18.2: Ley de Palanca

Consideremos una viga rígida uniforme de masa\(m_{b}\) equilibrada sobre un pivote cerca del centro de masa de la viga. Colocamos dos objetos 1 y 2 de masas\(m_{1}\) y\(m_{2}\) sobre la viga, a distancias\(d_{1}\) y\(d_{2}\) respectivamente del pivote, para que la viga sea estática (es decir, la viga no esté rotando. Ver Figura 18.1.) Descuidaremos el grosor de la viga y tomaremos el punto de pivote para que sea el centro de masa.

Figura 18.1 Palanca pivotada

Consideremos las fuerzas que actúan sobre la viga. La tierra atrae el rayo hacia abajo. Esta fuerza gravitacional actúa sobre cada átomo del haz, pero podemos resumir su acción afirmando que la fuerza gravitacional\(m_{b} \overrightarrow{\mathbf{g}}\) se concentra en un punto del haz llamado centro de gravedad del haz, que es idéntico al centro de masa del haz uniforme. También existe una fuerza de contacto\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {pivot }}\) entre el pivote y la viga, actuando hacia arriba sobre la viga en el punto de pivote. Los objetos 1 y 2 ejercen fuerzas normales hacia abajo sobre la viga,\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{1, b} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}_{1}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{2, b} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}_{2}\), con magnitudes\(N_{1}, \text { and } N_{2}\) respectivamente. Tenga en cuenta que las fuerzas normales no son las fuerzas gravitacionales que actúan sobre los objetos, sino las fuerzas de contacto entre el haz y los objetos. (En este caso, son matemáticamente iguales, debido a la configuración horizontal del haz y al hecho de que todos los objetos están en equilibrio estático). Las distancias\(d_{1} \text { and } d_{2}\) se denominan brazos de momento con respecto al punto de pivote para las fuerzas\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{1} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{N}}_{2}\), respectivamente. El diagrama de fuerza sobre la viga se muestra en la Figura 18.2. Tenga en cuenta que la fuerza de pivote\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {pivot }}\) y la fuerza de gravedad\(m_{b} \overrightarrow{\mathbf{g}}\) cada una tiene un brazo de momento cero alrededor del punto de pivote.

Figura 18.2 Diagrama de cuerpo libre en viga

Debido a que suponemos que la viga no se mueve, la suma de las fuerzas en la dirección vertical que actúan sobre la viga es, por lo tanto, cero,

\[F_{\text {pivot }}-m_{b} g-N_{1}-N_{2}=0 \nonumber \]

Los diagramas de fuerza sobre los objetos se muestran en la Figura 18.3. Obsérvese que la magnitud de las fuerzas normales sobre los objetos también son\(N_{1} \text { and } N_{2}\) ya que estos son cada uno parte de un par acción-reacción,\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{1, b}=-\overrightarrow{\mathbf{N}}_{b, 1}, \text { and } \overrightarrow{\mathbf{N}}_{2, b}=-\overrightarrow{\mathbf{N}}_{b, 2}\)

Figura 18.3 Diagramas de fuerza de cuerpo libre para cada cuerpo.

La condición de que las fuerzas sumen a cero no es suficiente para predecir completamente el movimiento del haz. Todo lo que podemos deducir es que el centro de masa del sistema está en reposo (o moviéndose con una velocidad uniforme). Para que la viga no gire la suma de los pares alrededor de cualquier punto debe ser cero. En particular, la suma de los pares alrededor del punto de pivote debe ser cero. Debido a que el brazo de momento de la fuerza gravitacional y la fuerza de pivote es cero, solo las dos fuerzas normales producen un par en la viga. Si elegimos fuera de la página como dirección positiva para el par (o equivalentemente las rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj son positivas) entonces la condición de que la suma de los pares alrededor del punto de pivote sea cero se convierte en

\[d_{2} N_{2}-d_{1} N_{1}=0 \nonumber \]

Las magnitudes de los dos pares alrededor del punto de pivote son iguales, condición conocida como la ley de la palanca.

Ley de Palanca

Una viga de longitud l se equilibra sobre un punto de pivote que se coloca directamente debajo del centro de masa de la viga. La viga no sufrirá rotación si el producto de la fuerza normal con el brazo de momento al pivote es el mismo para cada cuerpo,

\[d_{1} N_{1}=d_{2} N_{2} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Lever Law

Supongamos que una viga uniforme de longitud\(l=1.0 \mathrm{m}\) y masa\(m_{\mathrm{B}}=2.0 \mathrm{kg}\) se equilibra en un punto de pivote, colocado directamente debajo del centro de la viga. Colocamos el cuerpo 1 con masa a\(m_{1}=0.3 \mathrm{kg}\) una distancia\(d_{1}=0.4 \mathrm{m}\) a la derecha del punto de pivote, y un segundo cuerpo 2 con\(m_{2}=0.6 \mathrm{kg}\) una distancia\(d_{2}\) a la izquierda del punto de pivote, de tal manera que la viga no se traslada ni gira. a) ¿Cuál es la fuerza\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {pivot }}\) que ejerce el pivote sobre la viga? b) ¿Cuál es la distancia\(d_{2}\) que mantiene el equilibrio estático?

Solución

a) Por la Tercera Ley de Newton, el haz ejerce fuerzas normales iguales y opuestas de magnitud\(N_{1}\) sobre el cuerpo 1, y\(N_{2}\) sobre el cuerpo 2. La condición para el equilibrio de fuerza aplicada por separado a los dos cuerpos rinde

\[N_{1}-m_{1} g=0 \nonumber \]

\[N_{2}-m_{2} g=0 \nonumber \]

Así, la fuerza total que actúa sobre la viga es cero,

\[F_{\text {pivot }}-\left(m_{b}+m_{1}+m_{2}\right) g=0 \nonumber \]

y la fuerza de pivote es

\ [\ begin {alineado}
F_ {\ text {pivot}} &=\ left (m_ {b} +m_ {1} +m_ {2}\ derecha) g\\
& =( 2.0\ mathrm {kg} +0.3\ mathrm {kg} +0.6\ mathrm {kg})\ left (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha) =2.8\ times 10^ {1}\ mathrm {N}
\ end {alineado}\ nonumber\]

b) Podemos calcular la distancia\(d_{2}\) desde la Ley de Palanca,

\[d_{2}=\frac{d_{1} N_{1}}{N_{2}}=\frac{d_{1} m_{1} g}{m_{2} g}=\frac{d_{1} m_{1}}{m_{2}}=\frac{(0.4 \mathrm{m})(0.3 \mathrm{kg})}{0.6 \mathrm{kg}}=0.2 \mathrm{m} \nonumber \]