
La velocidad ya no es tangencial sino que ahora tiene un componente radial también
vr=drdt
Para determinar la aceleración, ahora diferenciamos la Ecuación (6.5.11), nuevamente usando la regla del producto, que ahora está un poco más involucrada:
→a=d→vdt=d2rdt2ˆr+drdtdˆrdt+drdtdθdtˆθ+rd2θdt2ˆθ+rdθdtdˆθdt
Ahora sustituya las ecuaciones (6.2.4) y (6.2.7) por las derivadas de tiempo de los vectores unitarios en la Ecuación (6.5.13), y después de recolectar términos rinde
\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {a}} =\ left (\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} -r\ left (\ frac {d\ theta} {d t}\ derecha) ^ {2}\ derecha)\ hat {\ mathbf {r}} +\ left (2\ frac d {r} {d t}\ frac {d\ theta} {d t} +r\ frac {d^ {2}\ theta} {d t^ {2}}\ derecha)\ sombrero {\ negritasímbolo {\ theta}}\\
=a_ {r}\ sombrero {\ mathbf {r}} +a_ {\ theta}\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}
\ end {array}\ nonumber\]
Los componentes radial y tangencial de la aceleración son ahora más complicados que entonces en el caso del movimiento circular debido a las derivadas distintas de cero dedr/dt yd2r/dt2. El componente radial es
ar=d2rdt2−r(dθdt)2
y el componente tangencial es
aθ=2drdtdθdt+rd2θdt2
El término abeto en el componente tangencial de la aceleración,2(dr/dt)(dθ/dt) tiene un nombre especial, la aceleración coriolis,
acor=2drdtdθdt
Ejemplo 6.4 Movimiento en espiral
Una partícula se mueve hacia afuera a lo largo de una espiral comenzando desde el origen en t = 0. Su trayectoria viene dada porr=bθ donde b es una constante positiva con unidades[m⋅rad−1]⋅θ aumenta en el tiempo segúnθ=ct2, dondec>0 es una constante positiva (con unidades[rad⋅s−2])
a) Determinar la aceleración en función del tiempo.
b) Determinar el tiempo en el que la aceleración radial es cero.
c) ¿Cuál es el ángulo cuando la aceleración radial es cero?
d) Determinar el tiempo en que las aceleraciones radial y tangencial tienen igual magnitud.
Solución:
a) La coordenada de posición en función del tiempo viene dada porr=bθ=bct2. La aceleración viene dada por la Ecuación (6.5.14). Para poder calcular la aceleración, necesitamos calcular las cuatro derivadasdr/dt=2bct,d2r/dt2=2bc,dθ/dt=2ct, yd2θ/dt2=2c. La aceleración es entonces
→a=(2bc−4bc3t4)ˆr+(8bc2t2+2bc2t2)ˆθ=(2bc−4bc3t4)ˆr+10bc2t2ˆθ
b) La aceleración radial es cero cuando
t1=(12c2)1/4
c) El ángulo cuando la aceleración radial es cero es
θ1=ct21=√2/2
d) Las aceleraciones radiales y tangenciales tienen igual magnitud cuando después de algún álgebra
(2bc−4bc3t4)=10bc2t2⇒0=t4+(5/2c)t2−(1/2c2)
Esta ecuación tiene como única solución positiva parat2
t22=−(5/2c)±((5/2c)2+2c2)1/22=√33−54c
Por lo tanto, las magnitudes de los dos componentes son iguales cuando
t2=√√33−54c