6.6: Movimiento central no circular

Consideremos ahora el movimiento central en un plano que no es circular. En la Figura 6.10, se muestra el movimiento en espiral de una partícula en movimiento. En coordenadas polares, el punto clave es que la derivada de tiempo dr/dt de la función de posición r ya no es cero. La segunda derivada\(d^{2} r / d t^{2}\) también puede ser o no cero. En el siguiente cálculo dejaremos caer todas las referencias explícitas a la dependencia temporal de las diversas cantidades. El vector de posición todavía está dado por la Ecuación (6.2.1), que repetiremos a continuación

\[\overrightarrow{\mathbf{r}}=r \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

Porque\(d r / d t \neq 0\) cuando diferenciamos la Ecuación (6.5.9), necesitamos usar la regla del producto

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{\mathbf{r}}+r \frac{d \hat{\mathbf{r}}}{d t} \nonumber \]

Sustitución de la ecuación (6.2.4) en la ecuación (6.5.10)

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{\mathbf{r}}+r \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}=v_{r} \hat{\mathbf{r}}+v_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]

La velocidad ya no es tangencial sino que ahora tiene un componente radial también

\[v_{r}=\frac{d r}{d t} \nonumber \]

Para determinar la aceleración, ahora diferenciamos la Ecuación (6.5.11), nuevamente usando la regla del producto, que ahora está un poco más involucrada:

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}}{d t}=\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \hat{\mathbf{r}}+\frac{d r}{d t} \frac{d \hat{\mathbf{r}}}{d t}+\frac{d r}{d t} \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}+r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\boldsymbol{\theta}}+r \frac{d \theta}{d t} \frac{d \hat{\boldsymbol{\theta}}}{d t} \nonumber \]

Ahora sustituya las ecuaciones (6.2.4) y (6.2.7) por las derivadas de tiempo de los vectores unitarios en la Ecuación (6.5.13), y después de recolectar términos rinde

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {a}} =\ left (\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} -r\ left (\ frac {d\ theta} {d t}\ derecha) ^ {2}\ derecha)\ hat {\ mathbf {r}} +\ left (2\ frac d {r} {d t}\ frac {d\ theta} {d t} +r\ frac {d^ {2}\ theta} {d t^ {2}}\ derecha)\ sombrero {\ negritasímbolo {\ theta}}\\
=a_ {r}\ sombrero {\ mathbf {r}} +a_ {\ theta}\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}
\ end {array}\ nonumber\]

Los componentes radial y tangencial de la aceleración son ahora más complicados que entonces en el caso del movimiento circular debido a las derivadas distintas de cero de\(d r / d t\) y\(d^{2} r / d t^{2}\). El componente radial es

\[a_{r}=\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2} \nonumber \]

y el componente tangencial es

\[a_{\theta}=2 \frac{d r}{d t} \frac{d \theta}{d t}+r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]

El término abeto en el componente tangencial de la aceleración,\(2(d r / d t)(d \theta / d t)\) tiene un nombre especial, la aceleración coriolis,

\[a_{c o r}=2 \frac{d r}{d t} \frac{d \theta}{d t} \nonumber \]

Ejemplo 6.4 Movimiento en espiral

Una partícula se mueve hacia afuera a lo largo de una espiral comenzando desde el origen en t = 0. Su trayectoria viene dada por\(r=b \theta\) donde b es una constante positiva con unidades\(\left[\mathrm{m} \cdot \mathrm{rad}^{-1}\right] \cdot \theta\) aumenta en el tiempo según\(\theta=c t^{2}\), donde\(c>0\) es una constante positiva (con unidades\(\left[\mathrm{rad} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right]\))

a) Determinar la aceleración en función del tiempo.

b) Determinar el tiempo en el que la aceleración radial es cero.

c) ¿Cuál es el ángulo cuando la aceleración radial es cero?

d) Determinar el tiempo en que las aceleraciones radial y tangencial tienen igual magnitud.

Solución:

a) La coordenada de posición en función del tiempo viene dada por\(r=b \theta=b c t^{2}\). La aceleración viene dada por la Ecuación (6.5.14). Para poder calcular la aceleración, necesitamos calcular las cuatro derivadas\(d r / d t=2 b c t, d^{2} r / d t^{2}=2 b c, d \theta / d t=2 c t\), y\(d^{2} \theta / d t^{2}=2 c\). La aceleración es entonces

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}=\left(2 b c-4 b c^{3} t^{4}\right) \hat{\mathbf{r}}+\left(8 b c^{2} t^{2}+2 b c^{2} t^{2}\right) \hat{\boldsymbol{\theta}}=\left(2 b c-4 b c^{3} t^{4}\right) \hat{\mathbf{r}}+10 b c^{2} t^{2} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]

b) La aceleración radial es cero cuando

\[t_{1}=\left(\frac{1}{2 c^{2}}\right)^{1 / 4} \nonumber \]

c) El ángulo cuando la aceleración radial es cero es

\[\theta_{1}=c t_{1}^{2}=\sqrt{2} / 2 \nonumber \]

d) Las aceleraciones radiales y tangenciales tienen igual magnitud cuando después de algún álgebra

\[\left(2 b c-4 b c^{3} t^{4}\right)=10 b c^{2} t^{2} \Rightarrow 0=t^{4}+(5 / 2 c) t^{2}-\left(1 / 2 c^{2}\right) \nonumber \]

Esta ecuación tiene como única solución positiva para\(t^{2}\)

\[t_{2}^{2}=\frac{-(5 / 2 c) \pm\left((5 / 2 c)^{2}+2 c^{2}\right)^{1 / 2}}{2}=\frac{\sqrt{33}-5}{4 c} \nonumber \]

Por lo tanto, las magnitudes de los dos componentes son iguales cuando

\[t_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{33}-5}{4 c}} \nonumber \]