6.3: Movimiento Circular - Aceleración Tangencial y Radial

Cuando el movimiento de un objeto se describe en coordenadas polares, la aceleración tiene dos componentes, el componente\(a_{\theta}\) tangencial y el componente radial,\(a_{r}\). Podemos escribir el vector de aceleración como

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}=a_{r} \hat{\mathbf{r}}(t)+a_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}(t) \nonumber \]

Tenga en cuenta que a medida que el objeto se mueve en círculo, los vectores unitarios\(\hat{\mathbf{r}}(t) \text { and } \hat{\boldsymbol{\theta}}(t)\) cambian de dirección y por lo tanto no son constantes en el tiempo.

Comenzaremos calculando el componente tangencial de la aceleración para el movimiento circular. Supongamos que la velocidad tangencial\(v_{\theta}=r d \theta / d t\) está cambiando de magnitud debido a la presencia de alguna fuerza tangencial; ahora consideraremos que\(d \theta / d t\) está cambiando en el tiempo, (la magnitud de la velocidad está cambiando en el tiempo). Recordemos que en coordenadas polares la ecuación del vector de velocidad (6.2.8) puede escribirse como

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=r \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}(t) \nonumber \]

Ahora usamos la regla del producto para determinar la aceleración.

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)}{d t}=r \frac{d^{2} \theta(t)}{d t^{2}} \hat{\boldsymbol{\theta}}(t)+r \frac{d \theta(t)}{d t} \frac{d \hat{\boldsymbol{\theta}}(t)}{d t} \nonumber \]

Recordemos de la Ecuación (6.2.3) que\(\hat{\boldsymbol{\theta}}(t)=-\sin \theta(t) \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta(t) \hat{\mathbf{j}}\). Así podemos reescribir la ecuación (6.3.3) como

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=r \frac{d^{2} \theta(t)}{d t^{2}} \hat{\boldsymbol{\theta}}(t)+r \frac{d \theta(t)}{d t} \frac{d}{d t}(-\sin \theta(t) \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta(t) \hat{\mathbf{j}}) \nonumber \]

Nuevamente usamos la regla de la cadena (Ecuaciones (6.2.5) y (6.2.6)) y encontramos que

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=r \frac{d^{2} \theta(t)}{d t^{2}} \hat{\boldsymbol{\theta}}(t)+r \frac{d \theta(t)}{d t}\left(-\cos \theta(t) \frac{d \theta(t)}{d t} \hat{\mathbf{i}}-\sin \theta(t) \frac{d \theta(t)}{d t} \hat{\mathbf{j}}\right) \nonumber \]

Recordemos que\(\omega \equiv d \theta / d t\), y de la Ecuación (6.2.2),\(\hat{\mathbf{r}}(t)=\cos \theta(t) \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta(t) \hat{\mathbf{j}}\) por lo tanto, la aceleración se convierte

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=r \frac{d^{2} \theta(t)}{d t^{2}} \hat{\boldsymbol{\theta}}(t)-r\left(\frac{d \theta(t)}{d t}\right)^{2} \hat{\mathbf{r}}(t) \nonumber \]

El componente tangencial de la aceleración es entonces

\[a_{\theta}=r \frac{d^{2} \theta(t)}{d t^{2}} \nonumber \]

La componente radial de la aceleración viene dada por

\[a_{r}=-r\left(\frac{d \theta(t)}{d t}\right)^{2}=-r \omega^{2}<0 \nonumber \]

Porque\(a_{r}<0\), ese componente vectorial radial siempre\(\overrightarrow{\mathbf{a}}_{r}(t)=-r \omega^{2} \hat{\mathbf{r}}(t)\) está dirigido hacia el centro de la órbita circular.

Ejemplo 6.1 Cinemática de movimiento circular

Una partícula se mueve en un círculo de radio R. At t = 0, se ubica en el eje x. El ángulo que forma la partícula con el eje x positivo viene dado por\(\theta(t)=A t^{3}-B t\) donde A y B son constantes positivas. Determinar (a) el vector de velocidad y (b) el vector de aceleración. Expresa tu respuesta en coordenadas polares. ¿A qué hora es cero la aceleración centrípeta?

Solución:

Las derivadas de la función angular\(\theta(t)=A t^{3}-B t\) son\(d \theta / d t=3 A t^{2}-B\) y\(d^{2} \theta / d t^{2}=6 A t\). Por lo tanto, el vector de velocidad viene dado por

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=R \frac{d \theta(t)}{d t} \hat{\theta}(t)=R\left(3 A t^{2}-B t\right) \hat{\theta}(t) \nonumber \]

La aceleración viene dada por

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {a}} (t) =R\ frac {d^ {2}\ theta (t)} {d t^ {2}}\ hat {\ mathbf {\ theta}} (t) -R\ izquierda (\ frac {d\ theta (t)} {d t}\ derecha) ^ {2}\ hat {\ mathbf {r}} (t)\\
=R (6 A t)\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} (t) -R\ izquierda (3 A t^ {2} -B\ derecha) ^ {2}\ hat {\ mathbf {r}} (t)
\ end { matriz}\ nonumber\]

La aceleración centrípeta es cero en el\(t=t_{1}\) momento en que

\[3 A t_{1}^{2}-B=0 \Rightarrow t_{1}=\sqrt{B / 3 A} \nonumber \]