21.5: Teorema de trabajo-energía
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\ [\ begin {array} {l}
W_ {\ text {tans}} ^ {\ text {ext}} =\ int_ {i} ^ {f}\ overrightarrow {\ mathbf {F}} ^ {\ text {ext}}\ cdot d\ overrightarrow {\ mathbf {r}} =\ int_ {i} ^ {f}\ frac {d\ izquierda (m\ overrightarrow {\ mathbf {V}} _ {c m}\ derecha)} {d t}\ cdot d\ overrightarrow {\ mathbf {R}} _ {c m} =m\ int_ {i} ^ {f}\ frac {d\ left (\ overrightarrow {\ mathbf {V}} _ {c m}\ derecha)} {d t}\ cdot\ overrightarrow {\ mathbf {V}} _ {c m} d t\
=\ frac {1} {2} m\ int_ {i} ^ {f} d\ izquierda (\ overrightarrow {\ mathbf {V}} _ {c m}\ cdot\ overrightarrow {\ mathbf {V}} _ _ {c m}\ derecha) =\ frac {1} {2} m V_ {\ mathrm {cm}, f} ^ {2} -\ frac {1} {2} m V_ {\ mathrm {cm}, i} ^ {2} =\ Delta K_ {\ texto {trans}}
\ end {array}\ nonumber\]
Para el movimiento rotacional vamos al marco de referencia del centro de masa y determinamos el trabajo rotacional realizado, es decir, la integral del componente z del par alrededor del centro de masa con respecto a dθ como lo hicimos para el trabajo rotacional de eje fijo. Entonces
\ [\ begin {array} {l}
\ int_ {i} ^ {f}\ izquierda (\ vec {\ tau} _ {\ mathrm {cm}} ^ {\ mathrm {ext}}\ derecha) _ {z} d\ theta=\ int_ {i} ^ {f} I_ {\ mathrm {cm}}\ frac {d\ omega_ {\ mathrm {cm}, z}} {d t} d\ theta=\ int_ {i} ^ {f} I_ {\ mathrm {cm}} d\ omega_ {\ mathrm {cm}, z}\ frac {d\ theta} {d t} =\ int_ {i} ^ {f} I_ {\ mathrm {cm}} d\ omega_ {i} ^ {f} I_ {\ mathrm {cm}} d\ omega_ {i} rm {cm} , z}\ omega_ {\ mathrm {cm}, z}\\
=\ frac {1} {2} I_ {\ mathrm {cm}}\ omega_ {\ mathrm {cm}, f} ^ {2} -\ frac {1} {2} I_ {\ mathrm {cm}}\ omega_ {\ mathrm {cm}, i} ^ {2}} =\ Delta K_ {\ mathrm {rot}}
\ end {array}\ nonumber\]
En la Ecuación (21.5.2) expresamos nuestro resultado en términos de la velocidad angular\(\omega_{\mathrm{cm}}\) porque aparece como un cuadrado. Por lo tanto, podemos combinar estos dos resultados separados, las ecuaciones (21.5.1) y (21.5.2), y determinar el teorema trabajo-energía para un cuerpo rígido giratorio y traslante que se somete a rotación de eje fijo alrededor del centro de masa.
\ [\ begin {array} {l}
W=\ left (\ frac {1} {2} m V_ {\ mathrm {cm},\ mathrm {f}} ^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {\ mathrm {cm}}\ omega_ {\ mathrm {cm}, f} ^ {2}\ derecha) -\ izquierda (\ frac {1} {2} m V_ {\ mathrm {cm},\ mathrm {f}} ^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {\ mathrm {cm}}\ omega_ {\ mathrm {cm}, i} ^ {2}\ derecha)\\
=\ Delta K_ {\ texto {tans}} +\ Delta K_ {\ mathrm {rot}} =\ Delta K
\ end {array}\ nonumber\]
Las ecuaciones (21.4.1), (21.4.4) y (21.5.3) son principios que emplearemos para analizar el movimiento de cuerpos rígidos sometidos a traslación y rotación de eje fijo alrededor del centro de masa.